1、高 三 数 学 二 轮 复 习 数 列 创 新 题 型在高考数学中，创新题是一类非常重要的题型，并且经常作为压轴题出现在选择、填空、甚至解答的最后一题，让很多同学望而生畏： 短时间内不仅要学会一个新知识或性质，还需要利用它来解决问题。常常感觉到无从下手。高考数学中的创新题具有情景新颖，内涵深刻，负有一定的创造性，这类题目以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“应用”为目的，旨在考查学生对数学问题的观察、理解、探究、概括、类比、归纳等诸多方面的综合能力。可以形象地概括为“现学现卖” ，如何处理好高考中的创新题？是数学学习和应用能力等综合素质的集中体现。这一讲我们主要来看一下数列中的部分创新题。实
2、际上这一类题型呢也有它们自身的特点和规律，要做好这一类题型，首先要提高“眼力”：善于观察和总结新知识本身的特点和性质，要与已掌握相关知识点联系。要敢于大胆尝试和猜测归纳。先来看一个小问题热热身：杰克正看着安妮，而安妮正看着乔治。杰克已婚，乔治未婚。请问是否有一位已婚人士正在看着一位未婚人士？A、是 B、不是 C、无法确定你知道哪个选项正确吗？为什么？题干中没有给出我们明确的答案，但题目中又又蕴含着正确答案，需要我们主动去探究，去发现。这就是创新题的特点。一、创新定义型解题时应将阅读信息与所学知识结合起来，侧重考查信息加工能力。例：已知数列 满足： ，定义使 为)(*Nna)()2log*1Nn
3、an12.ka整数的数 叫做期盼数，则区间 内的所有期盼数的和 k,05M。对于一个有限数列 12nPP中， 的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义为12nSn，其中 121kkSn ，若一个 99 项的数列9P中的蔡查罗和为 1000，那么 100 项数列 129P中的蔡查罗和为（ ）A991 B.992 C.993 D.999对于各项均为整数的数列 na，如果 (1,23)i为完全平方数，则称数列 na具有“P 性质” ， 如果数列 不具有“P 性质” ，只要存在与 na不是同一数列的 b，且 nb同时满足下面两个条件： 123,nb是 123,的一个排列；数列具有“P 性质” ，则称数列 n
4、a具有“变换 P 性质” ，下面三个数列：数列 1，2，3，4，5； 数列 1，2，3， ，11,12； 数列 na的前 n 项和为()nS.其中具有“P 性质”或“变换 P 性质”的有( )A B C D如果有穷数列 123,ma （ 为正整数）满足 1ma， 21a， 1ma即imi（ ） ，我们称其为“ 对称数列”例如数列 1，2，5 ，2，1 与数列8， 4，2，2，4，8 都是“对称数列 ”设 nb是项数为 （ ， *N）的“对称数列”，并使得 2311,m 依次为该数列中连续的前 项，则数列 nb的前 2010 项和201S可以是：（1） 0；（2 ） 1062；（3） 1201m
5、其中正确命题的序号是_若数列 na满足：对任意的 nN，只有有限个正整数 m使得 an 成立，记这样的m的个数为 ()，则得到一个新数列 ()na例如，若数列 是 1,23,， ，则数列 n是 0,12,， 已知对任意的 N， n，则 5() ，()na二、性质探求型例：把数列 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第12n四个括号四个数，第五个括号一个数，循环分为（3） ， （5，7） ， （9，11，13） ，（15，17，19，21） ， （23） ， （25，27） ， （29，31，33） ， （35，37，39，41） ， （43）则第104 个括号内各数之和
6、为A.2036 B.2048 C.2060 D.2072 例：已知数列a n满足 an+1=anan1（n2） ，a 1=a，a 2=b，记 Sn=a1+a2+a3+an，则下列结论正确的是Aa 2008= a，S 2008=2b a Ba 2008= b，S 2008=2b aCa 2008= b，S 2008=b a Da 2008= a，S 2008=b a已 知 数 列 的 各 项 均 为 正 整 数 ， 对 于 ， 有n 1,23nL1 135,2nn nkaka 中为 数为 数 为 为 数 数当 时， _；若存在 ，当 且 为奇数时， 恒为常数 ，则1a10*mNnanap的值为_
7、p在数列 na中， *N，若 21nak（ 为常数） ，则称 na为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断： k不可能为 0 等差数列一定是等差比数列 等比数列一定是等差比数列 等差比数列中可以有无数项为 0其中正确的判断是（ ）A B C D 定义：在数列 na中，若 2 *1,(2,)napnNp为 常 数 ，则称 na为“等方差数列”下列是对“ 等方差数列”的有关判断：若 n是“ 等方差数列 ”，则数列 n是等差数列； ()n是“等方差数列” ；若 a是“ 等方差数列 ”，则数列 *(,ka为 常 数 也是“ 等方差数列”；若 n既是“ 等方差数列” ，又是等差数列，则该数列是常
8、数数列其中正确的命题为 （写出所有正确命题的序号）4.在数列 中，若对任意的 ，都有 （ 为常数） ，则称数列 为比na*nN21natna等差数列， 称为比公差现给出以下命题：t等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；若数列 满足 ，则数列 是比等差数列，且比公差 ；na12nna12t若数列 满足 ， ， （ ） ，则该数列不是比等差数c1c12c3列；若 是等差数列， 是等比数列，则数列 是比等差数列nnbnab其中所有真命题的序号是 若数列 na满足：存在正整数 T，对于任意正整数 n都有 nTa成立，则称数列 na为周期数列，周期为 T. 已知数列 na满足 1(0)m
9、，1, 1=0.nna，现给出以下命题： 若 34a，则 m可以取 3 个不同的值 若 2，则数列 na是周期为 的数列 T*N且 ，存在 1， n是周期为 T的数列 Qm且 2，数列 na是周期数列.其中所有真命题的序号是 .我们知道，如果定义在某区间上的函数 ()fx满足对该区间上的任意两个数 1x、 2，总有不等式 1212()()fxfxf成立，则称函数 ()fx为该区间上的向上凸函数（简称上凸） 类比上述定义，对于数列 na，如果对任意正整数 n，总有不等式：21nna成立，则称数列 na为向上凸数列（简称上凸数列） 现有数列 na满足如下两个条件：（1 ）数列 n为上凸数列，且 1
10、0,28；（2 ）对正整数 （ *,Nn） ，都有 0nab，其中 2610nb 则数列 na中的第五项 5a的取值范围为 3已知数列 满足 下面说法正确的是（ ）n(,01)nkk当 时，数列 为递减数列；12kna当 时，数列 不一定有最大项；当 时，数列 为递减数列；102kna当 为正整数时，数列 必有两项相等的最大项A B C D图 1 图 2 图 3 图 4三、规律发现型将自然数不清，2，3，4排成数陈（如右图） ，在 2 处转第一个弯，在 3 转第二个弯，在 5 转第三个弯，. ，则第 2005 个转弯处的数为_。如图 是一个类似“杨辉三角”的图形，第 n 行共有 n 个数，且该
11、行的第一个数和最后一个数都是 n,中间任意一个数都等于第 n1 行与之相邻的两个数的和， 分别表示第 n 行的第一个,.)321(,.,2, an数，第二个数，.第 n 个数。求 的通项式。 )(2, Nn且4351f1fa-752b-483d-857c-190205e842a4如图，第 n 个图形由第 n+2 边形 “扩21 22 232425 26| |20 7 8 9 10 27| | | 19 6 1 2 11 | | | |18 5 4 3 12| |17 16 1514 13 . 5145732展”而来的。记第 n 个图形的顶点数为 ，则 = 。 ,.)321(na205a例 6、下表给出一个“等差数阵 ”：4 7 （ ） （ ） （ ） aj17 12 （ ） （ ） （ ） j2（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） j3（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） aj4 ai1i2ai3i4ai5 ij 其中每行、每列都是等差数列， 表示位于第 i 行第 j 列的数。ij（I）写出 的值；（ II）写出 的计算公式；a45aij（III）证明：正整数 N 在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积。
