1、1中考数学专项讲解 整体思想知识梳理整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后得出结论整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用是初中数学学习中的重要思想方法典型例题一、在数与式的运算中的应用【例 1】 已知代数式 3x24x+6 的值为 9，则 2463x的值为 ( )A18 B12 C9 D7【分析】 如果根据题意直
2、接求出 x 再代入到 2中求值将非常麻烦，特别是 x 为一个无理数考虑到由题意 3x24x=3 成立，而 3x24x 是 43x的 3 倍，所以可以将 243看作一个整体，则 246173x【解】D此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值 221442aa，其中 满足 a22 1=0【分析】 对分式进行化筒结果为 1，如果把 求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把 a22a看成一个整体，则由已知可得 a22 =1，所以原式= 21a【解】原式= 222144a aA当
3、 22 =1 时，原式= 2a【例 2】计算： 1113420834207+【分析】 如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征考虑用“整体替换” 2【解】设： 11234208a+， 1134207b+，则原式= a(1+b)(1+ )b= b= 二、在方程中的应用【例 3】(08 绍兴)若买 2 支圆珠笔、1 本日记本需 4 元；买 1 支圆珠笔、2 本日记本需 5 元，则买 4 支圆珠笔、4 本日记本需_元【分析】 设日记本、圆珠笔的单价分别为 x 元，y 元，根据题意得方程组： 2xy，如果解出 x和 y 再求 4 支圆珠笔、4 本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要
4、将方程的两式相加得3x+3y=9，这样可得 x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为 3，把它作为一个整体直接乘以 4 就能得到答案为 12 元【解】D【例 4】(08 苏州)解方程： 2160x【分析】 直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程【解】 设 1xt，则原方程可化为 2t2+t6=0，解方程得： t1=2， 3t， 13，x 2=2，经检验 13x，x 2=2 是原方程的解三、在几何计算中的应用【例 5】如图A，B，C 两两不相交，且半径都是 05 cm，则图中的阴影部分的面积是 ( )A 12cm2 B 8cm2 C 4cm2 D 6cm2【分析】 由于不能
5、求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180，所以三个扇形的圆心角和为 180，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为 05 cm 的半圆的面积，即 2210.5cm选择 B【答案】B3综合训练1当代数式 a+b 的值为 3 时，代数式 2a+2b+1 的值是 ( )A5 B6 C7 D82用换元法解方程(x 2+x) 2+2(x2+x)1=0，若设 y=x2+x，则原方程可变形为 ( )Ay 2+2y+1=0 By 22y+1=0 Cy 2+2y 1=0 Dy 22y1=03当 x=1 时，代数式 ax3+bx+7 的值为 4，则当 x=l
6、时，代数式 ax3+bx+7 的值为A7 B10 C11 D12 ( )4若方程组 613ykx的解 x，y 满足 045(08 芜湖)已知 1xy，则代数式 214xy的值为_6已知 x22x1=0，且 x0，则 x=_7如果( a2+b2) 22( 2+b2)3=0，那么 a2+b2=_8如图，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需_米9如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7 cm，则正方形 A，B，C，D 的面积之和为_cm 210如图，ABCD 是各边长都大于 2 的四边形，分别以它的顶点为圆心、1 为半径画弧(弧的
7、端点分别在四边形的相邻两边上)，则这 4 条弧长的和是_ 411如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD、EF 均和 x 轴垂直，以 O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F，则图中阴影部分的面积是_12若买铅笔 4 支，日记本 3 本，圆珠笔 2 支共需 10 元，若买铅笔 9 支，日记本 7 本，圆珠笔 5 支共需 25 元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_元13(08 烟台) 已知 x(x1)(x 2y)=3，求 x2+y22xy 的值14(07 泰州)先化简，再求值：2241aa，其中 a是方程 x2+3x+1=0 的根15阅读材料，解答问
8、题为了解方程(x 21) 25(x 21)+4=0我们可以将 x21 视为一个整体，然后设 x21=y，则原方程可化为 y25y+4=0解得 y1=1，y 2=4当 y=1 时，x 21=1， x2=2， ；当y=4 时，x 21=4， x2=5， 5 x， 2， 35， 4解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程的过程中，利用_ 法达到了降次的目的，体现了_的数学思想；(2)用上述方法解方程：x 4x 26=05参考答案1C 2C 3B 4A 54 62 73 82+ 23 949 10 211 12513原题化简得 xy=3， x2+y22xy=(xy) 2=32=914解：原式= 2 211aaa23a是方程 x2+3x+1=0 的根， a2+3 +1=0， a2+3 =1， 原式= 1215(1)换元 整体 (2)设 x2=y 则原方程可化为 y2y6=0 ，解得 y1=3，y 2=20(舍去) 当 y=3 时，x 2=3， 3x原方程的解为 3x
