1、- 1 -雅安中学 20172018 学年下期期中考试高二年级数学试题（理科）（本试卷满分 150 分，答题时间 120 分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则“
2、 ”是“ ”的,12aA4,B2aAB4A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2. 复数 iA B iC 1D 13. 已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 值是），（ 01,a)2,(bakb2kA1 B 5C 53D 574.在等比数列 中， 是函数 的极值点，则n37,a21491fxxaA 3B -3 C3 D4 5.正 方 体 中 , 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 为1CD-1A1A 2B 2C. 2D 36.若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是xkfln)(1,kA ,B )(C ),1(D 1,7.若函数2()1xaf在 处取极值,
3、则 a- 2 -A1 B2 C3 D-38. 棱长为 1 的正方体 中， 为 AA1中点，则点 B1到平面 BCE 的距离是1DACE9.已知函数 ，下列结论错误的是)()(23Rxcaxf A.函数 一定存在极大值和极小值B.若函数 在 上是增函数，则)(f),(,21321xC.函数 的值域是xRD.函数 一定存在三个零点)(f10. 如图， 是 的直径， 垂直于 所在平面， 是圆周上不同于ABOPAOC两点的一点，且 ， ，则二面角 的大小为, 23BCABP11. 直线 的方程为 AxBy0，若从 1,2,3,6,7,8 这六个数字中每次取两个不同的数作为lA、B 的值，则表示不同直线
4、 的条数是l12. 定义在 上的函数 与其导函数 满足 ，则下列不等式一Rfxfx1xffe定成立的是A 52B 45C 2D 1A 30C 6B 45D 9A36 条 B30 条 C26 条 D15 条AB. 01fefC D- 3 -二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.长方体 中， ， ，点 、 、 分别是 、1ABCD12AB1ADEFG1D、 的中点，则异面直线 与 所成的角为 .1EGF14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂 方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜3色的涂法种数是_（用数字作答）.15.函数 的单调递增区间是_.xef1ln)(16.
5、若函数 在其定义域内的一个区间 上不是单调函数，则l2)(f )1,(k实数 的取值范围是_k三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10 分)若复数 满足 ，z)2(zi（1）求复数 ;（2）求 |18(12 分) 已知函数 的图像关于原点对称,且过点 .3()fxabc(1,)26(1)求 的解析式;(fx(2)函数 的单调区间;)(3)求函数 在 上的最小值.(fx1,01fef 01fef01fef- 4 -19(12 分) 已知矩形 ， ，点 是ABCD2ABE的中点，将 沿 折起到 的位置，使二ADE面角 是直二面角.（1）证明：
6、；（2）求二面角 的余弦值.BC20(12 分).在四棱锥 中， 是等边三角形，底面 是直角梯形，ADPBPABCD， 是线段 的中点， 底面BCAD/,EE，已知 .2（1）求 与平面 所成角的正弦值；（2）试在平面 上找一点 ，使得 平面 .PMPCD21(12 分)已知函数 在 处的切线 与直线 平行lnfxa2xl230xy（1）求实数 的值；a（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求实数 的2fm,1 m取值范围.22 （12 分）设函数 1exf（1）证明：当 时， ；x- 5 -（2）设当 时， ，求实数 的取值范围0x1xfaa雅安中学 20172018 学年下期
7、期中考试高二年级数学试题参考答案（理科）一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B D B A D C A D C C A二、填空题13、 ； 14、12； 15、 ； 16、 .90 ),1()23,1三、解答题17、 （1） ； （2） .i518、 （1） ；xf34)(（2）在 上递增，在 上递减；),21,)21,(（3）最小值 .(ffx19、 （1） ， 是 的中点，ADBEAD ， 是等腰直角三角形，C ，即 ，90又平面 平面 ，平面 平面 ，EBECBEC 平面 ， ； BDC（2）如图，以 ， 为 轴、 轴，过点 且垂直于平xy面 的
8、射线为 轴，建立空间直角坐标系，ECz则 ， ， ，(,0)B(,20)2(,)易知平面 的一个法向量为 ；1,n设平面 的一个法向量为 ，DC 22()xyz- 6 -由 ， ，求得 ，(2,0)BC2(,)DC2(1,)n ，12123cos,|n二面角 的余弦值为 . DBCE320、 （1）因为 底面 ，过 作 ，则PADEBCS/，以 、 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐AESS、标系，则 ， ， ， ，)0,(),1(B)0,(C),1(， ，,2D3,P),3,(,2PCD求得平面 的法向量为 ，而 ，)3,(m0A2|4801|,cos| A与平面 所成角的正弦值为PCD（
9、2）设 M（x，y，z） ，由 平面 知 ，EPCDmEM/， , ,)3,2(mE)32,()312,(又 共面，,1)0,1CPD、存在唯一实数 使得 ，ba、 CPbDa而 ， ，解得 ，)3,2(ba31283符合题意.)83,6(M21、 （1） 1fxa- 7 -函数在 处的切线 与直线 平行2x230xy ，解得： ；1ka1a（2）由（1）得 ， ，即lnfx2fxmx3ln0xm设 ，23(0)hx则 2113 xx列表得：当 时， 的极小值为 ，hx12hm又 15ln2,ln24m方程 在 上恰有两个不相等的实数根，fxx,1 ,解得： ；0)2(1h5ln24m22、
10、（1）证明：注意到 时， ，1x0于是有 ，即 .fx1eee1xxx令 ， ，令 ，得 eg x，xg0g当 变化时， 的变化情况如下表：xg1 0，0 ，gx- 8 -gxAA可见 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时，x1 0，0 ， 1x，故当 时， ，即 ，从而mineg1x0gxe，且当且仅当 时等号成立1xf0（2）解：由 时， 恒成立，故 .011xea0a设 ， ，+exhxa0 ，则 221e1xxa 22e11xaxa设 ， ，exka0 ，则 .221exxa012ka当 ，即 时， ， 时， ， ，故 .10axke1xe2a0kx所以 单调递增， ，故 单调递增， 恒成立，符合kx0xk0k题意.当 ，即 时，存在 ， 时， ， 单调递减， 120a12,xkx，与 恒成立矛盾.kx0kx综合上述得实数 的取值范围是 a1 2，
