2015年高考文科数学试卷全国卷2(解析版).pdf-道客多多

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2、】由题意可得 2 i 1 i 3 i 2 4i 4a a ,故选 D.考点：本题主要考查复数的乘除运算 ,及复数相等的概念 .3 根据下面给出的 2004年至 2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图 ,以下结论中不正确的是（）A 逐年比较 ,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B 2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C 2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减

3、少趋势D 2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关【答案】 D【解析】由柱形图可知 2006 年以来 ,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势 ,所以二氧化碳排放量与年份负相关 ,故选 D.考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解4 已知 1, 1 a , 1,2 b ,则 (2 ) a b a （）A 1 B 0 C 1 D 2【答案】 C【解析】试题分析：由题意可得2 1 1 2

4、 a , 1 2 3, a b 所以 22 2 4 3 1 a b a a a b .故选 C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算 .试卷第 2页，总 13页5 设 nS 是等差数列 na 的前 n项和 ,若 1 3 5 3a a a ,则 5S （）A 5 B 7 C 9 D 11【答案】 A【解析】试题解析：由 1 3 5 3 33 3 1a a a a a ,所有 1 55 35 5 52a aS a .故选A.考点：本题主要考查等差数列的性质及前 n项和公

5、式的应用 .6 一个正方体被一个平面截去一部分后 ,剩余部分的三视图如下图 ,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】 D【解析】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角 ,其体积是正方体体积的 16 ,剩余部分体积是正方体体积的 56 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 15 ,故选 D.考点：本题主要

6、考查三视图及几何体体积的计算 .7 已知三点 (1,0), (0, 3), (2, 3)A B C ,则 ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5A.3 21B. 3 2 5C. 3 4D.3【答案】 B【解析】试题分析： ABC外接圆圆心在直线 BC 垂直平分线上即直线 1x 上 ,设圆试卷第 3页，总 13页心 D 1,b ,由 DA=DB得 2 2 21 3 3b b b ,所以圆心到原点的距离22 2 2 211 3 3d . 故选 B.考点：本

7、题主要考查圆的方程的求法 ,及点到直线距离公式 .8 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的 “ 更相减损术 ” ,执行该程序框图 ,若输入的 ,a b分别为 14,18,则输出的 a为（）A.0 B.2 C.4 D.14【答案】 B【解析】试题分析：由题意可知输出的 a是 18,14的最大公约数 2,故选 B.考点：本题主要考查程序框图及更相减损术 .9 已知

8、等比数列 na 满足 1 14a , 3 5 44 1a a a ,则 2a （）A.2 B.1 1C.2 1D.8【答案】 C【解析】试题分析：由题意可得 23 5 4 4 44 1 2a a a a a , 所以3 41 8 2aq qa ,故 2 1 12a a q ,选 C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算 .10 已知 BA, 是球 O的球面上两点 , 90AOB ,C为该球面上的动点 .若三棱锥 ABCO 体积的最大值为 36,则球 O的表面

9、积为（）A.36 B. 64 C.144 D. 256【答案】 C【解析】试题分析：设球的半径为 R,则 AOB面积为 212 R ,三棱锥 O ABC 体积最大时 ,C 到平面 AOB 距离最大且为 R,此时 31 36 66V R R ,所以球 O 的表试卷第 4页，总 13页面积 24 144S R .故选 C.考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力 .11 如图 ,长方形的边 AB=2,BC=1,O是 AB的中点 ,点 P沿

10、着边 BC,CD与 DA运动 ,记 BOP x ,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f x ,则的图像大致为（）【答案】 B【解析】试题分析：由题意可得 2 2, 5 12 4 2 4f f f f ,由此可排除 C,D ；当 0 4x 时点 P 在边 BC 上， tanPB x ，2 2 24 tanPA AB PB x ，所以 2tan 4f x x tan x , 可知0, 4x 时图像不是线段 ,可排除 A,故选 B.考点：本题主要考查函

11、数的识图问题及分析问题解决问题的能力 .12 设函数21( ) ln(1 | |) 1f x x x ,则使得 ( ) (2 1)f x f x 成立的 x的取值范围是（）A 1,13 B 1, 1,3 C 1 1,3 3 D 1 1, ,3 3 【答案】 A【解析】试题分析：由 21( ) ln(1 | |) 1f x x x 可知 f x 是偶函数 ,且在 0, 是增函数 , 所以试卷第 5页，总 13页 22 12 1 2 1 2 1 2 1 13f x f x f x f x x

12、x x x x .故选 A.考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法 .13 已知函数 3 2f x ax x 的图像过点（ -1,4） ,则 a= 【答案】 -2【解析】试题分析：由 3 2f x ax x 可得 1 2 4 2f a a .考点：本题主要考查利用函数解析式求值 .14 若 x,y满足约束条件 5 02 1 02 1 0x yx yx y ,则 z=2x+y的最大值为【答案】 8【解析】试题分析：不

13、等式组 5 02 1 02 1 0x yx yx y 表示的可行域是以 1,1 , 2,3 , 3,2 为顶点的三角形区域 , 2z x y 的最大值必在顶点处取得 ,经验算 , 3, 2x y 时max 8z .考点：本题主要考查线性规划知识及计算能力 .15 已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 12y x ,则该双曲线的标准方程为【答案】 2 2 14x y 【解析】试题分析：根据双曲线渐近线方程为 1

14、2y x ,可设双曲线的方程为2 24x y m ,把 4, 3 代入 2 24x y m 得 1m .所以双曲线的方程为2 2 14x y .考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力 .16 已知曲线 lny x x 在点 1,1 处的切线与曲线 2 2 1y ax a x 相切 ,则 a= 【答案】 8试卷第 6页，总 13页【解析】试题分析：由 11y x 可得曲线 lny x x 在点 1,1 处的切线斜率为 2,故切线方程为 2 1

15、y x ,与 2 2 1y ax a x 联立得 2 2 0ax ax ,显然0a ,所以由 2 8 0 8a a a .考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题 .17 （本小题满分 12分） ABC中 D是 BC上的点 ,AD平分 BAC,BD=2DC.（）求 sinsin BC ；（）若 60BAC ,求 B .【答案】（） 12 ；（） 30.【解析】试题分析：（）利用正弦定理转化得： sin 1.sin 2B DCC BD （）

16、由诱导公式可得 3 1sin sin cos sin .2 2C BAC B B B 由（）知2sin sinB C ,所以 3tan , 30 .3B B 试题解析：（）由正弦定理得 , ,sin sin sin sinAD BD AD DCB BAD C CAD 因为AD平分 BAC,BD=2DC,所以 sin 1.sin 2B DCC BD .（）因为 180 , 60 ,C BAC B BAC 所以 3 1sin sin cos sin .2 2C BAC B B B 由（ I ）知2sin sinB C ,所以 3tan

17、, 30 .3B B 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用 ,意在考查考生的三角变换能力及运算能力 .18 （本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度 ,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户 ,根据用户对其产品的满意度的评分 ,得到 A地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B地区用户满意度评分的频率分布表 .A地区用户满意度

18、评分的频率分布直方图试卷第 7页，总 13页B地区用户满意度评分的频率分布表满意度评分分组 50,60) 50,60) 50,60) 50,60) 50,60)频数 2 8 14 10 6（）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 ,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 .（不要求计算出具体值 ,给出结论即可）B地区用户满意度评分的频率分布直方图（）

19、根据用户满意度评分 ,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于 70分 70 分到 89分不低于 90分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 ,说明理由 .【答案】（）见试题解析（） A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 .【解析】试题分析：（）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以

20、看出 ,B地区用户满意度评分的平均值高于 A地区用户满意度评分的平均值 ,B地区用户满意度评分比较集中 ,而 A地区用户满意度评分比较分散 .（ II）由直方图得 AP C 的估计值为 0.6, BP C 的估计值为 0.25.,所以 A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 .试卷第 8页，总 13页试题解析：（）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出 ,B

21、地区用户满意度评分的平均值高于 A地区用户满意度评分的平均值 ,B地区用户满意度评分比较集中 ,而 A地区用户满意度评分比较分散 .（） A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 .记 AC 表示事件 “ A地区的用户的满意度等级为不满意 ” ； BC 表示事件 “ B地区的用户的满意度等级为不满意 ” .由直方图得 AP C 的估计值为 0.01 0.02 0.03 10 0.6

22、 , BP C 的估计值为 0.005 0.02 10 0.25. ,所以 A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 .考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计 .19 （本小题满分 12 分）如图 , 长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中AB=16,BC=10, 1 8AA ,点 E,F分别在 1 1 1 1,AB DC 上 , 1 1 4.AE D F 过点 E,F的平面与此长方体的面相交 ,交线围成一个正方形 .（）在图中

23、画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 .【答案】（）见试题解析（） 97 或 79【解析】试题分析：（）分别在 ,AB CD上取 H,G,使 10AH DG ；长方体被平面分成两个高为 10的直棱柱 ,可求得其体积比值为 97 或 79试题解析：解：（）交线围成的正方形 EHGF如图：试卷第 9页，总 13页（）作 ,EM AB 垂

24、足为 M,则 1 4AM AE , 1 12EB , 1 8EM AA ,因为 EHGF 是正方形 , 所以 10EH EF BC , 于是2 2 6, 10, 6.MH EH EM AH HB 因为长方体被平面分成两个高为 10的直棱柱 ,所以其体积比值为 97 （ 79 也正确） .考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算 .20 （本小题满分 12分）已知椭圆 2 22 2: 1 0x yC a ba b 的离心率为 22 ,点

25、2, 2 在 C上 .（）求 C的方程；（）直线 l不经过原点 O,且不平行于坐标轴 ,l与 C有两个交点 A,B,线段AB中点为 M,证明：直线 OM的斜率与直线 l的斜率乘积为定值 .【答案】（） 2 22 2 18 4x y （）见试题解析【解析】试题分析：（）由 2 2 2 22 4 2, 1,2a ba a b 求得 2 28, 4a b ,由此可得 C的方程 .（ II）把直线方程与椭圆方程联立得 2 2 22 1 4

26、2 8 0.k x kbx b ,所以 1 2 2 22 , ,2 2 1 2 1M M Mx x kb bx y kx bk k 于是1 ,2MOM Myk x k 12OMk k .试题解析：解：（）由题意有 2 2 2 22 4 2, 1,2a ba a b 解得 2 28, 4a b ,所以椭圆 C的方程为 2 22 2 18 4x y .（）设直线 : 0, 0l y kx b k b , 1 1 2 2, , , , ,M MA x y B x y M x y ,把试卷第 10页，总 13页y kx b 代入 2 22 2

27、18 4x y 得 2 2 22 1 4 2 8 0.k x kbx b 故 1 2 2 22 , ,2 2 1 2 1M M Mx x kb bx y kx bk k 于是直线 OM 的斜率1 ,2MOM Myk x k 即 12OMk k ,所以直线 OM的斜率与直线 l的斜率乘积为定值 .考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力 .21 （本小题满分 12分）已知 ln 1f x x a x .（）讨论 f x 的单调性；（）当 f x

28、有最大值 ,且最大值大于 2 2a 时 ,求 a的取值范围 .【答案】（） 0a , f x 在 0, 是单调递增； 0a , f x 在 10, a 单调递增 ,在 1 ,a 单调递减；（） 0,1 .【解析】试题分析：（）由 1f x ax ,可分 0a , 0a 两种情况来讨论；（ II）由（ I）知当 0a 时 f x 在 0, 无最大值 ,当 0a 时 f x 最大值为1 ln 1.f a aa 因此 1 2 2 ln 1 0f a a aa . 令 ln 1g a

29、 a a ,则 g a 在 0, 是增函数 ,当 0 1a 时 , 0g a ,当1a时 0g a ,因此 a的取值范围是 0,1 .试题解析：（） f x 的定义域为 0, , 1f x ax ,若 0a ,则 0f x , f x 在 0, 是单调递增；若 0a ,则当 10,x a 时 0f x ,当 1 ,x a 时 0f x ,所以 f x 在 10, a 单调递增 ,在 1 ,a 单调递减 .（）由（）知当 0a 时 f x 在 0, 无最大值 ,当 0a 时 f x 在 1x a试卷第 11页

30、，总 13页取得最大值 , 最大值为 1 1 1ln 1 ln 1.f a a aa a a 因此1 2 2 ln 1 0f a a aa .令 ln 1g a a a ,则 g a 在 0, 是增函数 , 1 0g ,于是 ,当 0 1a 时 , 0g a ,当 1a 时 0g a ,因此 a的取值范围是 0,1 .考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想 .22 （本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲如图 O是等腰三角形 ABC内

31、一点 ,圆 O与 ABC的底边 BC交于 M,N两点 ,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC分别相切于 E,F两点 .（）证明 EF BC ；（）若 AG等于圆 O半径 ,且 2 3AE MN ,求四边形 EBCF的面积 .【答案】（）见试题解析；（） 16 33【解析】试题分析：（）要证明 EF BC , 可证明 ,AD BC AD EF ；（）先求出有关线段的长度 ,然后把四边形 EBCF 的面积转化为 ABC 和 AEF 面

32、积之差来求 .试题解析：（）由于 ABC是等腰三角形 , ,AD BC 所以 AD是 CAB 的平分线 ,又因为圆 O与 AB,AC分别相切于 E,F,所以 AE AF ,故 AD EF ,所以 EF BC .（）由（）知 AE AF ,AD EF ,故 AD是 EF的垂直平分线 ,又 EF为圆O 的弦 ,所以 O 在 AD 上 ,连接 OE,OF,则 OE AE ,由 AG 等于圆 O 的半径得AO=2OE,所以 30OAE ,因此 , ABC 和 AEF 都是等边三角形 ,因为2

33、3AE ,所以 4, 2,AO OE 因为 2,OM OE 1 3,2DM MN 所以 OD=1, 于是 AD=5, 10 3 ,3AB 所以四边形 DBCF 的面积为试卷第 12页，总 13页 2 21 10 3 3 1 3 16 32 3 .2 3 2 2 2 3 考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力 .23 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中 ,曲线 1 cos ,: sin ,x tC y t （

34、 t 为参数 ,且 0t ） ,其中0 ,在以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线2 3: 2sin , : 2 3cos .C C （）求 2C 与 3C 交点的直角坐标；（）若 1C 与 2C 相交于点 A, 1C 与 3C 相交于点 B,求 AB 最大值 .【答案】（） 3 30,0 , ,2 2 ；（） 4.【解析】试题分析：（）把 2C 与 3C 的方程化为直角坐标方程分别为2 2 2 0x y y , 2 2 2 3 0x y x

35、 ,联立解方程组可得交点坐标；（）先确定曲线 1C 极坐标方程为 , 0 , R 进一步求出点 A 的极坐标为 2sin , , 点 B 的极坐标为 2 3cos , , 由此可得2sin 2 3cos 4 sin 43AB .试题解析：解：（）曲线 2C 的直角坐标方程为 2 2 2 0x y y ,曲线 3C 的直角坐标方程为 2 2 2 3 0x y x ,联立两方程解得 00xy 或 3232xy ,所以 2C 与 3C 交点的直角坐标 3

36、 30,0 , ,2 2 .（）曲线 1C 极坐标方程为 , 0 , R 其中 0 ,因此点 A的极坐标为 2sin , ,点 B的极坐标为 2 3cos , ,所以 2sin 2 3cos 4 sin 3AB ,当 56 时 AB 取得最大值 ,试卷第 13页，总 13页最大值为 4.考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化 .圆的方程及三角函数的最值 .24 （本小题满分 10分）选修 4-5：不等式证明选讲设 ,

37、, ,a b c d 均为正数 ,且 a b c d .证明：（）若 ab cd ,则 a b c d ；（） a b c d 是 a b c d 的充要条件 .【答案】【解析】试题分析：（）由 a b c d 及 ab cd ,可证明 2 2a b c d ,开方即得 a b c d .（）本小题可借助第一问的结论来证明 ,但要分必要性与充分性来证明 .试题解析：解：（）因为 2 22 , 2 ,a b a b ab c d c d cd 由题设 a b c

38、 d , ab cd , 得 2 2a b c d , 因此a b c d .（）（）若 a b c d , 则 2 2a b c d , 即 2 24 4 ,a b ab c d cd 因为 a b c d ,所以 ab cd ,由（）得a b c d .（）若 a b c d , 则 2 2a b c d , 即2 2 ,a b ab c d cd 因为 a b c d ,所以 ab cd ,于是 2 2 2 24 4 ,a b a b ab c d cd c d 因此 a b c d ,综上 a b c d 是 a b c d 的充要条件 .考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件 .

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