1、14.3 解直角三角形知|识|目|标1通过探索、讨论，理解解直角三角形的定义与依据2通过阅读、自学，掌握已知 2 个元素(至少有 1 个是边)求 3 个未知元素的解法3通过转化思想，能把非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解决目标一 理解解直角三角形的定义与依据例 1 教材补充例题在 Rt ABC 中，根据下列条件，可求三角形其他元素的是( )A已知 a5， C90B已知 B48， C90C已知 a5， B48D已知 B48， A42全品导学号：90912121 例 2 教材补充例题在 Rt ABC 中， C90，已知 B 和 a，则有( )A c acosB B c asinBC c D
2、casinB acosB2【归纳总结】 解直角三角形的条件和依据1解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有 1 个是边2解直角三角形的依据：(1)直角三角形两个锐角的互余关系；(2)直角三角形三边之间的关系(勾股定理)；(3)直角三角形边角之间的关系(锐角三角函数)目标二 会解直角三角形例 3 教材例 1 针对训练如图 431，在 ABC 中， C90， B45， BC5，解这个直角三角形图 431例 4 教材补充例题在 Rt ABC 中， C90， a2 ， b6，解这个直角三角形3【归纳总结】 解直角三角形的类型与解法1解直角三角形的基本方法：3图形 已知条件 解法步骤两直角边(
3、如a， b)由 tanA ，ab求 A； B90 A； c a2 b2两边斜边与一直角边 (如 c， a)由 sinA ，ac求 A； B90 A； b c2 a2一锐角一邻边(如 A， b) B90 A； a btanA； cbcosA一直角边和一锐角一锐角一对边(如 A， a) B90 A； b ；atanA casinA在 Rt ABC 中， C90一边一角斜边和一锐角 (如 c， A) B90 A； a csinA； b ccosA2.计算边时，可按照“有斜用弦，无斜用切”的原则，即若与斜边有关，则使用正、余弦；若与斜边无关，则使用正切例 5 教材补充例题如图 432，在 ABC 中，
4、 ABC90， A30， D 是边 AB上一点， BDC45， AD4.求 BC 的长(结果保留根号)4图 432【归纳总结】 含双直角三角形的问题的解法对于含有公共直角边的双直角三角形问题，一般从特殊角入手，以含特殊角的直角三角形为基本图形，先分析基本图形，将边转移到另外的直角三角形中，再利用其中特殊的边角，结合锐角三角函数的定义构造方程求解目标三 会把非直角三角形转化为直角三角形求解例 6 教材补充例题如图 433，在 ABC 中， AB AC10，sin C ， D 是 BC 上一点，35且 DC AC.(1)求 BD 的长的值；(2)求 tan BAD.图 433【归纳总结】 非直角三
5、角形转化为直角三角形的解法求不规则图形中的边或角的关键是作出辅助线(高)，构造直角三角形，把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题来解决注意熟练掌握锐角三角函数的定义5知识点一 解直角三角形的定义与依据在直角三角形中，除直角外有 5 个元素(即 3 条边、2 个锐角)，只要知道其中的 2 个元素(至少有 1 个是_)，就可以求出其余的 3 个未知元素我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形如图 434，在 Rt ABC 中， C90，设三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c(以下字母同)，则解直角三角形的主要依据是：(1)三条边之间的关系： a2 b
6、2 c2；(2)两锐角之间的关系： A B90；(3)边角之间的关系：sin Acos B ，cos Asin B ，tan A .ac bc 1tanB ab图 434知识点二 解直角三角形的方法(1)解直角三角形时，已知一个锐角及邻边，可用_求出斜边，用_求出对边；(2)解直角三角形时，已知一个锐角及对边，可用_求出斜边，用正切求出邻边；(3)解直角三角形时，已知两边，可用勾股定理求出第三边，用正切求出锐角点拨 解直角三角形时，应先分析清楚已知元素与所求元素，可作草图帮助理解，正确寻求能够沟通已知与所求元素之间的函数关系式分析下列解题过程是否正确？若不正确，请指出错误的原因，并给出正确解法
7、问题：在 ABC 中， A30， BC ， AC2 ，求 AB 的长6 36解：如图 435，作出符合题意的几何图形，过点 C 作 CD AB 于点D， ADC BDC90.sin A ，且 AC2 ， CD .CDAC 12 3 3又 sin CBD ， CBD45，CDBC 36 22tan CBD 1，CDBD CD BD .3 A30， AC2 ，3 AD ACcosA3， AB AD BD3 .3图 435详解详析【目标突破】例 1 解析 C A已知一边和一角，一角是直角， RtABC 不可解，不符合题意；B没有一条边， RtABC 不可解，不符合题意；C已知一边和一角，一角不是直角
8、， RtABC 可解，符合题意；D没有一条边， RtABC 不可解，不符合题意例 2 解析 D 在 RtABC 中，C90，7 cosB ，c .ac acosB例 3 解： C90， B45， A904545， A B， AC BC5.在 Rt ABC 中，cos Bcos45 ， AB 5 ，BCAB BCcos45 2 A45， AC5， AB5 .2例 4 解：a2 ，b6，3 tanA ，ab 2 36 33A30，B903060，c2a4 .3例 5 解：设 BCx，在 RtBCD 中，ABC90，BDC45，BDBCx.在 RtABC 中，ABC90，A30，AB4x， tanA
9、 ，即 ，解得 x2 2.BCAB 33 x4 x 3BC 的长为 2 2.3例 6 解：(1)如图，过点 A 作 AE BC 于点 E. AB AC， BE CE.在 Rt ACE 中， AC10，sin C ，35 AE6，从而 CE 8，AC2 AE2 BC2 CE16，8 BD BC DC BC AC6.(2)如图，过点 D 作 DF AB 于点 F.在 Rt BDF 中， BD6，sin Bsin C ，35 DF ，185从而 BF ，BD2 DF2245 AF AB BF ，265tan BAD .DFAF 913备选题型 解非直角三角形例 如图，已知在 ABC 中， B45，
10、C30， BC33 ，求 AB 的长3解析 过点 A 作 AD BC 于点 D，将特殊角 B， C 放在两个直角三角形中，再利用相应的锐角三角函数求解解：过点 A 作 AD BC 于点 D. B45， AD BD， AB BD.2设 AD BD x，在 Rt ADC 中，tan C ，即 ，ADDC xDC 33 DC x.3又 BC BD DC，9 x x33 ，3 3解得 x3， AB3 .2归纳总结 (1)在直角三角形中求边长可以从勾股定理和锐角三角函数两个方面考虑(2)在含有特殊角的非直角三角形中，通常需要作辅助线构造直角三角形来解决问题，通常情况下是以一个特殊角为它的一个锐角构造直角
11、三角形(3)根据条件中的线段的比或锐角三角函数值，可以设出一个未知数，然后列出方程求解【总结反思】小结 知识点一 边知识点二 (1)余弦 正切 (2)正弦反思 解：解题过程有不正确，错误原因是符合条件的几何图形不是唯一的正解：情形(1)见题中所给解答，情形(2)如下：过点 C 作 CD AB 交 AB 的延长线于点 D， ADC90.sin A ，且 AC2 ， CD .CDAC 12 3 3又 sin CBD ，CDBC 36 22 CBD45，tan CBD 1，CDBD CD BD .3 A30， AC2 ，3 AD ACcosA3，10 AB AD BD3 .3综合情形(1)与(2)，得 AB 的长为 3 或 3 .3 3
