1、 1 运筹学的原理与方法 习题答案 第一章习题 1. (1) 设决策变量 x 1 ,x 2 分别表示生产产品 A,B 的产量 ， 则此问题的数学模型可归结为 ：求 x 1,x 2 ， 使得 maxZ=550x 1+200x 2 ; s.t.+0,16244267212121xxxxxx(2) 设决策变量 x 1 ,x 2 ,x 3 分别表示 A,B,C 三种产品的月需求量 ， 则此问题的数学模型可归结为 ： 求 x 1,x 2 ,x 3 ， 使得 maxZ=10x 1+14x 2 +12x 3 ; s.t.+120100,280250,25020010000.12.10.220000.45.1
2、0.1321321321xxxxxxxxx(3) 设决策变量 x j 表示第 j 种合金的用量 （ j=1,2, ,5 ）， 则此问题的数学模型可归结为 ： 求 x j ， 使得 minZ=8.5x 1+6.0x 2 +8.9x 3 +5.7x 4 +8.8x 5 ; s.t.=+=+=+=)5,.,2,1(0x)xxxx(x5040x+ 80x+ 30x+ 70x+ 10x)xxxx(x2010x+ 10x+ 20x+ 20x+ 60x)xxxx30(x 50x+ 10x+ 50x+ 10x+ 30xj543215432154321543215432154321j(4) 依题意 ， 各种可能
3、的搭配方案为 ： 方案 B1 B 2 B 3 需要根数 3m 3 0 2 90 4m 0 2 1 60 设决策变量 x j 表示第 B j 种方案所用钢筋的根数 ， 则此问题的数学模型可归结为 ： 求 x j2 （ j=1,2,3 ）， 使得 minZ=x 1+x 2 +x 3 ; s.t.=+)3,2,1(060290233231jxxxxxj(5) 设决策变量 x j 表示第 j 班次 开始 上班的人数 ， 则此问题的数学模型可归结为 ： 求x j ， 使得 minZ= =61jjx ; s.t.=+)6,.,2,1(0302050607060655443322116jxxxxxxxxxx
4、xxxj(6) 依题意 ， 设 B j (j=1,2, ,n) 为用料方案 ， 则各种可能的搭配方案为 ： 方案 B1 B 2 B n 需要根数 1.57m a11 a 12 an1 200 1.45m a21 a 22 an2 200 1.3m a31 a 32 an3 600 0.35m a41 a 42 an4 1200 设决策变量 x j 表示采用 B j 种方案下料的根数 ， 则此问题的数学模型可归结为 ： 求 x j（ j=1,2, ,n ）， 使得 3 minZ= =njjx1; s.t.=+),.,2,1(01200.600.200.200.424214132321312222
5、1211212111njxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxajnnnnnnnn(7) 设决策变量 x ij 为生产 i 型 (i= 1,2,3 ) 产品所需 j 型设备 （ j=1,2,3 对应 A,B,C ） 加工的时间 ， 则此问题的数学模型为 ： 求 x ij ( i =1,2,3;j=1,2,3) 使得利润最大化 , 即 maxZ=(50 - 15)*10x 11 +(100 - 25)*20x 21 +(45 - 10)*10x 32 - 200(x 11 +x 21 ) - 1 00(x 12 +x 32 ) - 200(x 23 +x 33 ) s.t.=+=)3,
6、2,1;3,2,1(0604550242332332122111333223211211jixxxxxxxxxxxxxij2. (1) 引入松弛变量 x 5 ,x 6 ， 令自由变量 x 4 =x 4 - x 4 ， 则其标准形式为 ： maxZ = - Z=3x 1- 4x 2 +2x 3 - 5(x 4 - x 4 ); s.t.=+=+=+0,x, x, x, x,x,x2x- 2x- x2 x- 3x 2x-14 xx+ x- 3x+ x x2 x- x 2x- x4x-654432164432154432144321x(2) 引入松弛变量 x 4 ， 令自由变量 x 1= - x 1
7、,x 3 =x 3 - x 3 ， 则其标准形式为 ： maxZ = - Z=2x 1 +x 2 - 3(x 3 - x 3 ); 4 s.t.=+=+0 x, x,x,x6 x3x+ 3x - x 5x-4 x- x+ 2xx33214332133213. (1) 在 x 1ox 2 坐标平面作直线 l 1: 2x 1+5x 2 =60 l 2 : x 1+x 2 =18 l 3 : 3x 1+x 2 =44 其等值线为 ： 2x 1+x 2 =k 此时 =513*2*1xx 为最优解 ,Z * =31. (2) 在 x 1ox 2 坐标平面作直线 l 1: - x 1+2x 2 =25 l
8、 2 : x 1+x 2 =20 l 3 : 5x 1+3x 2 =75 其等值线为 ： 5x 1+10x 2 =k 此时 =155*2*1xx 为最优解 ,Z * =175. (3) 在 x 1ox 2 坐标平面作直线 l 1: 2x 1+5x 2 =60 l 2 : x 1+x 2 =18 l 3 : 3x 1+x 2 =44 其等值线为 ： 2x 1+5x 2 =k 此时有无穷多解 . (4) 在 x 1ox 2 坐标平面作直线 l 1: 2x 1+x 2 =10 5 l 2 : - 3x 1+2x 2 =6 l 3 : x 1+x 2 =6 其等值线为 ： 4x 1+3x 2 =k 此
9、时是无界的 . (5) 在 x 1ox 2 坐标平面作直线 l 1: 2x 1+2x 2 =10 l 2 : - x 1+x 2 =8 其等值线为 ： 4x 1+8x 2 =k 此时无可行解 . （ 6 ） 在 x 1ox 2 坐标平面作直线 l 1: 2x 1+2x 2 =10 l 2 : - x 1+x 2 =8 其等值线为 ： - 4x 1- 3x 2 =k 此时 =24*2*1xx 为最优解 ,Z * =22. 4 （ 1 ） 引入松弛变量 x 3 ,x 4 ， 将问题化为标准形式 ： maxZ=3x 1+2x 2 ; s.t.=+=+0,62624321421321xxxxxxxxx
10、x则约束方程组的系数矩阵为 ： A= 1,0,2,10,1,1,2 =(p1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 ) p 1 ,p 2 线性无关 ， 取 B 0 =( p 1 ,p 2 )= 2,11,2 为一个基 则 x 1,x 2 为基变量 ， x 3 ,x 4 为非基变量 ， 令 x 3 =x 4 =0 ， 代入约束方 程解得 : x 1=2, 6 x 2 =2 所以 X )0( =(2,2,0,0) T 为对应基 B 0 的一个基本解 ， 由于它的基变量取值非负 ， 因而也是基可行解 ， 此时 Z=10. p 1 ,p 3 线性无关 ， 取 B 1=( p 1 ,p 3 )= 0,11,2
11、为一个基 则 x 1,x 3 为基变量 ， x 2 ,x 4 为非基变量 ， 令 x 2 =x 4 =0 ， 代 入约束方程解得 : x 1=6, x 3 = - 6 所以 X )1( =(6,0, - 6,0) T 为对应基 B 1的一个基本解 ， 由于它的基变量 x 3 0 ， 因而不是基可行解 . p 1 ,p 4 线性无关 ， 取 B 2 =( p 1 ,p 4 )= 1,10,2 为一个基 则 x 1,x 4 为基变量 ， x 2 ,x 3 为非基变量 ， 令 x 2 =x 3 =0 ， 代入约束方程解得 : x 1=3, x 4 =3 所以 X )2( =(3,0,0,3) T 为
12、对应基 B 2 的一个基本解 ， 由于它的基变量取值非负 ， 因而也是基可行解 ， 此时 Z=9. P 2 ,p 3 线性无关 ， 取 B 3 =( p 2 ,p 3 )= 0,21,1 为一个基 则 x 2 ,x 3 为基变量 ， x 1,x 4 为非基变量 ， 令 x 1=x 4 =0 ， 代入约束方程解得 : x 2 =3, x 3 =3 所以 X )3( =(0,3,3,0) T 为对应基 B 3 的一个基本解 ， 由于它的基变量取值非负 ， 因而也是基可行解 ， 此时 Z=6. p 2 ,p 4 线性无关 ， 取 B 4 =( p 2 ,p 4 )= 1,20,1 为一个基 则 x
13、2 ,x 4 为基变量 ， x 1,x 3 为非基变量 ， 令 x 1=x 3 =0 ， 代入约束方程解得 : x 2 =6, x 4 = - 6 所以 X 4 =(0,6,0, - 6) T 为对应基 B 4 的一个基本解 ， 由于它的基变量 x 4 0 ， 因而7 不是基可行解 . p 3 ,p 4 线性无关 ， 取 B 5 =( p 3 ,p 4 )= 1,00,1 为一个基 则 x 3 ,x 4 为基变量 ， x 1,x 2 为非基变量 ， 令 x 1=x 2 =0 ， 代入约束方程解得 : x 3 =6, x 4 =6 所以 X )5( =(0,0,6,6) T 为对应基 B 5 的一个基本解 ， 由于它的基 变量取值非负 ， 因而也是基可行解 ， 此时 Z=0. 综上所述 ， 最优解为 ： X * = （ 2 ， 2 ， 0 ， 0 ） T ， Z * =10.
