1、利用导数的几何意义求切线方程江南中教研组曲线 在点 的导数 就是曲线在该点的切线的斜率，我们yfx()0)( 0xf通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：1 曲线 在点 的导数 就是曲线在该点的切线的斜率，yfx()0)( 0xf有 ；0k2 切点在曲线 上，有f()(0fy3 切点在切线上，有切线方程 xk最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。例一：曲线 在 x=1 的切线方程为 ；21yx解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；由题意可知，切点的坐标为（1，5）又 ，切线的斜率为xy44，切线的方程为
2、 y5 = 4(x1)，即 y=4x1。利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。例二：曲线 的一条切线的斜率是 ，求切线方程。2yx4解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点的坐标为（ ）20,x ，切线的斜率为 ， = 4，xy2 002x 切点的坐标为（2，4）0切线的方程为 y =4x4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。例三：曲线 的切线过点（0，4）求切线的方程。2xy解析：同样设切点坐标，充分
3、利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点坐标为 ，0yxP， y2则在点 处的切线方程为：00x过点 ，且4,P2y020)(或x当 时，切点为 ，此时切线方程为 y=4x4，0 )4,2(当 时，切点为 ，此时切线方程为 y=4x4，2P过点（0，4）的切线方程为： y=4x4， y=4x4。由于切点坐标、切线斜率均可用切点横坐标表示，故可轻松利用待定系数法，但要充分利用三个等量关系。还有一种题型求过曲线上一点的切线的方程。例四： 求曲线 过点 的切线方程 yx32,P解析：同学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析，引起错解。如：显然点 P 在曲线 上， 323)(
4、 xf 9)2( f过点 P（2， -2）的切线方程为： ，即y99160y由于点 恰好在曲线 上，因此很容易得到一条切线方程，即以,fx()点 为切点的切线。本题求的是“经过点 的切线”，而不是“点 处的切PP线”，因而不排除有其他切线经过 。因此本题切线应有两条，一条以点为切点，另一条不以点 为切点但经过点 ，故解法应同例三；PP设切点坐标为 ，则在点 处的切线方程为：xy0，y023过点 ，且, x0032032x整理，得： 即： 或x03240x0210x01x02当 时，切点为 ，此时切线方程为 ，1,1y当 时，切点为 ，此时切线方程为0 2P916x过点 的切线方程为： 或2,y0当点 P 在曲线 上，要求过点 P 的切线时，一定要注意可能存在yfx()两种情况：一是点 P 本身即为切点；二是切线是以曲线 上的另一点yfx()Q 为切点，但该切线恰好过点 P。解题时勿混淆了“在 P 点处的切线”与“过 P 点的切线 ”两概念，否则会因概念理解不够深刻而“大意失荆州”。利用导数的几何意义求切线方程关键是要把握三个等量关系，充分利用数学思想方法，同时也要注意题目的条件。
