2017年江苏省无锡市高考数学一模试卷(解析版).doc-道客多多

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1、第 1 页（共 30 页）2017 年江苏省无锡市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共 14 小败，每小題 5 分，共 70 分. 不需要写出解答过程1已知集合 U=1，2，3，4，5，6，7，M=x|x 26x+50，x Z，则 UM= 2若复数 z 满足 z+i= ，其中 i 为虚数单位，则 |z|= 3函数 f（x）= 的定义域为 4如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为 6已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是

2、，则该正四棱锥的体积为 7从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线 =l的右焦点，则双曲线的离心率为 9设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3，S 9，S 6 成等差数列且 a2+a5=4，则 a8 的值为 10在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M（1，0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且 =2 ，则直线 l 的方程为 11在ABC 中，已知 AB=1，AC=2 ，A=60，若点 P 满足 = + ，且第 2 页（共 30

3、页） =1，则实数的值为 12已知 sin=3sin（+ ），则 tan（+ ）= 13若函数 f（x ）= ，则函数 y=|f（x）| 的零点个数为 14若正数 x，y 满足 15xy=22，则 x3+y3x2y2 的最小值为二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 的对边若 acosB=3，bcosA=l，且AB=（1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小16如图，在斜三梭柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形，AC 1 与 A1C 交于点O，E 是棱 AB 上一点，且 OE平面 BCC1B1（1）求证：E

4、是 AB 中点；（2）若 AC1 A1B，求证：AC 1BC17某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC （如图），设计要求彩门的面积为 S （单位：m 2）高为 h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底 BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为 l（1）请将 l 表示成关于的函数 l=f（）；第 3 页（共 30 页）（2）问当为何值时 l 最小？并求最小值18在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 + =l （ab0）的焦距为 2，离心率为，椭圆的右顶点为 A（1）求该椭圆的方程：（2）过点

5、 D（，）作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P，Q，求证：直线AP，AQ 的斜率之和为定值19己知函数 f（x ）=（x+l）lnxax +a （a 为正实数，且为常数）（1）若 f（x）在（0，+ ）上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若不等式（x1）f（x ）0 恒成立，求 a 的取值范围20己知 n 为正整数，数列a n满足 an0，4（n+1）a n2nan+12=0，设数列b n满足 bn=（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列b n是等差数列，求实数 t 的值：（3）若数列b n是等差数列，前 n 项和为 Sn，对任意的 nN*，均存在 mN*，第 4 页（共 30 页）

6、使得 8a12Sna14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数 a1 的值四.选做题本题包括 A，B，C ，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分A.选修 4 一 1：几何证明选讲21如图，圆 O 的直径 AB=6，C 为圆周上一点，BC=3 ，过 C 作圆的切线 l，过A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E求DAC 的度数与线段 AE的长选修 4-2：矩阵与变换22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵M 对应的变换将点（1，2）变换成（2，4）（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特征值选修 4-4：

7、坐标系与参数方程23已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 =2，（1）把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程选修 4-5：不等式选讲24已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c=3，求 + + 的最大值四.必做题：每小题 0 分，共计 20 分第 5 页（共 30 页）25如图，已知正四棱锥 PABCD 中，PA=AB=2，点 M，N 分别在 PA，BD 上，且 = = （1）求异面直线 MN 与 PC 所成角的大小；（2）求二面角 NPCB 的余弦值26设| | ，n 为正整数，数列a n的通项公式 an=sin tann，其前

8、 n 项和为 Sn（1）求证：当 n 为偶函数时，a n=0；当 n 为奇函数时，a n=（1） tann；（2）求证：对任何正整数 n，S 2n= sin21+（ 1） n+1tan2n第 6 页（共 30 页）2017 年江苏省无锡市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共 14 小败，每小題 5 分，共 70 分. 不需要写出解答过程1已知集合 U=1，2，3，4，5，6，7，M=x|x 26x+50，x Z，则 UM= 6，7 【考点】补集及其运算【分析】解不等式化简集合 M，根据补集的定义写出运算结果即可【解答】解：集合 U=1，2，3，4，5，6，7，M=x|x26x

10、x 且 x14如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 24 【考点】伪代码【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 t 的值，由于循环变量的初值为 2，终值为 4，步长为 1，故循环体运行只有 3 次，由此得到答案【解答】解：当 i=2 时，满足循环条件，执行循环t=12=2，i=3 ；当 i=3 时，满足循环条件，执行循环t=23=6，i=4 ；当 i=4 时，满足循环条件，执行循环t=64=24， i=5；当 i=5 时，不满足循环条件，退出循环，输出 t=24故答案为：24第 8 页（共 30 页）5某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法

11、从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为 300 【考点】分层抽样方法【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为 45 的样本，根据高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有 900 名学生，算出高二年级学生人数【解答】解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，高二年级要抽取 452010=15，高级中学共有 900 名学生，每个个体被抽到的概率是 =该校高二年级学生人数为 =300，故答案为：3006已知

12、正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】正四棱锥 PABCD 中，AB=2 ，PA= ，设正四棱锥的高为 PO，连结AO，求出 PO，由此能求出该正四棱锥的体积【解答】解：如图，正四棱锥 PABCD 中，AB=2 ， PA= ，设正四棱锥的高为 PO，连结 AO，则 AO= AC= 在直角三角形 POA 中，PO= = =1所以 VPABCD= SABCDPO= 41= 第 9 页（共 30 页）故答案为： 7从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析

13、】先求出基本事件总数 n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为 3 的倍数的槪率【解答】解：从集合1，2，3，4中任取两个不同的数，基本事件总数 n= =6，这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共 2 个，这两个数的和为 3 的倍数的槪率 p= 故答案为： 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线 =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 【考点】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得 c=2，由双曲线的方程可得 a=1，由离心率公式可得所求值【解答】解：抛

14、物线 y2=8x 的焦点为（2，0），第 10 页（共 30 页）则双曲线 =l 的右焦点为（2，0），即有 c= =2，不妨设 a=1，可得双曲线的离心率为 e= =2故答案为：29设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3，S 9，S 6 成等差数列且 a2+a5=4，则 a8 的值为 2 【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的前 n 项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出 a8 的值【解答】解：等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S3，S 9，S 6 成等差数列且a2+a5=4，，解得，a 8= =（a 1q）（q 3） 2=8 =2故答案为：21

15、0在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M（1，0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于A，B 两点，其中 A 点在第一象限，且 =2 ，则直线 l 的方程为 xy 1=0 【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意，设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论【解答】解：由题意，设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立，可得（m 2+1）第 11 页（共 30 页）y2+2my4=0，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 y1=2y2，y 1+y2= ，y 1y2=联立解得 m=1，直线 l 的方程为 xy1=0，故答案为

16、：xy1=011在ABC 中，已知 AB=1，AC=2 ，A=60，若点 P 满足 = + ，且 =1，则实数的值为或 1 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与表示出来，再求即可【解答】解：ABC 中，AB=1 ，AC=2 ，A=60，点 P 满足 = + ， = ， = ；又 = =（ + ） = +（ 1）， = +（1） = +（ 1）=21cos60+（1 ）2 2=1，整理得 4231=0，解得 = 或 =1，实数的值为或 1故答案为：或 1第 12 页（共 30 页）12已知 sin=3sin（+ ），则 tan

17、（+ ）= 2 4 【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得 tan、tan 的值，可得 tan（+ ）的值【解答】解：sin=3sin（ + ）=3sincos +3cossin = sin+ cos，tan= 又 tan =tan（）= = =2 ，tan（ + ）= = = =2 4，故答案为：2 413若函数 f（x ）= ，则函数 y=|f（x）| 的零点个数为 4 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用分段函数，对 x1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当 x1 时，利用数形结合求解函数的零点个数即可

18、【解答】解：当 x1 时， = ，即 lnx= ，令 g（ x）=lnx ，x 1 时函数是连续函数，第 13 页（共 30 页）g（ 1）= 0，g （2）=ln2 =ln 0，g（ 4）=ln420，由函数的零点判定定理可知 g（x）=lnx ，有 2 个零点（结合函数 y= 与 y= 可知函数的图象由 2 个交点）当 x1 时，y= ，函数的图象与 y= 的图象如图，考查两个函数由 2 个交点，综上函数 y=|f（x）| 的零点个数为：4 个故答案为：414若正数 x，y 满足 15xy=22，则 x3+y3x2y2 的最小值为 1 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由题意可得 x

19、，y 0，又 x3+y3x2y2=（x 3x2）+（y 3y2），求出y3y2 y，当且仅当 y= 时取得等号，设 f（x）=x 3x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值第 14 页（共 30 页）【解答】解：由正数 x， y 满足 15xy=22，可得 y=15x220，则 x ，y 0，又 x3+y3x2y2=（x 3x2）+（ y3y2），其中 y3y2+ y=y（y 2y+ ）=y（y ） 20，即 y3y2 y，当且仅当 y= 时取得等号，设 f（x）=x 3x2，f（x）的导数为 f（x ）=3x 22x=x（3x2），当 x= 时，f（x）的导数为（

20、2）= ，可得 f（ x）在 x= 处的切线方程为 y= x 由 x3x2 x （x ） 2（x+2）0，当 x= 时，取得等号则 x3+y3x2y2=（x 3x2）+（ y3y2） x y =1当且仅当 x= ，y= 时，取得最小值 1故答案为：1二.解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 的对边若 acosB=3，bcosA=l，且AB=（1）求边 c 的长；（2）求角 B 的大小【考点】余弦定理；正弦定理第 15 页（共 30 页）【分析】（1）由 acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2b2=6c， b2+c

21、2a2=2c相加即可得出 c（2）由（1）可得：a 2b2=8由正弦定理可得： = = ，又AB= ，可得 A=B+ ， C= ，可得 sinC=sin 代入可得16sin2B= ，化简即可得出【解答】解：（1）acosB=3，bcosA=l，a =3，b =1，化为：a 2+c2b2=6c，b 2+c2a2=2c相加可得：2c 2=8c，解得 c=4（2）由（1）可得：a 2b2=8由正弦定理可得： = = ，又 AB= ，A=B+ ， C=（A +B）= ，可得 sinC=sin a= ，b= 16sin2B= ，1 （1cos2B）= ，即 cos2B =，2 ， =0 或 =1，B 第

22、 16 页（共 30 页）解得：B= 16如图，在斜三梭柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形，AC 1 与 A1C 交于点O，E 是棱 AB 上一点，且 OE平面 BCC1B1（1）求证：E 是 AB 中点；（2）若 AC1 A1B，求证：AC 1BC【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直【解答】证明：（1）连结 BC1，取 AB 中点

23、E，侧面 AA1C1C 是菱形，AC 1 与 A1C 交于点 O，O 为 AC1 的中点，E是 AB 的中点，OEBC 1； OE平面 BCC1B1，BC 1平面 BCC1B1，OE平面 BCC1B1，OE平面 BCC1B1，E ，E重合，第 17 页（共 30 页）E 是 AB 中点；（2）侧面 AA1C1C 是菱形，AC 1A 1C，AC 1A 1B，A 1CA 1B=A1，A 1C平面 A1BC，A 1B平面 A1BC，AC 1平面 A1BC，BC 平面 A1BC，AC 1BC 17某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC （如图），设计要求彩门的面积为 S

24、（单位：m 2）高为 h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底 BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为 l（1）请将 l 表示成关于的函数 l=f（）；（2）问当为何值时 l 最小？并求最小值【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）求出上底，即可将 l 表示成关于的函数 l=f（）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当为何值时 l 最小？并求最小第 18 页（共 30 页）值【解答】解：（1）设上底长为 a，则 S= ，a= ，l= + （0 ）；（2）l=h ，0 ，l0，，l0，时，l 取得最小值

25、 m18在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 + =l （ab0）的焦距为 2，离心率为，椭圆的右顶点为 A（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D（，）作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P，Q，求证：直线AP，AQ 的斜率之和为定值【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意可知 2c=2，c=1，离心率 e= ，求得 a=2，则 b2=a2c2=1，即可求得椭圆的方程：第 19 页（共 30 页）（2）则直线 PQ 的方程： y=k（x ），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线 AP，AQ 的斜率，即可证明直线 AP，AQ 的率之和为定值【解答】解：（1）由题

26、意可知：椭圆 + =l （a b0），焦点在 x 轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率 e= = ，则 a= ，b 2=a2c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设 P（x 1，y 1），Q （x 2，y 2），A （，0），由题意 PQ 的方程： y=k（x ），则，整理得：（2k 2+1）x 2（4 k2+4 k）x+4k 2+8k+2=0，由韦达定理可知：x 1+x2= ，x 1x2= ，则 y1+y2=k（x 1+x2） 2 k2 = ，则 kAP+kAQ= + = ，由 y1x2+y2x1=k（x 1 ） x2+k（x 2 ） x1=2kx1x2（ k+ ）（x

27、 1+x2）= ，kAP+kAQ= = =1，直线 AP， AQ 的斜率之和为定值 1第 20 页（共 30 页）19己知函数 f（x ）=（x+l）lnxax +a （a 为正实数，且为常数）（1）若 f（x）在（0，+ ）上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若不等式（x1）f（x ）0 恒成立，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数 f（x ）的导数，问题转化为 alnx+ +1 在（0，+）恒成立，（a0），令 g（x ）=lnx+ +1，（x0），根据函数的单调性求出 a 的范围即可；（2）问题转化为（x1）（

28、x+1）lnxa0 恒成立，通过讨论 x 的范围，结合函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解：（1）f（x） =（x+l）lnxax +a，f（x ）=lnx+ +1a，若 f（x）在（0，+）上单调递增，则 alnx+ +1 在（0，+）恒成立，（a0），令 g（ x）=lnx+ +1，（x 0），g（x ）= ，令 g（x）0 ，解得：x 1，令 g（x）0，解得：0x1，故 g（ x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，故 g（ x） min=g（1）=2，故 0a2 ；（2）若不等式（x1）f（x ）0 恒成立，即（x1）（x+1）lnx a0 恒成立，x1 时，只需 a（

29、x+1）lnx 恒成立，令 m（x ）= （ x+1）lnx，（x1），则 m（x）=lnx+ +1，由（1）得：m（x）2，第 21 页（共 30 页）故 m（x ）在 1，+）递增， m（x ）m（1）=0，故 a0，而 a 为正实数，故 a0 不合题意；0x1 时，只需 a（ x+1）lnx，令 n（x）=（ x+1）lnx，（0 x1），则 n（x ）=lnx+ +1，由（ 1）n （x）在（0，1）递减，故 n（x ）n（1）=2，故 n（x）在（0，1）递增，故 n（x）n （1 ）=0 ，故 a0，而 a 为正实数，故 a020己知 n 为正整数，数列a n满足 an0，

30、4（n+1）a n2nan+12=0，设数列b n满足 bn=（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列b n是等差数列，求实数 t 的值：（3）若数列b n是等差数列，前 n 项和为 Sn，对任意的 nN*，均存在 mN*，使得 8a12Sna14n2=16bm 成立，求满足条件的所有整数 a1 的值【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）数列a n满足 an0，4（n +1）a n2nan+12=0，化为： =2 ，即可证明（2）由（1）可得： = ，可得 =n 4n1数列b n满足bn= ，可得 b1，b 2，b 3，利用数列b n是等差数列即可得出 t（3）根据（2）的结

31、果分情况讨论 t 的值，化简 8a12Sna14n2=16bm，即可得出a1第 22 页（共 30 页）【解答】（1）证明：数列a n满足 an0，4（n +1）a n2nan+12=0， = an+1，即 =2 ，数列是以 a1 为首项，以 2 为公比的等比数列（2）解：由（1）可得： = ， =n 4n1b n= ，b 1= ，b 2= ，b 3= ，数列b n是等差数列，2 = + ， = + ，化为：16t=t 2+48，解得 t=12 或 4（3）解：数列b n是等差数列，由（2）可得：t=12 或 4t=12 时，b n= = ，S n= ，对任意的 nN*，均存在 mN*，使

32、得 8a12Sna14n2=16bm 成立， a14n2=16 ， = ， n=1 时，化为： = 0，无解，舍去t=4 时，b n= = ，S n= ，对任意的 nN*，均存在 mN*，使得 8a12Sna14n2=16bm 成立，第 23 页（共 30 页） a14n2=16 ，n =4m，a 1= a 1 为正整数， = k，kN *满足条件的所有整数 a1 的值为a 1|a1=2 ，nN *，mN *，且= k，k N*四.选做题本题包括 A，B，C ，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分A.选修 4 一 1：几何证明选讲21如图，圆 O 的直径 AB=6，C 为

33、圆周上一点，BC=3 ，过 C 作圆的切线 l，过A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E求DAC 的度数与线段 AE的长【考点】弦切角【分析】连接 OC，先证得三角形 OBC 是等边三角形，从而得到DCA=60，再在直角三角形 ACD 中得到DAC 的大小；考虑到直角三角形 ABE 中，利用角的关系即可求得边 AE 的长【解答】解：如图，连接 OC，因 BC=OB=OC=3，因此CBO=60，由于DCA=CBO ，所以DCA=60，又 ADDC 得DAC=30 ；又因为ACB=90 ，得CAB=30 ，那么EAB=60 ，从而ABE=30，第 24 页（共 30 页）

34、于是选修 4-2：矩阵与变换22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵M 对应的变换将点（1，2）变换成（2，4）（1）求矩阵 M；（2）求矩阵 M 的另一个特征值【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换【分析】（1）先设矩阵 A= ，这里 a，b，c，d R，由二阶矩阵 M 有特征值=8 及对应的一个特征向量 e1 及矩阵 M 对应的变换将点（1，2）换成（2 ，4）得到关于 a，b，c ，d 的方程组，即可求得矩阵 M；（2）由（1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f（）= （6）（4） 8=210+16，从而求得另一个特征值为 2【解答

35、】解：（1）设矩阵 A= ，这里 a，b，c，d R，则 =8 = ，故，由于矩阵 M 对应的变换将点（ 1，2）换成（2，4）则 = ，第 25 页（共 30 页）故联立以上两方程组解得 a=6，b=2 ，c=4，d=4，故 M= （2）由（1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f（）= （6）（4） 8=210+16，故矩阵 M 的另一个特征值为 2选修 4-4：坐标系与参数方程23已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 =2，（1）把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程【分

36、析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆 O2 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cos=x， sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得圆 O2 的直角坐标方程及圆 O1 直角坐标方程（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可【解答】解：（1）=2 2=4，所以 x2+y2=4；因为，所以，所以 x2+y22x2y2=0（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1化为极坐标方程为 cos+sin=1，即选修 4-5：不等式选讲24已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c=3，

37、求 + + 的最大值【考点】二维形式的柯西不等式【分析】利用柯西不等式，结合 a+b+c=3，即可求得 + + 的最大值第 26 页（共 30 页）【解答】解：由柯西不等式可得（ + + ） 21 2+12+12（） 2+（） 2+（） 2=312 + + 3 ，当且仅当 = = 时取等号 + + 的最大值是 6，故最大值为 6四.必做题：每小题 0 分，共计 20 分25如图，已知正四棱锥 PABCD 中，PA=AB=2，点 M，N 分别在 PA，BD 上，且 = = （1）求异面直线 MN 与 PC 所成角的大小；（2）求二面角 NPCB 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；异面直

38、线及其所成的角【分析】（1）设 AC 与 BD 的交点为 O，AB=PA=2以点 O 为坐标原点，，方向分别是 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz利用向量法能求出异面直线 MN 与 PC 所成角（2）求出平面 PBC 的法向量和平面 PNC 的法向量，利用向量法能求出二面角NPCB 的余弦值【解答】解：（1）设 AC 与 BD 的交点为 O，AB=PA=2以点 O 为坐标原点，，方向分别是 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz则 A（1， 1，0），B （1，1，0），C（ 1，1，0），D（1， 1，0），第 27 页（共 30

39、页）设 P（ 0，0，p），则 =（ 1，1，p ），又 AP=2，1+1 +p2=4，p= ， = = =（），=（）， =（ 1，1，）， =（0，，），设异面直线 MN 与 PC 所成角为，则 cos= = = =30，异面直线 MN 与 PC 所成角为 30（2） =（1，1，）， =（1，1，）， =（，），设平面 PBC 的法向量 =（ x，y，z ），则，取 z=1，得 =（0，，1），设平面 PNC 的法向量 =（a，b，c），则，取 c=1，得 =（，2 ，1），设二面角 NPCB 的平面角为，则 cos= = = 二面

40、角 NPCB 的余弦值为第 28 页（共 30 页）26设| | ，n 为正整数，数列a n的通项公式 an=sin tann，其前 n 项和为 Sn（1）求证：当 n 为偶函数时，a n=0；当 n 为奇函数时，a n=（1） tann；（2）求证：对任何正整数 n，S 2n= sin21+（ 1） n+1tan2n【考点】数列的求和【分析】（1）利用 sin = ，即可得出（2）a 2k1+a2k=（1） tann利用等比数列的求和公式即可得出【解答】证明：（1）a n=sin tann，当 n=2k（k N*）为偶数时， an=sinktann=0；当 n=2k1 为奇函数时，a n= tann=（1） k1tann=（1） tann（2）a 2k1+a2k=（1） tann奇数项成等比数列，首项为 tan，公比为tan2第 29 页（共 30 页）S 2n= = sin21+（ 1） n+1tan2n第 30 页（共 30 页）2017 年 4 月 18 日

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