1、第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念,早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果微积分的产生。,牛 顿,莱 布 尼 茨,背景介绍,微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，更不用说在我们的日常
2、生活中所碰到的那些问题了。,1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵. 2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵.（重点）,探究点1 变化率问题,问题1 气球膨胀率我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么,当V从0增加到1L时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,当V从1L增加到2L时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,我们来分析一下:,思考:当空气容量从V1增加到V
3、2时,气球的平均 膨胀率是多少?解析：,问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间 段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?,解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,思考：,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在 这段时间里的运动状态.,这里x看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样y=
4、f(x2)-f(x1),平均变化率定义: 上述问题中的变化率可用式子 表示. 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 若设x=x2-x1, y=f(x2)-f(x1),观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求 瞬时速度呢?,探究点2 导数的概念,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一
5、点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度解：,当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.000 1时,当t=0.000 1时,当t=0.000 01时,当t=0.000 01时,当t=0.000 001时,当t=0.000 001时,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 13.1.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时
6、的瞬时速度是 13.1 m/s.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,表示“当t =2, t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值 13.1”.,为了表述方便，我们用,局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度， 然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时 速度的精确值.那么,运动员在某一时刻 的瞬时速 度为,探究:,运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?,导数的概念:,函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即,总结提升,求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法:,求函数的改变量
7、 2. 求平均变化率 3. 求值,一差、二比、三极限,例 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油 的温度(单位: )为 y=f (x) = x27x+15 (0x 8) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率,并 说明它们的意义.,解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.,1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上
8、的一点A(-1,-2)及 临近一点B(-1+x,-2+y),则 =( ) A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2 D.3-x,D,2.如图，函数y=f（x）在A，B 两点间的平均变化率是（ ）,A.1 B.-1 C.2 D.-2,B,【解析】,3.求y=x2在x=x0附近的平均速度.,4.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+x, 1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率.,【解析】,析】,.,【,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量y=f(x2)-f(x1) (2)计算平均变化率,1.函数的平均变化率,3.求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量s=s(t+t)-s(t)(2)求平均速度 （3）求极限,4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤： （1）求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)(2)求平均变化率 （3）求极限,追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.,
