1、第五节椭圆,总纲目录,教材研读,1.椭圆的定义,考点突破,2.椭圆的标准方程和几何性质,3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系,考点二椭圆的几何性质,考点一椭圆的定义及标准方程,考点三直线与椭圆的位置关系,1.椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则集合P表示椭圆;(2)若a=c,则集合P表示线段;,教材研读,(3)若a0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于()A.B
2、.2C.4D.,答案D由x2+=1(m0)及题意知,2=221,解得m=,故选D.,D,2.已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3,答案A根据椭圆的定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.,A,3.(2016北京东城二模)如图,在由边长为m的正方形组成的网格中有椭圆C1,C2,C3,它们的离心率分别为e1,e2,e3,则()A.e1=e2e3D.e2=e3e1,D,答案D建立如图所示的坐标系,椭圆方程可设为+=1(ab0).C1中:a=2m,b=1.5
3、m,=;C2中:a=4m,b=2m,=;,C3中:a=6m,b=3m,=.又e=,e2=e3e1.,4.(2015北京门头沟一模)椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若PF1F2的面积的最大值为12,则该椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1,答案A根据题意可设椭圆方程为+=1(ab0),P(x0,y0),则PF1F2的面积为|F1F2|y0|=8|y0|=4|y0|4b,所以4b=12,解得b=3,又c=4,所以a2=b2+c2=25,故该椭圆的标准方程为+=1,故选A.,A,5.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方
4、程是.,+=1,典例1(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1(2)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1,考点一椭圆的定义及标准方程,考点突破,答案(1)D(2)A(3)3,解析(1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8b0).由点P(2,)在椭圆
5、上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,=,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6,故椭圆方程为+=1.,1-2(2015北京东城一模)椭圆C:+y2=1(a0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2,则PF1F2的周长是()A.2+2B.+2C.+ D.4+2,A,答案A因为O,M分别为F1F2和PF1的中点,所以OMPF2,且|OM|=|PF2|,同理,ONPF1,且|ON|=|PF1|,所以四边形OMPN为平行
6、四边形,由题意知,|OM|+|ON|=,故|PF1|+|PF2|=2,即2a=2,a=,由a2=b2+c2知c2=a2-b2=2,即c=,所以|F1F2|=2c=2,故PF1F2的周长为2a+2c=2 +2 ,故选A.,(2)已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),|=1,且=0,则|的最小值为.,方法技巧求椭圆离心率的常用方法(1)直接求出a,c,利用定义求解.(2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.(3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.,2-1(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个
7、顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.,答案B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc=a,所以e=.故选B.,B,2-2已知F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是()A.0B.1C.2D.2,答案C设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0),=(1-x0,-y0),+=(-2x0,-2y0),|+|=2=2.点P在椭圆上,01,当=1时,|+|取最小值,为2.,C,方法技巧(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方
8、程联立,消元,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题,涉及弦中点的问题常用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(k为直线斜率,k0).提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.,解析(1)设椭圆C1的焦距为2c1,长轴长为2a1,短轴长为2b1,设椭圆C2的焦距为2c2,长轴长为2a2,短轴长为2b2,依题意得解得所以椭圆C1的标准方程为+y2=1,椭圆C2的标准方程为+=1.(2)|AC|=|BD|.,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,所以有x1+x4=-,所以有弦AD的中点与弦BC的中点重合,所以有|AC|=|BD|.,
