1、基本要求： 掌握结构的支座反力的计算，结构的剪力和轴力计算的两种方法，内力图的形状特征和绘制内力图的叠加法。 熟练掌握绘制弯矩图各种技巧，能迅速绘制弯矩图。 理解恰当选取分离体和平衡方程计算静定结构内力的方法与技巧。会根据几何组成寻找求解途径。,第三章 静定梁与静定刚架,Statically Determinate Beam and Plane Frame,截面内力计算 内力图的形状特征 叠加法绘制弯矩图 多跨静定梁内力图 静定刚架内力图 不求或少求反力画弯矩图 弯矩图对误判别,1、平面杆件的截面内力分量及正负规定,轴力N (normal force) 截面应力(stresses)沿轴线切向的
2、 合力，以拉力为正，压力为负。,N,N,剪力Q (shearing force),截面上应力沿轴线法向的合力，以绕隔离体顺时针转为正。,Q,Q,弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。,M,M,图示均为正的轴力和剪力,3.1 截面内力(inteernal forces)计算,2、截面内力计算方法：,轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外力矩产生相同的受拉边。,举例1,举例2,截面
3、法：截开、代替、平衡。,内力的直接算式：,举例1,返回,截面一边所有外力沿轴切向投影代数和。,一边所有外力沿轴切向投影代数和。,截面一边所有外力对截面形心取矩之和。,例：求截面1、截面2的内力,N2=50,N1=1410.707=100kN,Q1=,M1=125,(下拉）,=50kN,141cos45o,=812.5kNm,+1410.70710,505,5/25,Q2= 141sin45100kN,M2,5m,5m,5m,5m,2,1,5kN/m,50kN,141kN,125kN.m,M2375kN.m （左拉）,45,505,125,1410.7075,375kN.m,+55,1410.7
4、07,=25kN,50,1,2,dM/dx=Q 微分关系给出了内力图的形状特征,N=PX,Q=Py,M=m,增量关系说明了内力图的突变特征,3） 积分关系：,由微分关系可得,QB=QAqydx,MBMA+Qdx,右端剪力等于左端剪力减去该段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该段剪力图的面积。,1 ） 微分关系,3.2 荷载与内力之间的关系,2） 增量关系,dN/dx=qx,dQ/dx=qy ， qy向下为正,内力图形状特征,无何载区段,均布荷载区段,集中力作用处,平行轴线,斜直线,Q=0区段M图平行于轴线,Q图,M图,备注,二次抛物线 凸向即q指向,Q=0处，M 达到极值,发生突变,P,出
5、现尖点 尖点指向即P的指向,集中力作用截面剪力无定义,集中力偶作用处,无变化,发生突变,两直线平行,m,集中力偶作用面弯矩无定义,零、平、斜、抛,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,q、Q、M,在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。,返回,=5020210kN,= 10+(50+10)22 =50kN.m,适用条件：AD段内无集中力 作用。,适用条件：AD段内无集中力 偶作用。,返回,1）简支梁情况,几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖 标M ，如同M、M一样垂 直杆轴AB，而不是垂直虚线。 利用叠加法
6、绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值， 少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用图乘法求位移，也 提供了把复杂图形分解为简单图形的方法。,3.3 叠加法(superposition method)作弯矩图,举例,2）直杆情况,1、首先求出两杆端弯矩，连一虚线；2、然后以该虚线为基 线，叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。,对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 内各相邻截面间是连续的 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。,举例,返回,4kNm,4kNm,4kNm,2kNm,4kNm,4kNm,6kNm,4kNm,2kNm,（1）集
7、中荷载作用下,（2）集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,（1）悬臂段分布荷载作用下,（2）跨中集中力偶作用下,（3）叠加得弯矩图,返回,ql2/2,ql2/4,ql2/8,qL,qL,M图,Q图,ql2/4,M 图 (kN.m),55,5,D,F,1m,16kN.m,1m,2m,2m,1m,Q图（kN）,7,36.1,H,CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。,均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！,M图（kN.m）,由 QH=QCqx=0 可得：xQC/q
8、9/42.25(m)MHMC+(CH段Q图的面积） 26+92.252 36.1（kN.m),3.4简支斜梁计算,斜梁：,由整体平衡：,由分离体平衡可得：,斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。,MB,MA,ql2/8,斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。,(由基本部分及附属部分组成),将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, 不能独立平衡,其上外力的称为附属部分，,附属部分是支承在基本部分的，要分清构造层次图。,ABC，DEFG是基本部 分，CD，GH是附属部分。,3.5多跨静
9、定梁(statically determinate multi-span beam),桥梁示意图、计算简图、构造层次图、传力途径,多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。,多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。,qa,a,a,a,2a,a,a,a,q,qa,qa,qa,qa,qa/4,7qa/4,qa/2,qa/2,qa/2,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,Q图（kN）,M图（kN.m）,50,M (kNm),例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨
10、的跨中弯矩与支座处的弯矩的绝对值相等,MG可按叠加法求得：,解得：,代入上式：,解得：,MG=ql2/12,MB=ql2/12,ql2/24,由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！,演示,一、刚架的特点 刚架的内部空间大，便于使用。 刚结点将梁柱联成一整体，增大了结构的刚度，变形小。 刚架中的弯矩分布较为均匀，节省材料。,几何可 变体系,桁架,刚架,4-3 静定刚架内力计算及内力图绘制 (statically determinate f
11、rame),返回,常见的静定刚架类型： 1、悬臂刚架,2、简支刚架,3、三铰刚架,4、主从刚架,二、刚架的反力计算（要注意刚架的几何组成） 1、悬臂刚架、简支刚架的反力由整体的三个平衡条件便可求出。 2、三铰刚架的反力计算,整体平衡,左半边平衡,整体平衡,=3kN,反力校核,C,如三铰结构是由三个单铰组成的，用整体、半边、整体的思路求其反力。 如三铰结构中有虚铰时，就要具体问题具体分析。不能使用这种方法。,三铰刚架的反 力计算方法二 （双截面法）,整体X=0，XA=ql， 左半边Y=0， YA=0,右半边Y=0， YB=0 整体Y=0 ，YA=0 整体：MA0 3qaa/2XBa0，XB=1.
12、5qa,3、主从刚架求反力：需要分析其几何组成顺序，确定基本 部分和附属部分。,由附属部分ACD,由整体,校核：,三、静定刚架内力计算及内力图绘制求支座反力。求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、 集中荷载作用点、分布荷载不连续点。控制截面把刚架划分成 受力简单的区段。求出各控制截面的内力值，根据每区段内的荷载情况，利用“零平斜弯”及叠加法作出内力图。求截面的Q、N图有两种方法，一是由截面一边的外力来求；另一种方法是首先作出M 图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为分离 体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。当刚架构造较复杂 （如有斜杆）或者是外力
13、较多时，计算内力较麻烦时，采用第二种方法。 结点处有不同的杆端截面。各截面上的内力用该杆两端 字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。注意结点的平衡条件。,MDA、QDC,Y=0 Y=0 MA0,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN NDB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,X = 88 = 0,Y = 6（6） = 0,M = 248 16 = 0,QDA=8kN NDA=0 MDC=8kN.m（左拉）,8,16,24,M kN.m,8,6,Q kN,N kN,6,作内力图,QDC=6kN NDC=0 MDC=24kN.m（下拉）,QDB=8kN N
14、DB=6kN MDB=16kN.m（右拉）,QDA=8kN NDA=0 MDA=8kN.m（左拉）,刚架内力图绘制要点： 分段。定形。求值。画图。,1、整体平衡求反力如图,2、定形： 3、求值：,NCA=qa/2， QCA=qaqa=0， MCA=qa2/2（里拉）,NCB=0， QCB=qa/2， MCB=qa2/2（下拉）,qa2/2,qa2/2,qa2/8,qa/2,qa,qa/2,M图,N图,Q图,校核：,满足： X0 Y0 M0,在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中 力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两 杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用 时，两杆端弯矩应等值，同侧受拉。,例: 试绘制下图
15、所示刚架的弯矩图。,RB,O,a,作刚架Q、N图的另一种方法：首先作出M图；然后取杆件 为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取 结点为分离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。,a,q,A,B,C,M图,MCqa2/2+ QBCa=0 QBC=QCB=qa/2,MCqa2/2+ qa2/2 QACa=0 QAC=（qa2/2+ qa2/2 ）/a=qa MA0 Q CA=（qa2/2 qa2/2 ）/a=0,X0，NCB 0 Y0，NCAqa/2,N图（kN）,M图（kN.m）,3m,3m,3m,A,B,q=4kN/m,1.5m,C,D,E,Q图（kN）,MD=6QCD3.35
16、0 QCD=1.79(kN)=QDC,MC=6+3 41.5+3.35QEC0 QEC= 7.16kN ME=6 3 4 1.5+3.35QCE0 QCE= 3.58kN,3.13,5.82,求图示联合刚 架的弯矩图。,解：1、求反力,2、求内部约束力,取ABC,取BC,解得：,取ABC,同理可得右半部分的约束内力：,8Pa,8Pa,2Pa,2Pa,16Pa,4Pa,可以不求反力，由自由端开始作内力图。,ql,ql2/2,2q,2q,6q,四、不求或少求反力绘制弯矩图根据结构特点和荷载特点，利用弯矩图与荷载、支承、联结之间的对应关系，可以不求或少求支座反力，迅速绘制出弯矩图。下面结合具体例子，
17、说明快速绘制弯矩图的方法。,1、悬臂刚架,2、简支型刚架弯矩图,简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起,ql2/2,qa2/2,qa2/2,注意:BC杆CD杆的 剪力等于零,弯矩图 于轴线平行,ql2/2,3、三铰刚架弯矩图,1 反力计算整体MA= qa2+2qa22aYB=0 (1)右半边MC=0.5qa2+2aXB aYB=0 (2) 解方程(1).(2)可得XB=0.5qa YB=1.5qa在由整体平衡X=0 解得 XA=0.5qaY=0 解得 YA=0.5qa,2 绘制弯矩图,qa2,注:三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力,然后由 支座作起！,qa2/
18、2,0,qa,XA,YA,YB,XB,A,C,B,a,a,a,a,M/2,M,M/2,画三铰刚架弯矩图,注: 1：三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两 铰连线，对o点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始作弯矩图。2：集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后两条线平行。3：三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！,Mo=m2aXB=0, 得 XB=M/(2a),a,a,a,M,A,B,C,三铰刚架弯矩图,整体对O点建立平衡方程得 MO=ql1.5l+2lXA=0 得 XA=3ql/4,RB,ql2/4,qa2,qa2,qa2/2,qa2/2,M图（kN.m）,绘制弯矩图时，可以利
19、用弯矩图 与荷载、支承及连结之间的对应关系， 不求或只求部分约束力。,4、主从结构,80kN,20kN,120,90,120,60,180,62.5,M图 kM.m,仅绘M图,并不需要 求出全部反力.,然后先由A.B支座开始 作弯矩图.,先由ADY=0 得 YA=80kN,再由整体X=0得 XB=20kN,MEA=806206/2=120,5、定向支座处、定向连接处剪力等零，剪力等零杆段弯矩图平 行轴线。注意这些特点可以简化支座反力计算和弯矩图绘制。,XA=ql， YA=0,M,A,a,a,a,q,B,4.5qa2,M图,Ph,Ph,Ph,2Ph,右半边Y=0YB=0YA=0 整体：MA0 3
20、qaa/2XBa0 XB=1.5qa,求绘图示结构的弯矩图。,ql2,1.5ql2,0.9ql2,ql2,6、对称性的利用,对称结构(symmetrical structure)：几何形状、支撑和刚度都关于某轴对称的结构。但是， 由于静定结构的内力与刚度无关，所以，只要静定结构的形 状、支撑对称，就可利用对称性进行内力计算。,荷载的对称性：对称荷载(symmetrical load) ：绕对称轴对折后，对称轴 两边的荷载作用点重合、值相等、方向相同。所以，在大小 相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直反向布置、与对 称轴平行同向布置、与对称轴重合的荷载是对称荷载。,反对称荷载(antisymm
21、etrical load) ：绕对称轴对折后， 对称轴两边的荷载作用点重合、值相等、方向相反。所以， 在大小相等、作用点对称的前提下，与对称轴垂直同向布置 的荷载；与对称轴平行反向布置的荷载；垂直作用在对称 轴上的荷载；位于对称轴上的集中力偶是反对称荷载。,与对称有关的重要结论对称结构在对称荷载的作用下，反力、内力都成对称分 布，弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的。作出对 称轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到：对称 轴上的截面剪力为零；与对称轴重合的杆弯矩、剪力为零。,对称结构在反对称荷载的作用下，反力、内力都成反对 称分布，弯矩图、轴力图是反对称的，剪力图是对称的。作 出对称
22、轴上的微元体受力图。由微元体的平衡条件可得到： 对称轴上的截面弯矩、轴力为零；与对称轴重合的杆轴力为零。,ql2/8,24kN.m,X,绘制图示结 构的弯矩图,o,12,6,6,12,对称结构在反对成荷载作用下，弯矩图呈反对称分布。,12,四、不求或少求反力绘制弯矩图,1、悬臂刚架不求反力，由自由端开始作起。,2、简支型刚架绘制弯矩图往往只须求出与杆件垂直的反力,然后由支座作起。,3、三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力，然后由支座作起。,4、主从结构绘制弯矩图要分析其几何组成，先由附属部分做起。,5、定向支座处、定向连接处剪力等零，剪力等零杆段弯矩图平行轴线。,6、对称性的利用,对称结构在对称荷载的作用下弯矩图是对称的。,对称结构在反对称荷载的作用下弯矩图是反对称的。,利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减少错误，提高效率。 另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。,M图与荷载情况是否相符。,M图与结点性质、约束情况是否相符。,作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶是否满足平衡条件。,（1） （ ）,（2） （ ）,（9） （ ）,课间休息,趣味思考,作出弯矩图的大致形状,返回,
