1、2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版1 / 112013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷 II 新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，文 1)已知集合 M x|3x1， N3，2，1,0,1 ，则 MN( )A 2，1,0,1 B3，2，1,0C2，1,0 D 3，2，1答案：C解析：由题意可得，MN 2，1,0故选 C.2(2013 课标全国，文 2) ( ) 1iA B2 C D 1答案：C解析： 1i， |1 i| .i23(2013 课标全国，文
2、3)设 x，y 满足约束条件 则 z2x3y 的最小值是( ) 0,13,xyA7 B6 C5 D3答案：B解析：如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为 ，先画23zyx出 l0：y ，当 z 最小时，直线在 y 轴上的截距最大，故最优点为图中的点 C，由23x可得 C(3,4)，代入目标函数得，z min23346.,1,4(2013 课标全国，文 4)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知b2， ， ，则ABC 的面积为( )6B4CA B3+3+1C D2答案：B2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版2 / 11解析：A(B
3、C) ，76412由正弦定理得 ，siniabAB则 ，72162isibS ABC .n ()312aC5(2013 课标全国，文 5)设椭圆 C： (ab 0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是 C 上的点，2=xyPF2F 1F2，PF 1F230，则 C 的离心率为( )A B C D36123答案：D解析：如图所示，在 RtPF 1F2 中，|F 1F2|2c ，设|PF 2| x，则|PF 1|2x，由 tan 30 ，得 .23|Pc3x而由椭圆定义得，|PF 1| PF2|2a3x， ， .32axcce6(2013 课标全国，文 6)已知 sin 2 ，则 ( )32o
4、s4A B C D131答案：A解析：由半角公式可得， 2cos4 .1cos21in3267(2013 课标全国，文 7)执行下面的程序框图，如果输入的 N4，那么输出的 S( )2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版3 / 11A 1+234B 12C 15D +2343答案：B解析：由程序框图依次可得，输入 N4，T1，S1，k2；， ，k3；，S ，k4；31+2， ，k5；42T132输出 .148(2013 课标全国，文 8)设 alog 32，blog 52，clog 23，则( ) Aacb Bbc aCc ba Dc ab答案：D解析：log25log231
5、，log231 0，即21log32l5log231log32log520，c ab.9(2013 课标全国，文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1) ，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( 2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版4 / 11)答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像为下图：则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ，故选 A.10(2013 课标全国，文 10)设抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，直线 l
6、 过 F 且与 C 交于 A，B 两点若|AF|3|BF |，则 l 的方程为( ) Ayx1 或 yx 1By 或 y33()Cy 或 y()xxDy 或 y212(1)答案：C解析：由题意可得抛物线焦点 F(1,0)，准线方程为 x 1.当直线 l 的斜率大于 0 时，如图所示，过 A，B 两点分别向准线 x1 作垂线，垂足分别为 M，N，则由抛物线定义可得，|AM|AF|，|BN|BF|.设|AM |AF| 3t(t0)，|BN|BF |t，| BK|x，而|GF|2，2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版5 / 11在AMK 中，由 ，得 ，|NBKAM34txt解得
7、 x2t，则 cosNBK ，|12NBK 60，则GFK60，即直线 AB 的倾斜角为 60.斜率 ktan 60 ，故直线方程为 y 33()x当直线 l 的斜率小于 0 时，如图所示，同理可得直线方程为 y ，故选 C.3(1)x11(2013 课标全国，文 11)已知函数 f(x)x 3ax 2bx c ，下列结论中错误的是( )Ax 0R，f(x 0)0B函数 yf (x)的图像是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间( ，x 0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)0答案：C解析：若 x0 是 f(x)的极小值点，则 yf(x) 的图
8、像大致如下图所示，则在 (，x0)上不单调，故 C不正确12(2013 课标全国，文 12)若存在正数 x 使 2x(xa) 1 成立，则 a 的取值范围是( )A( ，) B( 2，)C(0，) D( 1，)答案：D解析：由题意可得， (x0) a令 f(x) ，该函数在 (0，)上为增函数，可知 f(x)的值域为(1，) ，故 a1 时，12x存在正数 x 使原不等式成立第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22题第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，文 13
9、)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数，其和为 5 的概率是_2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版6 / 11答案：0.2解析：该事件基本事件空间 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4) ，(2,5)，(3,4)，(3,5) ，(4,5)共有 10 个，记 A“其和为 5”(1,4)，(2,3)有 2 个，P(A) 0.2.21014(2013 课标全国，文 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 _.AEBD答案：2解析：以 为基底，则 ，,BD0ABD而 ， ，1E .1()()2AEBDADB221
10、1AD15(2013 课标全国，文 15)已知正四棱锥 OABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，33OA 为半径的球的表面积为_ 答案：24解析：如图所示，在正四棱锥 OABCD 中，V OABCD S 正方形 ABCD|OO1| |OO1|1332()，32|OO 1| ，|AO 1| ，326在 Rt OO1A 中，OA ，即 ，2211|OA22366RS 球 4R 224.16(2013 课标全国，文 16)函数 ycos(2x )( )的图像向右平移 个单位后，与函数 y2的图像重合，则 _.sin3x2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版7 / 1
11、1答案： 56解析：ycos(2x)向右平移 个单位得， cos(2x)2cos2yx，而它与函数 的图像重合，令sin2+=sinxxin32x 2x 2k，kZ，3得 ，kZ.526又， .56三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 课标全国，文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列a n的公差不为零，a 125，且a1，a 11，a 13 成等比数列(1)求a n的通项公式；(2)求 a1a 4a 7a 3n2 .解：(1)设a n的公差为 d.由题意， a 1a13，2即(a 110d) 2a 1(a112d)于是 d(2a125d)0.又 a125，所
12、以 d0(舍去)，d2.故 an2n27.(2)令 Sna 1a 4a 7a 3n2 .由(1)知 a3n2 6n31，故 a3n2 是首项为 25，公差为6 的等差数列从而 Sn (a1a 3n2 ) (6n56) 3n 228n.18(2013 课标全国，文 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB 1 的中点(1)证明：BC 1平面 A1CD；(2)设 AA1ACCB2，AB ，求三棱锥 CA 1DE 的体积2解：(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析
13、版8 / 11又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF .因为 DF平面 A1CD，BC 1 平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)因为 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1CD.由已知 ACCB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB.又 AA1ABA，于是 CD平面 ABB1A1.由 AA1ACCB2， 得ACB90， ， ， ，A 1E3，22CD16AD故 A1D2DE 2A 1E2，即 DEA 1D.所以 VCA 1DE 1.63319(2013 课标全国，文 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出 1 t该产品获利
14、润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品以 X(单位：t,100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T( 单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将 T 表示为 X 的函数；(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率解：(1)当 X100,130)时，T500X300(130X)800X39 000.当 X130,150时，T 50013065 000.所以 8039,103,65,5.(2)由(1)知利润 T 不少于 57
15、 000 元当且仅当 120X150.由直方图知需求量 X120,150的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.20(2013 课标全国，文 20)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 在 y 轴上截得线段长为 .223(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为 ，求圆 P 的方程解：(1)设 P(x， y)，圆 P 的半径为 r.由题设 y22r 2，x 23r 2.2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版9 / 11从而 y22x 23
16、.故 P 点的轨迹方程为 y2x 2 1.(2)设 P(x0，y 0)由已知得 .0|又 P 点在双曲线 y2x 21 上，从而得 01|,.由 得02,xy0,1.y此时，圆 P 的半径 r .3由 得02,x0,.此时，圆 P 的半径 .r故圆 P 的方程为 x2(y1) 23 或 x2(y1) 23.21(2013 课标全国，文 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x 2ex .(1)求 f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线 yf(x )的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围解：(1)f(x) 的定义域为 (， )，f(x)e x x(x2)当 x(
17、 ，0)或 x(2 ，)时，f(x )0；当 x(0,2)时，f(x )0.所以 f(x)在(，0)，(2 ，) 单调递减，在(0,2)单调递增故当 x0 时，f( x)取得极小值，极小值为 f(0)0；当 x2 时，f(x)取得极大值，极大值为 f(2)4e 2 .(2)设切点为(t，f(t)，则 l 的方程为 yf(t)( xt)f(t)所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t) .()23fttt由已知和得 t(，0)(2 ，)令 h(x) (x0)，则当 x(0 ，)时，h(x) 的取值范围为 ，)；2当 x( ，2)时，h(x )的取值范围是(，3) 所以当 t(，0)(2 ，)时，m
18、 (t)的取值范围是( ，0) ，)23综上，l 在 x 轴上的截距的取值范围是( ，0) ，)23请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分22(2013 课标全国，文 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，CD 为ABC 外接圆的切线， AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BCAEDC AF，B，E，F，C 四点共圆(1)证明：CA 是ABC 外接圆的直径；(2)若 DBBEEA，求
19、过 B，E，F，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版10 / 11解：(1)因为 CD 为ABC 外接圆的切线，所以DCBA.由题设知 ，BCDFE故CDBAEF，所以DBCEFA.因为 B，E ，F， C 四点共圆，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此 CA 是ABC 外接圆的直径(2)连结 CE，因为CBE 90，所以过 B，E ，F ，C 四点的圆的直径为 CE，由 DBBE，有 CEDC ，又 BC2DB BA2DB 2，所以 CA24DB 2BC 26DB 2.而 DC2DBDA3DB 2，故过 B
20、，E ，F，C 四点的圆的面积与ABC 外接圆面积的比值为 .123(2013 课标全国，文 23)(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知动点 P，Q 都在曲线 C： (t 为参数)上，对应参数分别为 t 与 t2(02)，cos,inxyM 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点解：(1)依题意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为 (为参数，02)cos,inxy(2)M 点到坐
21、标原点的距离d (0 2)22sxy当 时，d0，故 M 的轨迹过坐标原点24(2013 课标全国，文 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设 a，b，c 均为正数，且 abc1.证明：(1)abbcca ；13(2) 1.22bca解：(1)由 a2b 22ab，b 2c 22bc，c 2a 22ca，得 a2b 2c 2abbc ca.由题设得(abc) 21，即 a2b 2c 22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1 ，即 abbc ca .13(2)因为 ， ， ，2b2c2ac2013 年高考文科数学全国新课标卷 2word 解析版11 / 11故 2(abc)，22(abc即 abc .所以 1.22
