1、- 1 -2017-2018 学年度高二下学期期中考试数学试题 B（理科）满分：150 分 考试时间：120 分钟第 I 卷（满分 60 分）1、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知 ，则复数 Z=（ ）)2(iZA. B. C. D.i1i2i212.以下式子正确的个数是（ ）. 2)1(x xsin)(co ln)(x 0ln)(gxA.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.若曲线 在点 处的切线的方程为（ ）1)(23f )0,(A. B. C. D.01yxyx01yx01yx4.已知 XB（n，p） ，
2、EX=8，DX=1.6，则 n 与 p 的值分别是（ ）A100，0.08 B20，0.4 C10，0.2 D10，0.85.因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则 是增函数.这个结论是xayxy)21(xy)21(错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误6.已知 得分布列为-1 0 1p21316则在下列式中： ； ； .正确的个数是（ ）)(E27)(D3)0(PA.0 B.1 C.2 D.37.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进
3、行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 6613 用算筹表示就是- 2 -，则 8335 用算筹可表示为（ ）A BC D8.函数 的单调递减区间为（ ）xfln)(A （，1） B （1，+） C （0，1） D （0，+）9.用数学归纳法证明等式 时，第一步验证)(2)43()(32Nnn时，左边应取得项是（ ）nA.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+410. 函数 在 上的最大值、最小值分别是（ ）5
4、1223xxy,0A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,1611. 口袋中有 5 个球，编号为 1,2,3,4,5，从中任意取 3 个球，以 表示取出的球的最大号码，则 （ ）)(EA.4 B.4.5 C.4.75 D. 512. 已知函数 在其定义域上没有极值，则 的取值范围（ 1)2(3)(23xaxf a）A. B. C. D.)2,1(,1),(),(),21,(第 II 卷（满分 90 分）2、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分）13.已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ，则 = biia2ia14. .dx10)(- 3 -15.椭圆 在其上一点 处的切
5、线方程为 类比)0(12bayx ),(0yxP120byax上述结论，双曲线 在其上一点 处的切线方程为 ),(2),(016.设 ，若函数 在区间 有极值点，则 取值范围为.Raxayln ,1(ea三、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知复数 )(23()6(22 Rmimz （1）当 为何值时， 为纯虚数；mz（2）如果复数 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围.18.（本小题满分 12 分）已知函数 且 .cxaxf23)( )32(f（1）求 的值；a（2）求函数 的单调区间)(
6、xf19.（本小题满分 12 分）生蚝即牡蛎是所有事物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所尤为肥美，因此生蚝称为一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了 40 只统计质量，得到结果如表所示：质量（g） 5,15) 15,25) 25,35) 35,45) 45,55)数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝 500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数） ；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中
7、随机挑选 4 个，记质量在5,25)间的生蚝的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 Sn，且满足 （nN *） anna1（）计算 的值；4321,a（）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.n21. （本小题满分 12 分）随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访，5 名男性购物者中有 3 名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5 名女性购物者中有 2 名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体店（）若从这 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1
8、名倾向于选择实- 4 -体店的概率；（）若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望22.（本小题满分 12 分）设函数 2ln)(xxf（1）求函数 的单调递增区间；)(xf（2）若关于 的方程 在区间1，3内恰有两个相异实根，求实数02axf的取值范围a- 5 -2017-2018 学年度高二下学期期中考试数学试题 B（理科）答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B B A D A C B C D A B B2、填空题13. 14.0 15. 16. 5120byax)1,(e3、
9、解答题17.（本小题 10 分）解：（1）若 为纯虚数，则 所以 ，所以z02362m213m且或 3（2）若复数 在复平面上对应的点位于第二象限则，解得036m118.（本小题满分 12 分）解：（1）f（x）=3x 2+2ax1，f（ ）= + a1=a，解得：a=1；（2）由（1）得：f（x）=x 3x 2x+c，f（x）=3x 22x1=（3x+1） （x1） ，令 f（x）0，解得：x1 或 x ，令 f（x）0，解得： x1，函数 f（x）的单调增区间为（， ） ， （1，+） ，单调减区间为（ ，1） 19. （本小题满分 12 分）解;(1)由表中的数据可以估算生蚝的质量为：
10、g5.28)0483012106(4 所以购进 500kg,生蚝的数量为 500000 （只）17.（2）由表中数据知任意挑选一只，质量在 间的概率为 .),2PX 的可能取值为 0,1,2,3,4则 65)3(2)1(,6258)3(0( 44CXPP 2924 C- 6 -6251)(4(4XPX 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 862565162596251E(X)= 8493625120.（1） ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 。 （2）猜想： 。 下面用数学归纳法证明：当 时， ，猜想显然成立。 假设当 （ ）时猜想成立，即 。那么当 时， ，即 。 又 ，所以 ，
11、从而，即当 时，猜想也成立。故由和，可知猜想成立。21.（本小题 12 分）解：（）设“至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A，则 表示事件“随机抽取 2 名， （其中男、女各一名）都选择网购” ，则 P（A）=1P =1 = （）X 的取值为 0，1，2，3P（X=k）= ，P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= E（X）=0 +1 +2 +3 = - 7 -22.解：（1）f（x）= ，x0，x（0，1）时，f（x）0，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1（2）将 f（x）代人方程 f（x）+x 2x2a=0 得 2lnxx2a=0，令 g（x）=2lnxx2a 则 g（x）= ；x1，2）时，g（x）0；x（2，3时，g（x）0；g（2）是 g（x）的极大值，也是 g（x）在1，3上的最大值；关于 x 的方程 f（x）+x 2x2a=0 在区间1，3内恰有两个相异实根；函数 g（x）在区间1，3内有两个零点；则有：g（2）0，g（1）0，g（3）0，所以有：解得：2ln35a2ln24，所以 a 的取值范围是（2ln35，2ln24）
