1、1第八节 直线与圆锥曲线A 组 基础题组1.直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点个数是( )2924A.至多一个 B.2 C.1 D.02.已知经过点(0, )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q,则 k 的取值范围是( )222A.(- 22,22)B. (-, - 22) ( 22,+ )C.(- , )2 2D.(-,- )( ,+)2 23.过抛物线 y2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A,B 两点,它们的横坐标之和等于 2,则这样的直线( )A.有且只有一条 B.有且只有两
2、条C.有且只有三条 D.有且只有四条4.经过椭圆 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l,交椭圆于 A,B 两点.设 O 为坐标原点,则 22 等于( )A.-3 B.-13C.- 或-3 D.13 135.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点3A,AKl,垂足为 K,则AKF 的面积是( )A.4 B.3 C.4 D.83 36.已知抛物线 x2=ay 与直线 y=2x-2 相交于 M,N 两点,若 MN 中点的横坐标为 3,则此抛物线方程为 . 7.已知椭圆 C: + =1(ab0),F( ,0)为其右焦点,
3、过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2222 22,则椭圆 C 的方程为 . 8.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交29216于点 B,则AFB 的面积为 . 29.椭圆 C: + =1(ab0)过点 ,离心率为 ,左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交椭圆于 A,B 两点.2222 (1,32) 12(1)求椭圆 C 的方程;(2)当F 2AB 的面积为 时,求直线的方程.122710.在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M
4、 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求 ;|(2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由.B 组 提升题组11.设抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 E 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( )A.y=x-1 或 y=-x+1B.y= (x-1)或 y=- (x-1)33 33C.y= (x-1)或 y=- (x-1)3 3D.y= (x-1)或 y=- (x-1)22 2212.已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B
5、两点.若 =0,则 k= . 313.(2015 北京朝阳一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的两个焦点分别为 F1(-2,0),F2(2,0),离心率为 .2222 63过点 F2的直线 l(斜率不为 0)与椭圆 C 交于 A、B 两点,线段 AB 的中点为 D,O 为坐标原点,直线 OD 交椭圆于 M,N 两点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)当四边形 MF1NF2为矩形时,求直线 l 的方程.14.(2016 北京丰台一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)过点 A(2,0),离心率 e= ,斜率为 k(02,m 2+n20,解得 k ,即 k 的取值(12+2) 22 22范围是
6、.故选 B.(-, - 22) ( 22,+ )3.B 2p=2,|AB|=x 1+x2+p,|AB|=32p,故这样的直线有且只有两条.4.B 依题意,当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y-0=tan 45(x-1),即 y=x-1,代入椭圆方程 +y2=1 并整理得 3x2-4x=0,解得 x=0 或 x= ,所以两个交点坐标分别为(0,-1), , =- ,22 43 (43,13) 13同理,直线 l 经过椭圆的左焦点时,也有 =- .135.C y 2=4x,F(1,0),准线 l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 的直线 l1的方程为 y= (x-1),与 y2=4
7、x3 3联立,解得 或 由题易知 A(3,2 ),AK=4,=13,=-233 =3,=23, 3S AKF = 42 =4 .12 3 36. 答案 x 2=3y解析 设点 M(x1,y1),N(x2,y2).由 消去 y,得 x2-2ax+2a=0,2=,=2-2所以 = =3,即 a=3,1+22 22因此所求的抛物线方程是 x2=3y.57. 答案 + =12422解析 由题意得=2,2=1,2=2+2,解得 =2,=2,椭圆 C 的方程为 + =1.24228. 答案 3215解析 易知 c=5,取过点 F 且平行于一条渐近线的直线方程为 y= (x-5),即 4x-3y-20=0,
8、联立直线与双43曲线方程,求得 yB=- ,则 S= (5-3) = .3215 12 321532159. 解析 (1)因为椭圆 C: + =1(ab0)过点 ,2222 (1,32)所以 + =1.12 942又因为离心率为 ,所以 = ,12 12所以 = .2234联立解得 a2=4,b2=3.所以椭圆 C 的方程为 + =1.2423(2)当直线的倾斜角为 时,A ,2 (-1,32)B ,(-1,-32)则 = |AB|F1F2|= 32=3 . 212 12 1227当直线的倾斜角不为 时,设直线方程为 y=k(x+1),2代入 + =1 得(4k 2+3)x2+8k2x+4k2
9、-12=0.2423设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,8242+3 42-1242+36所以 = |y1-y2|F1F2| 212=|k| (1+2)2-412=|k| (- 8242+3)2-442-1242+3= = ,12|2+142+3 1227所以 17k4+k2-18=0,解得 k2=1 ,所以 k=1,(2=-1817舍去 )所以所求直线的方程为 x-y+1=0 或 x+y+1=0.10. 解析 (1)由已知得 M(0,t),P .(22,)又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N ,ON 的方程为 y= x,代入 y2=2px 整理
10、得 px2-2t2x=0,(2,) 解得 x1=0,x2= .22因此 H .(22,2)所以 N 为 OH 的中点,即 =2.|(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.理由如下:直线 MH 的方程为 y-t= x,2即 x= (y-t).2代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C没有其他公共点.B 组 提升题组711.C 设直线 AB 与抛物线的准线 x=-1 交于点 C.分别过 A、B 作 AA1垂直准线于 A1,BB1垂直准线于 B1,由抛物线的定义可设|BF|=|BB
11、 1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得= = ,|BC|=2t,B 1CB= ,直线的倾斜角为 或 .|4 12 6 3 23又 F(1,0),直线 AB 的方程为 y= (x-1)或 y=- (x-1).故选 C.3 312. 答案 2解析 如图所示,设 F 为焦点,取 AB 的中点 P,过 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 G,H,连接 MF,MP,由 =0,知 MAMB,则|MP|= |AB|= (|AG|+|BH|),所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线,所以12 12MPAGBH,所以GAM=AMP=PAM,又|AG|=|AF|,AM 为公共边,所以
12、AMGAMF,所以AFM=AGM=90,则 MFAB,所以 k=- =2.113. 解析 (1)由题意可知 解得 a= ,b= .=2,=63,2=2+2, 6 2故椭圆 C 的方程为 + =1.2622(2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设为 k,则其方程为 y=k(x-2)(k0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(-x3,-y3),由 得(1+3k 2)x2-12k2x+12k2-6=0,26+22=1,=(-2)8所以 x1+x2= ,1221+32则 y1+y2=k(x1+x2-4)= ,-41+32所以 AB 的中点 D 的坐标为 ,(621+32,
13、-21+32)因此直线 OD 的方程为 x+3ky=0(k0).由 得 M,N 点的坐标为 ,+3=0,26+22=1, (- 1821+32,21+32).(1821+32,- 21+32)因为四边形 MF1NF2为矩形,所以 =0,22即(x 3-2,y3)(-x3-2,-y3)=0,所以 4- - =0.2323所以 4- =0,解得 k= .2(92+1)1+32 33故直线 l 的方程为 y= (x-2).3314. 解析 (1)由已知得 a=2,因为 e= = ,所以 c=1,12由 a2=b2+c2,得 b= ,3所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.2423(2)设 G(x1,
14、y1),H(x2,y2),由题意知直线 l:y=kx+2,B .(-2,0)由 得(3+4k 2)x2+16kx+4=0.=+2,24+23=1,所以 x1+x2= ,x1x2= ,-163+42 43+429y1+y2=k(x1+x2)+4= .123+42则 Q .(- 83+42, 63+42)=16 2k2-16(3+4k2)=16(12k2-3)0,k 2 ,14因为 0k1,所以 k1.12又 = = ,12 |而|BQ|= = ,(-2+ 842+3)2+(- 642+3)2 61+2(42+3)|GH|= ,1+24122-342+3则 = = ,12|233 44-2设 t=k2 .(141)则 = , (0,2.12233 42-12