1、1第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系A组 基础题组1.直线 l:x-y+1=0与圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是 ( )A.相离 B.相切C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心2.(2015北京朝阳期末)若直线 y=kx+1与圆 x2+y2=1相交于 P、Q 两点,且POQ=90(其中 O为原点),则 k的值为( )A. B.12C.- 或 D.-1或 12 23.过点 P(- ,-1)的直线 l与圆 x2+y2=1有公共点,则直线 l的倾斜角的取值范围是( )3A. B. C. D.(0,6 (0,3 0,6 0,34.过点 P(1, )作圆 O:x2+y2=1的两条切线,切
2、点分别为 A和 B,则弦长|AB|=( )3A. B.2 C. D.43 25.(2016北京丰台期末)已知圆 O:x2+y2=1,直线 l过点(-2,0),若直线 l上存在一点到圆心距离的最小值等于圆的半径,则直线 l的斜率为( )A. B.3 C. D.133 26.若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点 P处的切线方程为 . 7.已知圆 C的圆心是直线 x-y+1=0与 x轴的交点,且圆 C与圆(x-2) 2+(y-3)2=8外切,则圆 C的方程为 . 8.已知 P(1,0)是圆 C:(x-2)2+(y-2)2=8内一点,过点 P的最长的弦为 AB,最短的弦为 DE,求四
3、边形 ADBE的面积.29.在平面直角坐标系 xOy中,圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线 x- y+ -2=0相切.3 3(1)求圆 C的方程;(2)若圆 C上有两点 M,N关于直线 x+2y=0对称,且|MN|=2 ,求直线 MN的方程.3B组 提升题组10.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2.y轴被圆 C截得的弦长与直线 y=2x+b被圆 C截得的弦长相等,则 b=( )A.- B. C.- D.6 6 5 511.已知直线 l:kx+y-2=0(kR)是圆 C:x2+y2-6x+2y+9=0的对称轴,过点 A(0,k)作圆 C的一条切线,切点为 B,则线段 AB的长为
4、( )A.2 B.2 C.3 D.22 312.(2016北京朝阳一模)若圆 x2+(y-1)2=r2与曲线(x-1)y=1 没有公共点,则半径 r的取值范围是( )3A.0r B.0r2112C.0r D.0r313213.(2017北京丰台期末)已知过点 P(1,0)的直线 l交圆 O:x2+y2=1于 A,B两点,|AB|= ,则直线 l的方2程为 . 14.已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P的动直线 l与圆 C交于 A,B两点,线段 AB的中点为 M,O为坐标原点.(1)求 M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求 l的方程及POM 的面积.15.已知点
5、 A(-2,0),B(2,0),曲线 C上的动点 P满足 =-3.APBP(1)求曲线 C的方程;(2)若过定点 M(0,-2)的直线 l与曲线 C有公共点,求直线 l的斜率 k的取值范围;(3)若动点 Q(x,y)在曲线 C上,求 u= 的取值范围.y+2x-145答案精解精析A组 基础题组1.D 将圆 C的方程化为标准方程得 C:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心为(2,1),半径为 2,圆心到直线 l的距离为= 2,所以直线 l与圆相交.又圆心不在直线 l上,所以直线不过圆心.故选 D.|2-1+1|2 22.D 根据题意可知,圆心 O(0,0)到直线 y=kx+1的距离为 ,由点到直
6、线的距离公式得22= k=1.故选 D.1k2+1 223.D 过 P点作圆的切线 PA、PB,连接 OP,如图所示.显然,直线 PA的倾斜角为 0,又 OP= =2,(- 3)2+(-1)2PA= ,OA=1,因此OAP= ,32OPA= ,所以直线 PB的倾斜角为 .若直线 l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是 .6 3 0,3故选 D.4.A 如图所示,PA、PB 分别为圆 O:x2+y2=1的切线,6OAAP.P(1, ),O(0,0),3|OP|= =2.1+3又在 RtAPO 中,|OA|=1,cosAOP= ,12AOP=60,|AB|=2|OA|sinAOP= .35.
7、A 设直线 l的方程为 y=k(x+2).l 上存在一点到圆心距离的最小值等于圆的半径,直线 l与圆相切.设圆心(0,0)到直线 l的距离为 d,则 d= =1.|2k|k2+1k= .336. 答案 x+2y-5=0解析 设圆的方程为 x2+y2=r2,将 P的坐标代入圆的方程,得 r2=5,故圆的方程为 x2+y2=5.设该圆在点 P处的切线上的任意一点 M(x,y),则 =(x-1,y-2).由 (O为坐标原点),得 =0,PM OPPM OPPM即 1(x-1)+2(y-2)=0,7即 x+2y-5=0.7. 答案 (x+1) 2+y2=2解析 设圆 C的半径为 R.由题意知圆心 C(
8、-1,0),其与已知圆圆心(2,3)的距离 d=3 ,由两圆外切可得2R+2 =d=3 ,2 2R= ,故圆 C的标准方程为(x+1) 2+y2=2.28. 解析 由题意得 C(2,2),圆 C的半径为 2 ,过点 P(1,0)的最长的弦为圆 C的直径,所以 AB=4 ,CP=2 2= ,所以过点 P(1,0)最短的弦 DE=2 =2 ,易得 ABDE,所以四边形 ADBE的面(2-1)2+22 5 8-PC2 3积为 2 4 =4 .12 3 2 69. 解析 (1)将圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2) 2+(y-1)2=5-m,圆 C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线
9、 x- y+3-2=0相切,3圆心(-2,1)到直线 x- y+ -2=0的距离 d= =2=r,3 341+3圆 C的方程为(x+2) 2+(y-1)2=4.(2)若圆 C上有两点 M,N关于直线 x+2y=0对称,则可设直线 MN的方程为 2x-y+c=0,|MN|=2 ,半径3r=2,圆心(-2,1)到直线 MN的距离为 =1,22-(3)2即 =1,c=5 ,|-4-1+c|5 5直线 MN的方程为 2x-y+5 =0.5B组 提升题组10.D 在(x-1) 2+(y-2)2=2中,令 x=0,得(y-2) 2=1,解得 y1=3,y2=1,则 y轴被圆 C截得的弦长为 2,所以直线
10、y=2x+b被圆 C截得的弦长为 2,所以圆心 C(1,2)到直线 y=2x+b的距离为 1,8即 =1,解得 b= .选 D.|21-2+b|5 511.D 由圆 C:x2+y2-6x+2y+9=0得(x-3) 2+(y+1)2=1,则 C(3,-1).由题意可得,直线 l:kx+y-2=0经过圆 C的圆心(3,-1),故有 3k-1-2=0,解得 k=1,则点 A(0,1),则|AC|= = .(0-3)2+1-(-1)2 13故线段 AB的长为 = =2 .故选 D.AC2-r2 (13)2-1 312.C 只需求圆心(0,1)到曲线 y= 上的点的最短距离即可,1x-1取曲线上的点 ,
11、a1.(a,1a-1)圆心到曲线上的点的距离 d=a2+( 1a-1-1)2=(a-1)2+2(a-1)+ 1(a-1)2- 2a-1+2= (a-1- 1a-1)2+2(a-1- 1a-1)+4= 3.(a-1- 1a-1+1)2+3故若圆与曲线没有公共点,则 0r .313. 答案 x-y-1=0 或 x+y-1=0解析 由圆的方程得,圆心(0,0),半径 r=1,设直线 AB的解析式为 y=k(x-1),即 kx-y-k=0,圆心到直线 AB的距离 d= ,弦长|AB|= ,1 2= + ,解得 k=1,则直线 l方程为|k|k2+1 2 (|k|k2+1)2(22)2x-y-1=0或
12、x+y-1=0.14. 解析 (1)圆 C的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.9设 M(x,y),则 =(x,y-4), =(2-x,2-y).CM MP由题设知 =0,CMMP故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1) 2+(y-3)2=2,所以 M的轨迹方程是(x-1) 2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心,为半径的圆.2由于|OP|=|OM|,故 O在线段 PM的垂直平分线上,又 P在圆 N上,从而 ONPM.因为 ON的斜率为 3,所以 l的斜率为- ,13故 l的方程为 y=- x+ .1
13、3 83易得|OM|=|OP|=2 ,O到 l的距离为 ,24105|PM|= ,所以POM 的面积为 .4105 16515. 解析 (1)设 P(x,y),则 =(x+2,y)(x-2,y)=x2-4+y2=-3,即 x2+y2=1,所以曲线 C的方程为APBPx2+y2=1.(2)可设直线 l:y=kx-2,即 kx-y-2=0,由直线 l与曲线 C有公共点,得 1,解得 k 或|0-0-2|1+k2 3k- ,即直线 l的斜率 k的取值范围是(-,- ,+).3 3 3(3)由动点 Q(x,y)及 u= ,y+2x-110可设定点 N(1,-2),则直线 QN的斜率为 k0= =u.y+2x-1又 Q在曲线 C上,所以直线 QN与圆有交点,由于直线 QN的方程为 y+2=k0(x-1),即 k0x-y-k0-2=0.当直线和圆相切时, =1,|-k0-2|1+k20解得 k0=- ,34故 u的取值范围是 .(-, -34)
