1、第3章 线性控制系统的能控性和能观性,现 代 控 制 理 论,主讲：高宏岩,本章结构 3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系,第3章 线性控制系统的能控性和能观性,3.1 能控性的定义,1 提出,状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖能控性
2、揭示系统输入对状态的制约能力；能观性反映从外部对系统内部的观测能力； 能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。,状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系,2 定义,若系统(A(t)，B(t)对初始时刻t0，存在另一时刻tf（tf t0），对t0时刻的初始状态x(t0) = x0，可以找到一个允许控制u(t)，能在有限时间t0 tf 内把系统从初态x(t0)转移至任意指定的终态x(tf )，那么就称系统在t0时刻的状态x(t0)是能控的。若在t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统在t0 时刻状态完全能控;简称为系统能控。若系
3、统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不完全能控系统。,时间段内存在控制输入u,例题：,若R1=R2，C1=C2。选两个电容的电压为状态变量，且设两个电容上的初始电压相等，根据电路理论，则两个状态分量恒相等。不论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量分别转移到不同的目标值,显然，它是不完全能控的。,该电桥系统中，电源电压u(t)为输入变量，并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。,例题： 某电桥系统的模型如图1所示 。,图1 电桥系统,若图1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过
4、输入电压u(t)控制，则系统是能控的。,由电路理论知识可知,若图1所示的电桥系统是平衡的,电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的，即状态变量x2(t) 是不能控的，则系统是不完全能控的。,由状态空间模型来看, 当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t) 和x2(t) 时，可得如下状态方程:,由上述状态方程可知，状态变量x2(t)的值，即电桥中电容C2的电压，是自由衰减的，并不受输入u的控制。因此，该电压的值不能在有限时间内衰减至零，即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不能控的。,3 几点说明,（1） 控制时间t0,tf是系统状态由初始状态转移到原
5、点所需的有限时间。 对时变系统，控制时间的长短，即tf-t0的值，与初始时刻t0有关。对于定常系统，该控制时间与t0无关。所以，对于线性定常系统，其能控性与初始时刻t0无关，对于线性时变系统，其能控性与初始时刻t0有关 。（2）在上述定义中，对输入u(t)没有加任何约束，只要能将非零初始状态在有限时间转移到状态空间原点，对状态轨迹不加限制。（3）若存在能将状态x(t0)=0转移到x(tf)=xf的控制作用，称状态xf是t0时刻能达的。对于线性定常连续系统，状态能控性与能达性等价。但对于离散系统和时变系统，二者不等价。,3.2 线性定常系统的能控性判别,能控性判别主要有两种形式： （1）模态判据
6、 （2）秩判据,对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常连续系统(A,B), 有： 1) 若A的所有特征值互异，则系统能控的充要条件为： B中不包含元素全为0的行； 2) 若A有重特征值，则系统能控的充要条件为： 重特征值对应的B中的行线性无关。,1. 模态判据,约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常连续系统(A,B),有: 1) 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵，则系统能控的充要条件为： 对应A的每个约旦块的B的分块的最后一行都不全为零; 2) 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵，则系统能控的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分块的最后一行线性无关。,例3
7、.2-1,例3.2-2 考察下列系统的状态能控性,解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关， 且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零，故系统状态完全能控。,2. 秩判据,定理3.2-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即,证明 定理3.2-1,已知状态方程的解为,在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空间的原点，即x(tf ) = 0。则有,利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理,证明 定理3.2-1,利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）
8、定理,进而得到,因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令,证明 定理3.2-1,若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出 0，1，n 1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank B AB A2B An 1B = n,例3.2-3 设系统的状态方程为判断其状态能控性。,例3.2-4设系统的状态方程为判断其状态能控性。,例题 3.2-4 【解答】,系统的能控性矩阵为,2 11 1 1 1,3 22 2 2 2,5 44 4 4 4,M = B AB A2B =,rankM= 2 n 所以系统状态不完全能控。,3 线性定常系统的输出能控性,在分析和
9、设计控制系统的许多情况下，系统的被控制量往往不是系统的状态，而是系统的输出，因此有必要研究系统的输出是否能控的问题。对于系统(A，B，C，D)，如果存在一个无约束的控制矢量u(t)，在有限时间间隔t0，tf内，能将任一给定的初始输出y(t0)转移到任一指定的最终输出y(tf )，那么就称(A，B，C，D)是输出完全能控的，或简称输出是能控的。线性定常系统(A，B，C，D)，其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩，即rankQ =rank CB CAB CAn -1B D = m,例题：试判断如下系统的输出能控性,解 由输出能控性的代数判据有 rankCB CAB D=rank2 0 0=
10、1=m 故系统输出完全能控。 对例题中的系统,因为,故系统是状态不完全能控的。,因此，由例题可知，输出能控性与状态能控性是不等价的两个不同概念，它们之间亦没有必然的联系。,3.3 线性连续定常系统的能观性,1 定义,对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间tf t0，能够根据输出量y(t)在t0，tf内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。,讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式,若线性连续系统,对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),根据在有限时
11、间区间t0,t1内量测到的输出y(t)唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称在t0时刻的状态x(t0)能观测; 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观测，则称系统在t0时刻状态完全能观测；若存在某个状态x(t0) 不能观测，称此系统是状态不完全能观测的，简称系统为状态不能观测。,1 定义,说明 （1）对于线性定常系统，由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵，与时间无关，因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观测”,而为“某一时刻状态完全能观测，则系统状态完全能观测”。 （2）在定义中把能观测性定义为对初始状态的确定，这是因为，一旦确定初始状态，便可根据状态方程的解
12、表达式，由初始状态和输入，计算出系统各时刻的状态值。,例 考虑右图所示的电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。,当电阻R1=R2，电感L1=L2，输入电压u(t)=0，以及两个状态变量的初始状态x1(t0)=x2(t0)且为任意值时，必定有i3(t)=0，即输出变量y(t)恒为零。 因此，由恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)，即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。,该电网络模型中，u(t)为输入电压， y(t) =i3(t)为输出变量，通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)。,图 电网
13、络,但当电阻R1R2或电感L1L2时，则由输出y(t)可能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。 这种能由输出变量值确定状态变量值的特性称为状态能观测,若由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性则称为状态不能观测。,从状态空间模型上看， 当选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)时，状态空间模型为,当电路中电阻值R1=R2=R，电感值L1=L2=L时，若输入电压u(t)突然短路,即u(t)=0,则状态方程为显然，当状态变量的初始状态为x1(t0)=x2(t0)且为任意值时，上述状态方程的解必有x1(t)=x2(t)，故有y(t)=i3(t)=0,即输出变量
14、y(t)恒为零。 因此，由观测到的恒为零的输出变量y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值，即由输出i3(t)不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)。,但当电路中电阻值R1R2或电感值L1L2时，则由输出y(t)可能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值。 这种由可测量的输出变量的值能惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观测，若不能惟一确定则称为状态不能观测。,例：右图所示的电网络中，电源电压u(t)为输入，电压y(t)为输出，并分别取电容电压uC(t)和电感电流iL(t)为状态变量x1(t)和x2(t)。,因此，由输出变量y(t)显然不能确定电压值uC(t)，即由输出y
15、(t)不能确定状态变量x1(t)的值。 故该电网络在开关K断开后是状态不能观测的。,当开关K在t0时刻断开后，显然电容C和电阻R1构成一阶衰减电路，电容电压uC(t)的变化只与初始状态uC(t0)有关，与衰减电路外其他信号无关。,2 能观性判别,能观性判别主要有两种形式： （1）模态判据 （2）秩判据,对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常连续系统(A,C), 有： 1) 若A的所有特征值互异,则系统可观测的充要条件为： C中不包含元素全为0的列； 2) 若A有重特征值,则系统可观测的充要条件为： 重特征值对应的C中的列线性无关。,（1） 模态判据,约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常连
16、续系统(A,C),有: 1) 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统可观测的充要条件为： 对应A的每个约旦块的C的分块的第一列不全为零; 2) 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统可观测的充要条件为： 对应A的每个特征值的所有约旦块的C的分块的第一列线性无关。,例3.3-1考察下列系统的状态能观性,（2）秩判据,定理3.3-1 线性定常连续系统(A，C)其状态完全能观的充要条件是其能观性矩阵的秩为n，即,证明 定理3.3-1,已知系统(A，C)状态方程的解为,在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0则有,利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理,所以,例3.3-2 设系统的状态方程为判断其状态能观性。,rankN = 2 = n 所以系统是能观测的。,例3.3-3 设系统的状态方程为判断其状态能观性。,rankN 3 所以系统是不能观测的。,
