1、1第五节 指数与指数函数A组 基础题组1.若 a=(2+ )-1,b=(2- )-1,则(a+1) -2+(b+1)-2的值是 ( )3 3A.1 B. C. D.14 22 232.(2015北京丰台一模)已知奇函数 y= 如果 f(x)=ax(a0,且 a1)的图象如图所示,那么(),0,(),0,且 a1)满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是( )19A.(-,2 B.2,+)C.-2,+) D.(-,-25.函数 f(x)=a|x+1|(a0,且 a1)的值域为1,+),则 f(-4)与 f(1)的大小关系是( )A.f(-4)f(1) B.f(-4)=f(1)C.f(-4
2、)0,且 a1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24).(1)求 f(x)的表达式;(2)若不等式 + -m0 在 x(-,1时恒成立,求实数 m的取值范围.(1)(1)10.已知函数 f(x)=2a4x-2x-1.(1)当 a=1时,求函数 f(x)在 x-3,0上的值域;(2)若关于 x的方程 f(x)=0有解,求 a的取值范围.B组 提升题组11.(2014北京顺义统练)已知 a0且 a1,函数 f(x)= 满足对任意实数(-1)+3-4(0),(0) x1,x2,且 x1x 2,都有 0成立,则 a的取值范围是( )(2)-(1)2-1A.(0,1) B.(1,+)3C. D.(1
3、,53 53,2)12.(2014北京丰台一模)已知函数 f(x)=2x,点 P(a,b)在函数 y= (x0)的图象上,那么 f(a)f(b)的最1小值是 . 13.设 a0且 a1,函数 y=a2x+2ax-1在-1,1上的最大值是 14,求 a的值.14.已知函数 f(x)=ex-e-x(xR,且 e为自然对数的底数).(1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 xR 都成立?若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由.4答案精解精析A组 基础题组1.D 2.D 3.A 因为 a= = ,c=2 = ,函数 y=
4、在(0,+)上单调递增 ,所以 0,所以 a= ,因此 f(x)= .根据复合函数的单调性可知 f(x)的单调19 19 13 (13)|2-4|递减区间是2,+).5.A 由题意知 a1,所以 f(-4)=a3, f(1)=a2,由 y=ax(a1)的单调性知 a3a2,所以 f(-4)f(1).6. 答案 -1解析 对任意的实数 x都有 f(-x)+f(x)=0成立,即 2-x+a2x+2x+a2-x=0恒成立,(a+1) =0恒成立,(12+2)故有 a+1=0,则 a=-1.7. 答案 log 23解析 log 23log22=1,2-3= (0,1),cos =-1,123这三个数中
5、 log23最大.8. 答案 3解析 令 y=f(x)=2|x|,x-2,a,则 f(x)=2(0),2-(-20时, f(x)在-2,0)上递减,在0,a上递增,当 02时, f(x) max=f(a)=2a4,函数的值域为1,2 a.综合(1)(2),可知m,n的长度的最小值为 3.9. 解析 (1)因为 f(x)的图象过点 A(1,6),B(3,24),所以 解得 a2=4,=6,3=24,又 a0,所以 a=2,则 b=3.所以 f(x)=32x.(2)由(1)知 a=2,b=3,则当 x(-,1时, + -m0 恒成立,即 m + 在 x(-,1时恒成立.(12)(13) (12)(
6、13)因为 y= 与 y= 均为减函数,所以 y= + 也是减函数,(12) (13) (12)(13)所以当 x=1时,y= + 在(-,1上取得最小值,且最小值为 ,所以 m ,(12)(13) 56 56即 m的取值范围是 .(-,5610. 解析 (1)当 a=1时, f(x)=24 x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令 t=2x,则 t .18,1故 y=2t2-t-1=2 - ,(-14)298t ,故 y .18,1 -98,0即 f(x)在 x-3,0上的值域为 .-98,0(2)令 m=2x,则 m(0,+).关于 x的方程 2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程 2
7、am2-m-1=0在(0,+)上有解.记 g(m)=2am2-m-1,当 a=0时,m=-10时,g(m)图象的开口向上,对称轴 m= 0,图象过点(0,-1),必有一个根为正,所以 a0.14综上所述,a 的取值范围是(0,+).6B组 提升题组11.C 由已知得函数 y=f(x)在 R上单调递增,故 解得 10,1,3-41, 53 (1,5312. 答案 4解析 由已知得 a0,b0,且 ab=1,f(a)f(b)=2 a2b=2a+b =22=4,当且仅当 a=b=1时, f(a)f(b)取得最小值 4.2213. 解析 令 t=ax(a0且 a1),则原函数可化为 y=f(t)=(t
8、+1)2-2(t0).当 01时,由 x-1,1,得 t=ax ,1,此时 f(t)在 上是增函数.1,所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1) 2=16,即 a=-5(舍去)或 a=3.综上,a= 或 a=3.1314. 解析 (1)f(x)=e x- ,(1)f (x)=e x+ ,(1)f (x)0 对任意 xR 都成立,f(x)在 R上是增函数.f(x)的定义域为 R,7且 f(-x)=e-x-ex=-f(x),f(x)是奇函数.(2)存在.理由如下:由(1)知 f(x)在 R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 xR 都成立f(x2-t2)f(t-x)对一切 xR 都成立x2-t2t-x 对一切 xR 都成立t2+tx 2+x= - 对一切 xR 都成立(+12)214t2+t(x 2+x)min=- t2+t+ = 0,14 14(+12)2又 0, =0,(+12)2 (+12)2t=- ,12存在 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x2-t2)0 对一切 xR 都成立.12
