1、第五节直线、平面垂直的判定与性质,总纲目录,教材研读,1.直线与平面垂直,考点突破,2.直线与平面所成的角,3.二面角的有关概念,考点二面面垂直的判定与性质,考点一直线与平面垂直的判定与性质,4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理,考点三平行与垂直的综合问题,1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义直线l与平面内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.,教材研读,(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理,与“直线与平面垂直”有关的结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用,即a,bab.(2)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面
2、平行.(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.,2.直线与平面所成的角,(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0的角.如图所示,PAO就是斜线AP与平面所成的角.(2)线面角的范围:.,3.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,4.
3、平面与平面垂直的判定定理与性质定理,1.给出下列四个命题:垂直于同一直线的两个平面互相平行;垂直于同一平面的两个平面互相平行;若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于这个平面.其中真命题的个数是()A.1B.2 C.3D.4,答案B正确.,B,2.(2015北京延庆期末)已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面()A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数个D.不存在,答案B若mn,则过直线n存在一个平面与m垂直;若m不垂直于n,则不存在这样的平面,故选B.,B,3.(2016北京朝阳期
4、末)已知m,n表示两条不同的直线,表示两个不同的平面,且m,n,则下列说法正确的是()A.若,则mnB.若m,则C.若m,则D.若,则mn,答案B对于A,两个平行平面内的直线可能平行,可能异面;B正确;对于C,当m平行于平面、的交线时,也有m,但平面与平面相交;对于D,m与n也可能平行、斜交或异面.,B,4.(2015北京丰台期末)设a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则ab的一个充分条件为()A.ac,bcB.,a,bC.a,bD.a,b,答案C对于选项A,若ac,bc,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交;对于选项B,若,a,b,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交;
5、对于选项C,若a,b,则ab;对于选项D,若a,b,则根据线面垂直的性质定理可知ab.故选C.,C,考点一直线与平面垂直的判定与性质,考点突破,典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.(1)证明:CDAE;(2)证明:PD平面ABE.,方法技巧(1)证明直线和平面垂直的常用方法:利用判定定理;利用面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助于线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,1-1(2016北京丰台一模)已知在ABC中,B=90,D,E
6、分别为边BC,AC的中点,将CDE沿DE翻折后,使之成为四棱锥C-ABDE(如图).(1)求证:DE平面BCD;(2)设平面CDE平面ABC=l,求证:ABl;(3)若CDBD,AB=2,BD=3,F为棱BC上一点,设=,当为何值时,三棱锥C-ADF的体积是1?,解析(1)证明:B=90,D,E分别为BC,AC的中点,DEAB.CDDE,BDDE,又CDBD=D,DE平面BCD.(2)证明:DEAB,DE平面CDE,AB平面CDE,AB平面CDE,又AB平面ABC,平面ABC平面CDE=l,ABl.(3)CDBD,CDDE,EDBD=D,CD平面BDE.=,SCDF=SBCD.又BD=3,AB
7、=2,VC-ADF=1,VC-ADF=VA-CDF=VA-CDB=VC-ADB=CDSADB=1.解得=2.,典例2如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE平面PAD;(2)求证:平面EFG平面EMN.,考点二面面垂直的判定与性质,又ABCD,CD=AB,所以EHCD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CEDH.又DH平面PAD,CE平面PAD,因此,CE平面PAD.,方法指导证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(不常用);(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一
8、个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决(常用方法).,2-1如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.,解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.又BDBE=B,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)
9、设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD= .因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=ACGDBE=x3=,解得x=2.,从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.,典例3(2017北京海淀一模)已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点.(1)求证:PB平面FAC;(2)求三棱锥P-EAD的体积;(3)求
10、证:平面EAD平面FAC.,考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明,解析(1)证明:连接BD,与AC交于点O,连接OF,在PBD中,O,F分别是BD,PD的中点,所以OFPB,又因为OF平面FAC,PB平面FAC,所以PB平面FAC.(2)因为PA平面ABCD,AB、AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因为ABAD,PAAB=A,所以AD平面PAB,在直角PAB中,PA=AB=2,E为PB的中点,所以SPAE=1,所以VP-EAD=VD-PAE=SPAEAD=.(3)证明:因为AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,在等腰直角PAB中,AEPB,又AEAD=A,
11、AE、AD平面EAD,所以PB平面EAD,又OFPB,所以OF平面EAD,又OF平面FAC,所以平面EAD平面FAC.命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题,典例4(2018北京东城期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PAD是等边三角形,E为AD中点,四边形ABCD为直角梯形,ABCD,ABAD,ABAP,CD=AD=2AB=2.(1)求证:平面PAB平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积;(3)在棱PB上是否存在点M,使得EM平面PCD?说明理由.,解析(1)证明:因为ABAD,ABAP,ADAP=A,所以AB平面PAD.因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)连接PE.因
12、为PAD为等边三角形,E为AD中点,所以PEAD.因为AB平面PAD,所以ABPE.因为ABAD=A,所以PE平面ABCD.在等边PAD中,PE=PAsin 60=,S梯形ABCD=3,所以VP-ABCD=S梯形ABCDPE=3=.,(3)棱PB上存在点M,使得EM平面PCD,此时点M为PB中点.取BC中点F,连接MF,ME,EF.因为E为AD中点,所以EFCD.因为EF平面PCD,所以EF平面PCD.因为M为PB中点,所以MFPC.,因为MF平面PCD,所以MF平面PCD.因为MFEF=F,所以平面MEF平面PCD.因为ME平面MEF,所以ME平面PCD.,命题角度三平行与垂直关系中的折叠问
13、题典例5(2016北京海淀二模)已知长方形ABCD中,AD=,AB=2,E为AB的中点,将ADE沿DE折起到PDE,所得四棱锥P-BCDE如图所示.(1)若点M为PC的中点,求证:BM平面PDE;(2)当平面PDE平面BCDE时,求四棱锥P-BCDE的体积;(3)求证:DEPC.,解析(1)证明:取DP的中点F,连接EF,FM.因为在PDC中,点F,M分别是DP,PC的中点,所以FMDC,且FM=DC.又EBDC,所以FMEB,所以四边形FEBM是平行四边形,所以BMEF,又EF平面PDE,BM平面PDE,所以BM平面PDE.(2)在PDE中,作PODE于O,因为平面PDE平面EBCD,平面P
14、DE平面EBCD=DE,所以PO平面EBCD.在PDE中,DPPE,PD=,PE=1,则DE=,所以PO=.所以VP-BCDE=(1+2)=.(3)证明:在矩形ABCD中,连接AC交DE于I,因为tanDEA=,tanCAB=,所以DEA+CAB=,所以DEAC,所以在四棱锥P-EBCD中,PIDE,CIDE,又PICI=I,所以DE平面PIC.因为PC平面PIC,所以DEPC.,方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识建点.(2)解决此类问题的关键是结合图形,弄清折叠前
15、后变与不变的数量关系及位置关系.,3-1(2017北京丰台一模)如图1,平行四边形ABCD中,ACBC,BC=AC=1,现将DAC沿AC折起,得到三棱锥D-ABC(如图2),且DABC,点E为侧棱DC的中点.(1)求证:平面ABE平面DBC;(2)求三棱锥E-ABC的体积;(3)在ACB的平分线上是否存在点F,使得DF平面ABE?若存在,求DF的长;若不存在,请说明理由.,解析(1)证明:在平行四边形ABCD中,AD=BC=AC,ADBC,因为ACBC,所以DAC=90.因为E为侧棱DC的中点,所以AECD.又因为ACBC,ADBC,且ACAD=A,所以BC平面ACD.又因为AE平面ACD,所
16、以AEBC.因为BCCD=C,所以AE平面BCD,又因为AE平面ABE,所以平面ABE平面BCD.(2)因为VE-ABC=VB-ACE,BC平面ACD,所以BC是三棱锥B-ACE的高,故VB-ACE=BCSACE.因为BC=1,CD=,AE=,所以SACE=AECD=,所以VE-ABC=VB-ACE=1=.(3)取AB的中点O,连接CO并延长至点F,使CO=OF,连接AF,DF,BF,OE.因为BC=AC,所以CO是ACB的平分线.又因为点E是CD的中点,所以OEDF,因为OE平面ABE,DF平面ABE,所以DF平面ABE.因为AB、FC互相平分,所以四边形ACBF为平行四边形,BCAF.又因为DABC,所以AFAD,又因为AF=AD=1,故DF=.,
