1、第三章数控机床装置的插补原理,插补是协调各坐标的移动使其合成的轨 迹近似于理想轨迹的方法，它是协调各坐标运动的方法。,第一节 概述,数控机床最突出的优点是：可以根据编程，加工出较为复杂的曲线，比如圆、抛物线等，为什么数控机床能加工出这些曲线？怎样把单个的坐标运动组合成理想曲线呢？这就是插补所解决的问题！插补是一种运算程序，经过运算，判断出每一步应进哪一个坐标，进多少，本章将介绍插补的原理、方法、种类、实质等问题。,插补要解决的问题 让单独的坐标分别运动合成理想的轨迹； 几个坐标同时进，还是每次进一个； 判断进给那一个坐标使下一步误差更小； 进多少； 如果同时进给，各个坐标进给的比例是多少； 选
2、用什么样的实际轨迹合成后与理想轨迹误差最小。,二、插补的实质,曲线方程Y=F（X）本身就代表坐标量之间的制约，函数关于表示X与Y一一对应，对于曲线上的某一点的邻域 ，其坐标增量关系也是确定的，即给X1一个增量X存在一个Y使Y1+Y=F（X1+X）这是X与Y之间有一种制约，那就是由X找到一个Y使 F（X1+X）等于或接近于Y1+Y，插补就是这种寻找X与Y之间制约的方法。数学是通过函数关系算出来的。插补不一定是计算算出来，由于增量有一定的限制，比如规定了一个最小进给单位，比这更小的量进给起来就困难，所以插补有它独特的处理方法,插补：是坐标运动协调的方法，使几个独立的坐标运动，组合成一条曲线运动。这
3、种组合方法，一是由坐标的简单运动组合，一是由分段协调成的简单曲线如直线和圆弧来近似组合成复杂曲线。 插补:是让刀具沿规定轨迹的运动.,插补方法的分类,数控技术中按插补算法可归纳为两类： 一类称“一次插补法”，基特点是每插补运算一次，最多给每一轴进给一个脉冲，常用的有逐点比较法和数字积分法。这类算法，进给速度受到限制，过去的硬件数控系统常采用。 另一类称“二次插补法”，它次插补功能分为粗插补和精插补两部分完成。常用的有时间分割法和扩展数字积分器法，这类算法在每个插补运算周期里输出的不是单个脉冲，而是线段。因而能显著提高进给速度，在CNC系统中得广泛采用.,插补方法的分类,（一）基准脉冲插补 1数
4、字脉冲乘法器插补法 2逐点比较法 3数字积分法 4矢量判别法 5比较积分法 6最小差分法 7目标点跟踪法 8单步追踪法 9直接函数法 10加密判别和双判别插补法,（二）数据采样插补 1直线函数法 2扩展数字积分法 3二阶递归扩展数字积分插补法 4双数字积分插补法 5角度逼近圆弧插补法 6“改进吐斯丁”（Improved Tustin Method -ITM）法,一、数字脉冲乘法器,作为基准脉冲插补法的一种，数字脉冲乘法器的基本思想也是每次进给X和Y基本位移，是以斜率为K=Y/X的小直线段来逼近理想轨迹的。 对于直线可选择K=Y/X为理想直线的斜率，这样误差很小，对于其它曲线K是随时变化的，其逼
5、近如下图：,选切线代替曲线,X,Y,O,数字脉冲乘法器,X和Y的大小由每次输出的脉冲个数决定，而脉冲个数由输入的数决定，X、Y的比例也由这两个数决定。1组成：脉冲乘法器由分频器，寄存器，控制门，脉冲源组成。2原理：这只是X的进给控制图，二进制数输入中间寄存器（X），待放数信号来以后，数进入工作寄存器，同时改变工作寄存器的输出。这个输出作为开门信号接入控制与门A1，可以让与门A1打开使脉冲输出。A1的一个端表示一定频率的脉冲，另一个端表示开启时间，在这个频率下，开启时间越长，跑过去的脉冲个数越多。,3原理框图如下：工作寄存器中间寄存器二进制数与门A1脉冲串脉冲脉冲A1开门信号二进制数脉冲总数对应
6、脉冲,其它几个门A2，A3A11同样是这样。 a1，a2a组成二进制数。 比如10010001，1代表开门，让不同频率的脉冲通过，脉冲总个数为：,第三节 逐点比较法,人们在生活中，经常遇到这样的问题：几种事，做那件事好？在做事之前人们常这样想：先看一个做每一件的事的利益，然后比较这些利益的大小，然后选择利益最大，与理想误差最小的事或者说要做与理想最靠近的事，这是找出可以走的路的方法。下面有类似的情况：数控机床的进给运动，如果每次只在一个坐标方向进给一小步，怎样进给误差最小？如果先计算一下:进每一个坐标后到下一个位置与理想位置的误差，然后，比较这个误差，选择一个误差小的方向进给，这样就有利于减小
7、误差。,以上就是逐点比较法的基本思想，逐点比较法，做两件事：用最简捷的方式计算每个单坐标进给后的位置误差。比较误差，判定进给坐标。逐点比较法，就是分别计算各坐标进给后可能出现的误差，然后选出误差最小的坐标进给的方法。 它的关键是找出容易计算的误差函数，然后再比较误差，通常，只推导了直线和圆弧的误差判别式，因为这种曲线用得多，如果我们能建立一种更为普遍的方法，我们就能推导任意曲线的判别式。,步骤： 列出数学公式y=f(x) 构造误差函数F=y-f(x) 数据分析处理，使下一步的点靠近曲线。首先，介绍判别式的通用算法。 如果存在一个函数F（X，Y）=0，那么，可以设F（X，Y）为误差函数，如果F（
8、X，Y）0，那么在曲线上方，F（X，Y）0在曲线下方。,由函数式可以推出更简化的递推式，使计算更简便，从以上算出误差值的大小，下一步就是比较这两个误差的大小，从而判定出取X=Xi+1更好，还是取Y=Yj+1更好，然后再进给，下面介绍几条常用曲线的推导。一、指数曲线： 误差函数：令 对于任意点（x，y）， F（x，y）0，点在曲线上方；F（x，y）=0，点在曲线上；F（x，y）0，点在曲线下方。,建立递推公式：,建立递推公式有利于计算简化。若沿+X方向走一步： 若沿+ Y 方向走一步：,误差判断： 误差判断的原则是使下一步的误差减小。,若F0点在曲线上方，沿+X方向进一步才能减小误差，所以使,若
9、在+Y方向进一步只能使误差加大，但是在-Y方向进一步也是可以的。 所以沿+X和-Y方向进一都可以，只是根据进给的一惯方向来决定，进+X，或-Y。 终点判别：在进给 步长决定之后，由所给曲线的长度可算出进给步长，如按X方向计数，每进给一次只须在X方向进一就算总步数-1，当-1=0时，为终点。 ：设置两个计数器J，J，分别存入X，Y方向的进给步数，加1时，X轴（或Y轴）每进一步，J（或Jy）就减去1，直至J=Jy=0为止。 ：利用动点（Xi，Y）与终点坐标（X，Y）进行比较，若二者相等则说明达到终点。,：只设置一个计数器J，存入两坐标方向的进给总步数之和，无论X还是Y进了一步，J就减1，直至J=0
10、，表示达到终点。 ：设置一个长度计数器J，存入某个选定计数方向的计数长度，加工时，该方向每进一步，J就减去1，直至J=0，表示达到终点。 加工直线时，计数方向的选取原则是：取终点坐标值较大（即进给距离较大）的坐标方向作为计数方向。,为了演示逐点比较法的原理，以下是用BASIC语言编制的指数曲线的插补程序，可在计算机屏幕上演示。2，形如指数程序： SCREEN1：CLS X=60：Y=80：A=1.1FOR N=1 TO 180 IF F0 THEN F=F/A-Y/A+Y X=X-1 X1=100+X：Y1=100-Y PSET（X1，Y1） ELSE,F=F-1：Y=Y-1 X1=100+X
11、：Y1=100-Y PSET（X1，Y1） END IF NEXT N END,二 逐点比较法 （一）插补原理 逐点比较法又称代数运算法、醉步法。这种方法的基本原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地计算和判别加工误差，与规定的运动轨迹进行比较，由比较结果决定下一步的移动方向。逐点比较法即可以作直线插补，又可以作圆弧插补。这种算法的特点是，运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便，因此，在两坐标联动的数控机床中应用较为广泛。,二、直线插补,设直线方程为 误差函数，令 以第一象限为例，插补点位于直线上方，下方和直线上。 对位于直线上方的点A，则有 F（
12、x，y）0对于直线上的点，有： F（x，y）=0对于直线下的点，有： F（x，y）0 建立递推公式：,以第一象限为例，插补点位于直线上方，下方和直线上。 对位于直线上方的点A，则有 F（x，y）0对于直线上的点，有： F（x，y）=0对于直线下的点，有： F（x，y）0 建立递推公式： 为了便函于计算机计算，下面将F的计算予以简化。设第一象限中的点（Xi，Yj）的F值为,误差判断： 若F0点在曲线上方，沿+X方向进一步才能减小误差，若在+Y方向进一步只能使误差加大，但是在-Y方向进一步也是可以的。所以沿+X和-Y方向进一都可以，只是根据进给的一惯方向来决定，进+X，或-Y,若沿+X方向走一步：
13、 若沿+方向走一步：,终点判别： 可采用二种方法，一是每走一步判断最大坐标的终点坐标值（绝对值）与该坐标累计步数坐标值之差是否为零，若等于零，插补结束。二是把每个程序段中的总步数求出来，即N=Xe+Ye，每走一步，进行N-1，直到N=0时为止。因而直线插补方法可归纳为： 当F0时，沿+X方向走一步，然后计算新的偏差和终点判别计算FF-YeNN-1 当F0时，沿+Y方向走一步，则计算FF+XeN=N-1,例2、圆弧插补。,逐点比较法进行圆弧加工时（以第一象限进圆为例），一般以圆心为原点，给出圆弧起点坐标（X，Y）和终点坐标（X，Y）如图所示XY设圆弧上任点坐标为（X，Y），则下式成立：选择判别函
14、数F为其中（X，Y）为第一象限内任一点坐标， 根据动点所在区域不同，有下列三种情况：F0 动点在圆弧外F=0 动点在圆弧上F0 动点在圆弧内,设圆弧上任点坐标为（X，Y），则下式成立：,选择判别函数F为,其中（X，Y）为第一象限内任一点坐标， 根据动点所在区域不同，有下列三种情况：F0 动点在圆弧外F=0 动点在圆弧上F0 动点在圆弧内 我们把F0和F=0合并在一起考虑，按下述原则，就可以实现第一象限逆时针方向的圆弧插补。 当F0时，向-X走一步； 当F0时，向+Y走一步。 每走一步后，计算一次判别函数，作为下一步进给的判别标准，同时进行一项终点判断。,F值可用递推计算方向由加减运算逐点得到。
15、设已知动点（X，Y）的F值为F，则动点在 -X方向走一步后： 动点在+Y方向走一步后：终点判别可采用指数函数插补相同的方法。归纳起来F0时，向-X方向走一步。其偏差计算， 计算和终点判别按下面公式：,终点判别可采用指数函数插补相同的方法。归纳起来F0时，向-X方向走一步。其偏差计算 终点判别按下面公式：,为了说明逐点比较法圆弧插补的原理，提供圆弧插补的BASIC模拟程序，可供演示，程序如下： XIM圆弧起点X值 YIM圆弧起点Y值 SFD偏差值0 JE终点判别计数长度 XPSPX正向起步子程序地址,YMSPY负向起步子程序地址CINT1:LD A,(SFD)BIT T,AJP M,XRSLD
16、A,(YIM)DEC ALC (YIM),ASLA ALD B,A LD A,(SFD)SUB BDEC ALD (SFD),ACALL YMSPJR ENDP,XXRS: LD A,(XIM)INC ALD (XIM),ASLA ALD B,ALD A,(SFD)ADD A,BDEC ALD (SFD),ACALL XPSP ENDP:LD A,(JE)DEC ALD (JE),AJP Z,STOPJR CINT1,四、抛物线插补,如图示：在这里我们只研究第二象限的插补。 在曲线上任取点（X，Y），则有 接下来，我们建立误差函数。由式可得 因此建立判别函数为 并且 F0 时， 动点在曲线上方
17、F=0 时， 动点在曲线上F0 时， 动点在曲线下方,同样，我们将F0与F=0结合起来考虑 当F0时，向-X方向走一步， 当F0时，向+Y方向走一步。设已知动点 的F值为 ,则动点在-X方向走一步后:,在+Y方向走一步后:,以下是抛物线的BASIC模拟程序，可供演示，以便研究插补原理。 SCREEN1：CLS,X=200：Y=70 P=10：F= WHILE X0 IF F0 THEN F=F+2P：X=X-1：Y1=100+Y PSET（X，Y1）,ELSE F=F-2Y+1：Y=Y-1：Y1=100+Y PSET（X，Y1） END IF WEND WHILE X200 IF F0 THE
18、N F=F-2P：X=X+1：Y1=100+Y PSET（X，Y1） ELSE F=F-2Y+1：Y=Y-1：Y1=100+Y PSET（X，Y1） END IF WEND END,五 对数函数,设函数：建立误差判别函数当 F0 时， 动点在曲线上方当 F=0 时， 动点在曲线上当 F0 时， 动点在曲线下方 同样，当F0时，向+X方向走一步当F0时，向+Y方向走一步 设已知动点（X，Y）的F值为:,+X方向走一步后+Y方向走一步后,举例2：逐点比较法 圆弧,例2 圆弧插补。设AB为第一象限逆圆弧，起点为A（Xa=6，Ya=0），终点为B（Xb=0，Yb=6）， 用逐点比较法加工AB（图3.2
19、.10）解终点判别值 n=（6-0）+（6-0）=12 开始加工时，刀具从A(6,0)点开始， 即在圆弧上， F（0，0）=0，加工运算过程 如表3-2。 （二）象限处理 1.直线插补的象限处理,图3.2.10 圆弦插补轨迹,（二）象限处理 1.直线插补的象限处理 原来研究的直线插补运算公式,只适用于第一象限的直线，若不采取措施不能适用其它象限的直线.第一象限的圆弦插补轨迹插补也不能适用其它象限的直线。 对于第二象限，只要取|X|代替X即可，至于输出驱动，应使X轴步进马达反向旋转， 而Y轴步进马达仍为正向旋转。,同理第三、四象限的直线也可以变换到第一象限。插补运算时，取代|x|和|y|代替x、
20、y。输出驱动原则是：在第三象限，点在直线上方，向-Y方向步进；点在直线下方，向-X方向步进。在第四象限，点在直线上方，向-Y方向步进；点在直线下方，向+X方向步进。四个象限各轴插补运动方向如图形3.2.11所示。由图中看出，F0时，都是在X方向步进，不管+X向还是-X向，|x|增大。走+X或-X可由象限标志控制，一、四象限走+X，二、三象限走-X。同样，F小于0时，总是走Y方向，不论-Y向或+Y向、|y|增大。走+Y或-Y，由象限标志控制，一、二象限走+Y，三、四象限走-Y。,附：几种曲线轨迹的计算模拟程序 一，数字积分法（DDA法）： 1。直线程序： SCREEN1：CLS A=0：I=12
21、0 B=0：J=41 X=0：Y=0：M=128 FOR N=1 TO M A=A+I：B=B+J IF AM THEN A=A-M：X=X+1 IF BM THEN B=B-M：Y=Y+1 X1=100+X：Y1=100-Y PSET（X1，Y1） NEXT N END,2，圆弧程序 SCREEN1：CLS X=110：Y=0 A=0：B=0 M+128：N=110 WHILE N0 A=A+Y：B=B+X IF AM THEN A=A-M：X=X-1：N=N-1 IF BM THEN B=B-M：Y=Y+1 X1=100+X：Y1=150-Y PSET（X1，Y1） WEND END,数字
22、积分法（DDA法）,从数字积分的角度看，一个变量可以看着它本身的一些微量的累加。如： 如果把Xi近似看作是按一定速率的增量，即Xi=Vit，那么,只要V(t)、U（t）表达式能写出，就能求出X，Y，而且可以控制X与Y的增量比。 DDA法是脉冲增量插补法的一种，也是靠控制增量间的关系来控制轨迹的，但是，有它的特点，DDA法的特点是：用控制增量速率来控制增量间的关系。,由于以上特点：DDA法运算简单，运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现多坐标联动，其关键点是速度调节，这对调速提出了苛克的要求，假设速度函数为V（t），用什么方法来控制速度严格按函数变化呢，现在的实际情况有一定困难。速度调节不方便，须采用一定的措施来克服。但是，如果能严格控制速度的变化，可实现无误差插补，比如对于直线只要控制Vx（t）与Vy（t）为设定的常数那么合成的直线就为理想直线。,1已知函数曲线方程为F（X，Y）=0则： 即：得到两个方向的速度比为：2为了简化运算，设（这里把K当作常数，只为了使计算简化，实际上并不一定是常数，只有直线为常数）那么可得速度表达式：,以下是几个具体举例： 一，DDA直线插补： 设直线方程为： 对1式两边对t求导： 对如图所示直线： 其终点为(Xe,Ye),(Xe,Ye),Y,X,
