1、2007011207 无 78 王萌7.要从雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越烧。将人体简化为一个长方体，高 a=1.5m（颈部以下） ，宽 b=0.5m，厚 c=0.2m。设跑步距离d=1000m，跑步最大速度 vm=5m/s，雨速 u=4m/s，降雨量 w=2cm/h，记跑步速度为 v。按以下步骤进行讨论：（1 ） 不考虑雨淋的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。（2 ） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，如图 1.建立总淋雨量与素的 v 及参数 a，b，c, d, u, w, 之
2、间的关系，问速度 v 多大，总淋雨量最少，计算 =0，=30时的总淋雨量。（3 ） 风从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，如图 2，建立总淋雨量与素的 v 及参数 a，b，c, d, u, w, 之间的关系，问速度 v 多大，总淋雨量最少，计算 =30时的总淋雨量。（4 ） 以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑 的影响） ，并解释结果的实际意义。（5 ） 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？解：（1 ）身体面积 S=2ab+2ac+bc=2.2m2，淋雨时间 t=d/vm=200s，降雨量 w=2cm/h=5.56*10-6m/s，所以总淋雨
3、量 Q=Stw=2.44L。（2 ）顶部淋雨量，淋雨速度为 u*cos()Q1=b*c*d*w*cos（）/v正面淋雨量：淋雨速度为 u*sin()+vQ2=a*b*d*w*(u*sin()+v)/(u*v)总淋雨量 Q=Q1+Q2=b*d*w*c*u*cos()+a*(u*sin( )+v)/(u*v)，在定义域是 v 的单调减函数，所以当 v=vm 时，Q 最小。经计算得：=0 时， Q=1.15L。=30时，Q=1.55L。（3）分两种情况，vu*sin():人的前面淋雨；vu*sin():人的背面淋雨。不管怎样，淋雨速度总是|v-u*sin()|,总淋雨量= , vu*sin()cos
4、+(sin) (cos+sin)Q= , vu*sin()cos+(sin) (cossin)可以看出 vu*sin()时 Q 为单调减函数；vu*sin()时，若 0 时,cossin（6） 再计算侧面淋雨量即可，为一个 d/v 的线性函数，对（2）结果无影响，将影响(3)的结果。8.甲乙两公司通过广告来竞争销售商品的数量，广告费分别为 x 和 y，设甲乙公司商品的销售量在两公司总销售量中的份额，是他们的广告费在总广告费中所占份额的函数 f( )+和 f( ).又设公司的收入与销售量成正比，从收入中扣除广告费后为公司的利润，试构+造模型的图样，并讨论甲乙公司怎样确定广告费才能使利润最大。（1）令 t= ,则 f(t)+f(1-t)=1。画出 f(t)的示意图。+（2）写出家公司利润的表达式 p(x)。对于一定的 y，使 p(x)最大的 x 的最优值应满足什么条件。用图解法确定这个最优值。（1）f(t)图形以(1/2,1/2)为中心对称，由图所示。（2）甲公司利润为 p(x)=f( )-x, 是常数。设 t= 由 p(x*)=0 可得 f(t*)=+ +2,记 c 是任意常数。则曲线族 g(t)= 中与 f(t)相切的那一条曲线的切点( 11) ( 11)+为 t*,可以算出 x*.
