1、 2011 年2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11立体几何一、选择题（20189）在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为1ABCD1ABC3A1ADBA B C D155652（20174）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得， 则该几何体的体积为（ ）A B C D9034236（201710）已知直三棱柱 中， ， ，1A02A，则异面直线 与 所成角的余弦值为 （ ）1CA B C D325053（20166）右图是由圆柱与圆锥组 合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
2、A20 B24 C28 D32423（20156）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A B C D 81716151（20159）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）A36 B64 C144 D256（20146）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A B C
3、 D1725902713（201411）直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BCA =90，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC=CA= CC1，则 BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）2016，6 2015，6 2014，6A B C D10253012（20134）已知 为异面直线， 平面 ， 平面 .直线 满足 ， ， ， ，则（ ）,mnnlmlnlA. / 且 l / B. 且 lC. 与 相交，且交线垂直于 D. 与 相交，且交线平行于l l（20137）一个四面体的顶点在空 间直角坐标系 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0) ，(0,1,1)，(0,0,0)
4、，画该Oxyz四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）zxA. B. C. D.（20127）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. 6 B. 9 C. 12 D. 18（201211）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 6263322（20116）在一个几何体的三视图 中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A. B. C. D.二、填空题（201816）1
5、6已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦 值为 ， 与圆锥SASB78SA底面所成角为 45，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_AB 51（201614）、 是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n，那么 .（2）如果 m，n，那么 mn.（3）如果 ，m ，那么 m. （4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 . (填写所有正确命题的编号.)（201115）已知矩形 ABCD 的 顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 ，则棱锥 O-ABCD6,23ABC的体积为 .三、解答题（201719）如图，四棱锥 P
6、-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， ，12ABCD， E 是 PD 的中点.o90BADC（1）证明：直线 平面 PAB；/（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值o45（201619）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H. 将DEF 沿 EF 折到D EF 的位置，54.10OD（）证明： 平面 ABCD；（）求二面角 的正弦值.BAC（201519）如图 ，长方体 ABCD
7、-A1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过 点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.（201418）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB / 平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD= ，求三棱 锥 E-ACD 的体积.3（201318）如图，直三棱柱 1ABC中， ， 分别是 ，DEAB的中点， .1
8、B12（）证明： /平面 ；（）求二面角 的正弦值.1DACE1AD1B1CACEBOAFHE（201219）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ，D 是棱 AA1 的中点，12ADC1BD.（）证明：DC 1BC；（）求二面角 A1-BD-C1 的大小.（201118）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD 底面 ABCD.（）证明：PABD ；（）若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值. （201820）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点PABC24PABCOAC（1）证明： 平面 ；O（2）若点 在棱 上，且
9、二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值MM30MPA O CB MC BADC1A1B12011 年2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编11立体几何（逐题解析版）一、选择题（20189）C（20174）B【解析】从三视图可知：一个圆柱被一截面截取一部分而剩余的部分，剩下的体积分上下两部分阴影的体积，下面阴影的体 积为 ， ， ， ；上面阴影的体积VSh3r4136V是上面部分体积 的一半，即 ， 与 的比为 高的比（同底），即 ， ，故总体积2V3V231V1 321274.016方法 2： ，其余同上，故 总体积 .354Sh02163（201710）B【解析】解法一：在边 上分别
10、取中点 ，并相互连接.1BC1ABEFGH由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直 线 和 所成的夹角为 或其补角，1C通过几何关系求得 ， ， ，利用余弦定理可求得异面直线2EF5G2FH和 所成的夹角余弦值为 .1ABC10解法二：补形通过补形之后可知： 或其补角为异面直线 和 所成的角，通过几何关系可知：1BCD1ABC， ， ，由勾股定理或余弦定理可得异面直 线 和 所成的夹角余弦值为 .12BC15D3 1 105解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系， ， ， ， ，0,21A,0B,13,02 ， ， 13,12BC0,21BA12cos 5C（20166）C 解析：几何体是圆
11、锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面 圆半径为 ，周长为 ，圆锥母线长为 ，圆柱rcl高为 由图得 ， ，由勾股定理得： ， h2r 24c2234l，故选 C214682Scl表（20156）D 解析：由三视图得，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，截去四面体 A-A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为 a，则 1326ABDVa，故剩余几何体体积为33156a，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故 选 D.（20159）C 解析：如图所示，当点 C 位于垂直于面 O的直径端点时，三棱锥 OAB的体积最大，设 球 O 的半径为 R，此时 23163OABCVR，故 R=6，则球 O 的
12、表面积为 241S，故选 C（20146）C 解析：原来毛坯体积为 326=54 (cm2)，由三视图得，该零件由 左侧底面半径为 2cm，高为 4cm 的圆柱和右侧底面半径为 3cm，高为 2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为 ：322+224=34 (cm2)，则切削掉部分的体积为 54-34 =20(cm2)，所以切削掉部分的体 积与原来毛坯体积的比值为.201547（201411）C 解析：取 BC 的中点 P，连结 NP、AP， M，N 分别是A1B1，A1C1 的中点，四边形 NMBP 为平行四边形， BM/PN，所求角的余弦值等于ANP 的余弦值，不妨令 BC=CA=CC1=2
13、，则AN=AP= ，NP=MB= ，56 .222|(5)6()cosNAPP30【另解】如图建立坐标系，令 AC=BC=C1C=2，则 A(0, 2, 2)，B(2, 0, 2)，M(1, 1, 0)，N(0, 1, 0)， (,)(,12),BMN，043cos .|65BMA（20134）D 解析：因为 m，l m， l ，所以 l. 同理可得 l. 又因为 m，n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选 D.（20137）A 解析：如图所示，该 四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像为右图，则它在平面 zOx 上的投影即正 视图为 右图，故选 A.（20127）B
14、解析：由三视图可知，此几何体 为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形（俯视图）， 高为 3 的三棱锥，故其体积为 .1329V（201211）A 解析：易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O-ABC 是棱长为 1CBADD1C1B1A1BOACACB1A11BNP的正四面体，其高为 ，故 ， .6313624OABCV26SABCOV（20116）D 解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱 锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的. 故选 D.二、填空题（201816）402（201614）【答案：】（
15、201115） 解析：设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M，则 AM= 21(3)6，83OM= 224()， 16238OABCDV.三、解答题（201719）如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面 ABCD， ，12ABCD， E 是 PD 的中点.o90BADC（1）证明：直线 平面 PAB；/（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 ，求二面角 M-AB-D 的余弦值o45【基本解法 1】（1）证明：取 中点为 ，连 接 、 ，PAFEA因为 ， 所以 ，90BDC12BDBC12A因为 是 的中点，所以 ，所以 ，EE
16、F所以四边形 为平行四边形，所以 ，/因为 平面 ， 平面 ，所以直 线 平面 ，FPAEPA/PB（2）取 中点为 ，连接 ，因 为 为等边三角形，所以 ，O、 OAD因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，DBCDC所以 平面 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，/所以 ，C以 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图,P,xyz设 ，则 ，所以 ，1B(03)(1,0)(,)(1,0)AB(1,03)P设 ，则 ， ，(,)Mxyz因为点 在棱 上，所以 ，即 ，MPC(01)PC(,3)(1,03)xyz所以 ，所以 ，(,03),3BM平面 的法向量为 ，ABD(,1)n因为直线
17、 与底面 所成角为 ，45所以 ，22|3|sin45|cos,(1)()1n 解得 ，所以 ，2126(,1B设平面 的法向量为 ，则 ，MA(,)mxyz0260ABmxMyz令 ，则 ，1z6(0,1)2所以 ，210cos, 5|()n所以求二面角 的余弦值 .MABD（201619）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5，AC=6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF= ，EF 交 BD 于点 H. 将DEF 沿 EF 折到54DEF 的位置， .10O（）证明： 平面 ABCD；（）求二面角 的正弦值.BAC解析：证明： ， ， 四边形 为菱
18、形，54AECFAECFDA BCD ， ， ， ， ；BDH63AO又 ， ， ， ， ，5OB1OH ， 又 ， 面 222H EFI建立如图坐标系 ，xyz50表 ，130C表， ， ，03表1A表43ur ADur， ，6Cur设面 法向量 ，BD1nxyz， ，r由 得 ，取 ，10nAr43045xyz 同理可得面 的法向量35表 ADC 2301nur表ACFDHE， ， 12957cos210nur 295sin（201519）如图 ，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4，过
19、点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.（201519）解析：（）交线围成的正方形 如图：HGF（）作 ，垂足为 M，则 ， 因为 为正方形，所以EAB14AE18MAEHGFEHF，于是 ，所以 ，以 D 为坐10C260标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系Dx，则 ， ， ， ，xyz(,)(0,)(,)(,)F， ，设 是平面 的法向,FE68HEnxyzE量，则 ，即 ，所以可取 ，又n1xyz(0,43)，故 ，所以 AF 与平面 所成角的正弦值为 .(
20、10,48)A|5|cos,1nAF HGF415（201418）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点.（）证明：PB / 平面 AEC；（）设二面角 D-AE-C 为 60，AP=1，AD= ，求三棱 锥 E-ACD 的体积.3解析：（）证明：连结 交 于点 ，连结 底面 为矩形，BDACOEABCD点 为 的中点，又 为 的中点， ， 平面 ， 平面 ， /OEP/POEPBAECPB平面 .AE（）以 为原点，直线 、 、 分别为 、 、 轴 建立空间xyz直角坐标系，设 ，则 ， ， ，Ba(0,3)(,0)A31(,)2，
21、， ，设 是(,30)Ca1,2AE,Ca,nxyzBCD平面 的法向量， 则 ，解得： ，令 ，得AEC3102nAEyzCax 3ayxz，又 是平面 AED 的一个法向量，(3,)na(,0)B， 解得 ，21|cos|cos64B 2a11|322EACDVAP.113328（201318）如图，直三棱柱 1ABC中， ， 分别是 ， 的中点， .DEAB112ACBA（）证明： 1/平面 ；1（）求二面角 的正弦值.DE解析：（）连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF. 因为 DF平面 A1CD，BC1 平面 A
22、1CD，所以 BC1 / 平面 A1CD.（）由 ACCB 得，ACBC . 以 C 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的2Bur空间直角坐标系 Cxyz . 设 CA2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， (1,1,0)， (0,2,1)， (2,0,2) DurEr1r设 n(x 1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量，则 ，即 可取 n(1, -1, -1)10CAurn10,2.xyz同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则 ，可取 m(2, 1, -2)10r从而 cosn，m ，故 sinn，m . 3| 63即二面角 DA 1CE
23、 的正弦值为 .6（201219）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ，D 是棱 AA1 的中点， DC1BD.12A（）证明：DC 1BC；（）求二面角 A1-BD-C1 的大小 .C BADC1A1B111B1ACEB14解析：（） 证明：设 ， 直三棱柱 ， ， 12ACBa1CBA12Da， ， . 又 ， ， 平12Ca211DDC1QI1C面 . 平面 ， .BQ（）由 ()知， ， ，又已知 ，1a151. 在 中， ， ，3aRtAB 3,90AaDBo. ， .2A22CC取 的中点 ，则易证 平面 ，连结 ，则1BE11E1C，已知 ， 平面 ， ，DDE是二面角
24、平面角. 111A在 中， ， . RtC 12sinaC130D即二面角 的大小为 .11B30以点 为坐标原点，为 轴， 为 轴, 为 轴,建立空间直角坐标系 .则xBy1zCxyz. ， ,1 1,02,2AaaDaaur10aur设平面 的法向量为 ，则 ，不妨令 ，得1BC1(,)nxyzr 1nDxyzCr 1x，故可取 .12,yz,2同理,可求得平面 的一个法向量 . 1A2(1,0)r设 与 的夹角为 ，则 , . 1nr2123cos|26n30由图可知，二面角的大小为锐 角，故二面角 的大小 为 .1CBDA（201118）如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD
25、为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面 ABCD.（）证明：PABD ；（）若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.15解析：（）因为 ，由余弦定理得602DABAD，从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD，又 PD 底面3BABCD，可得 BD PD，所以 BD 平面 PAD，故 PA BD.（）如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正x半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则 ， ，(1,0)A(3,0)B， . ， (1,30)C(,1)Pur,1)P，urC BADC1A1B1，设平面 PAB 的法向量为 n=(x, y, z)
26、，则 ，即 ，因此可取(1,0)BCur 0ABPurn30xyz，设平面 PBC 的法向量为 m，则 ，可取 ，(3,)n Cr(,1)m，故二面角 A-PB-C 的余弦值为 .427cos,m27（201820）解：（1）因为 ， 为 的中点，所以 ，且 .4APCOAOPA23连结 .因为 ，所以 为等腰直角三角形，OB2BC且 ， .1由 知 .22PPO由 知 平面 .,OBACABC（2）如图，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 .urxOxyz由已知得 取平面 的(0,)(2,0)(,)(0,2)(,3),(0,23),OBACPAurPAC法向量 .ur设 ，则 .(,2)()Maa(,4)Maur设平面 的法向量为 .PA(,)xyzn由 得 ，可取 ，0,urrn230(4)a(34),)an所以 .由已知得 .223(4)cos,aOBurn 3|cos,|2OBurn所以 .解得 （舍去）， .223|4|=()a4a所以 .又 ，所以 .8,)3n(0,23)PCur 3cos,4PCurn所以 与平面 所成角的正弦值为 .PCAM4您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去， 让我们共同进步。
