1、1第三节 函数的奇偶性与周期性A组 基础题组1.(2017北京西城一模)函数 f(x)定义在(-,+)上,则“曲线 y=f(x)过原点”是“f(x)为奇函数”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2017北京东城二模)下列函数既是奇函数,又在区间-1,1上单调递减的是( )A. f(x)=sin x B. f(x)=|x+1|C. f(x)=-x D. f(x)=cos x3.函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且当 0x1 时, f(x)=2x(1-x),则 f 的值为( )(52)A. B. C.- D.-12 14 14
2、124.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数 a满足 f(2|a-1|)f(- ),则 a2的取值范围是 ( )A. B. (-,12) (-, 12) (32,+ )C. D.(12,32) (32,+ )5.(2016北京丰台期末)已知下列函数:f(x)=x 3-x;f(x)=cos 2x;f(x)=ln(1-x)-ln(1+x),其中奇函数有 个. 6.已知函数 f(x)= 为奇函数,则 f(g(-1)= . 2+3(0),()(0时, f(x)= .1-3(1)求当 xf(2x-1)成立的 x的取值范围是( )11+2A.(13,1)B. (1,+
3、)(-,13)C.(-13,13)D. (-, -13) (13,+ )12.(2015北京通州模拟)设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 xf f B.f f f(23) (32) (13) (23) (13) (32)C.f f f D.f f f(32) (23) (13) (13) (32) (23)14.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x).(1)求证:f(x)是周期函数;(2)若 f(x)为奇函数,且当 0x1 时, f(x)= x,求在0,2 014上使 f(x)=- 的所有 x的个数.12 124答案精解精析A组 基础题组1.B 2.C 3
4、.A f(x+1)=-f(x),f(x+2)=-f(x+1)+1)=f(x),即函数 f(x)的周期为 2,f =f =f =2 = .(52) (12+2) (12) 12 (1-12)124.C f(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且 f(- )=f( ),原不等式可化为 f(2|a-1|)f( ).故有 2|a-1|0,1+0,f(-x)=ln(1+x)-ln(1-x)=-f(x),为奇函数.故奇函数的个数为 2.6. 答案 -28解析 函数 f(x)= 为奇函数,2+3(0),()(0,此时 f(x)=-f(-x)=- = .-1-3- 1-3-(
5、2)f(x)0时, ,11-3 1813-118所以 3x-1- ,1-3- 811-3- 18所以 3-x32,所以 x0,则 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.因为 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=x2+2x,所以 a=1,b=2.所以 a-b=-1.(2)由(1)可得 f(x)=-2+2,0,2+2,-1,-21, 所以实数 m的取值范围是(1,3.B组 提升题组9.B 函数图象关于 y轴对称,则该函数为偶函数,只有为偶函数,故选 B.10.B 本题考查函数的奇偶性、单调性.易知函数 f(x)的定义域为 R,f(-x)=3 -x- = -3x(13)-(
6、13)=-f(x),f(x)为奇函数,又y=3 x在 R上为增函数,y=- 在 R上为增函数,(13)f(x)=3 x- 在 R上是增函数.故选 B.(13)11.A 当 x0时, f(x)=ln(1+x)- ,11+26f (x)= + 0,11+ 2(1+2)2f(x)在(0,+)上为增函数,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,由 f(x)f(2x-1)得 f(|x|)f(|2x-1|),|x|2x-1|,即 3x2-4x+1f f .(23) (32) (13)14. 解析 (1)证明:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)是以 4为周期的周期函数
7、.(2)当 0x1 时, f(x)= x,12设-1x0,则 0-x1,f(-x)= (-x)=- x.12 12f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),7-f(x)=- x,即 f(x)= x.12 12故 f(x)= x(-1x1).12另设 1x3,则-1x-21,f(x-2)= (x-2).12f(x)是以 4为周期的周期函数,f(x-2)=f(x+2)=-f(x),-f(x)= (x-2),12即 f(x)=- (x-2)(1x3).12f(x)=12,-11,-12(-2),13.令 f(x)=- (x-1,3), 解得 x=-1.12f(x)是以 4为周期的周期函数,使 f(x)=- 的所有 x=4n-1(nZ).12令 04n-12 014(nZ),则 n (nZ).14 2 01541n503(nZ),在0,2 014上共有 503个 x使 f(x)=- .12
