1、第三部分 技巧分类 3.1 中线倍长法 【例题】求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图， ABC中， AD是 BC边上的中线，求证： AD 21 (AB+AC) 分析：要证明 AD 21 (AB+AC)，就是证明 AB+AC2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用 三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论 AB+AC2AD 中，出现了 2AD，即中线 AD 应该加倍。 证明：延长 AD至 E，使 DE=AD，连 CE，则 AE=2AD。 在 ADB和 EDC中， ADB E
2、DC(SAS) AB=CE 又 在 ACE中， AC+CE AE AC+AB 2AD，即 AD 21 (AB+AC) 小结： (1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线 倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边 AB、 AC和两个角 BAD和 CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 课题练习 : ABC 中， AD是 BAC 的平分线，且 BD=CD，求证 AB=AC AD= DE ADB= EDCBD= DC B CDAECDAB【模型整理】 ABC 中， AD是 BC边中线 方式 1： 延长 AD到 E， 使 DE=AD，连接 BE 方式 2：间接倍长 （ 1） 作
3、CF AD于 F， 作 BE AD的延长线于 E 连接 BE （ 2）延长 MD到 N， 使 DN=MD， 连接 CN DAB CEDAB CFED CBANDCBAM随堂精炼 （ 1） ABC中， AB=5， AC=3，求中线 AD的取值范围 （ 2）已知在 ABC 中， AB=AC， D 在 AB 上， E 在 AC 的延长线上， DE 交 BC 于 F，且 DF=EF，求证： BD=CE （ 3）已知在 ABC中， AD是 BC边上的中线， E 是 AD上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF=EF （ 4）已知：如图，在 ABC 中， ACAB ， D、 E 在
4、BC 上，且 DE=EC，过 D 作BADF/ 交 AE于点 F， DF=AC. 求证： AE平分 BAC （ 5）已知 CD=AB， BDA= BAD， AE是 ABD的中线，求证： C= BAE FEDAB CFECABD第 1 题图 ABFD E CE DAB C课后作业： 1、在四边形 ABCD 中， AB DC， E 为 BC 边的中点， BAE= EAF， AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB与 AF、 CF之间的数量关系，并证明你的结论 2、已知：如图， ABC 中， C=90， CMAB于 M， AT平分 BAC交 CM 于 D，交 BC于 T，过 D作 DE
5、/AB 交 BC于 E，求证： CT=BE. FEAB CDD A B C M T E 3：已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE交 AC于 F，求证： AF=EF 4：已知 CD=AB， BDA= BAD， AE是 ABD的中线，求证： C= BAE 5、在四边形 ABCD 中， AB DC， E 为 BC 边的中点， BAE= EAF， AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB与 AF、 CF之间的数量关系，并证明你的结论 FEDAB CE DAB CFEAB CD 3.2 截长补短法 【例题】已知 ，如图 1-1
6、，在四边形 ABCD中， BC AB， AD=DC， BD平分 ABC. 求证： BAD+ BCD=180 . 分析： 因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现 . 证明： 过点 D作 DE 垂直 BA的延长线于点 E，作 DF BC于点F，如图 1-2 BD平分 ABC， DE=DF， 在 Rt ADE与 Rt CDF中， CDAD DFDE Rt ADE Rt CDF(HL), DAE= DCF. 又 BAD+ DAE=180， BAD+ DCF=180， 即 BAD+ BCD=
7、180 FEDCBA图 1-2 例 1. 如图 2-1， AD BC，点 E在线段 AB上， ADE= CDE， DCE= ECB. 求证： CD=AD+BC. ADBCE图 2-1 例 2. 已知，如图 3-1， 1= 2， P为 BN上一点，且 PD BC于点 D， AB+BC=2BD. 求证： BAP+ BCP=180 . 例 3. 已知：如图 4-1，在 ABC中， C 2 B， 1 2.求证： AB=AC+CD. 作业： 1、已知：如图， ABCD是正方形， FAD= FAE. 求证： BE+DF=AE. AB CDP12N图 3-1 D CBA1 2图 4-1 FEDCBA2、五边
8、形 ABCDE中， AB=AE， BC+DE=CD， ABC+ AED=180，求证： AD 平分CDE 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 【例题】： 如图 1：已知 AD 为 ABC 的中线，且 1 2, 3 4,求证： BECF EF。 AB CDE FN1图1 2 3 4CEDBA 3.3 手拉手模型 【例题】 两个等腰三角形 ABD 与 BCE ，其中 BDAB , ,EBCB C BEABD ,连结 AE 与 CD ， 问：（ 1） DBCABE 是否成立？ （ 2） AE 是否与 CD 相等？ （ 3） AE 与 CD 之间的夹角为 多少度？ （ 4） HB 是否平分 AHC ？ 拓展： 在凸四边形 ABCD 中， 60ABC ， AB BC ， 30ADC 。 证明： 2 2 2AD CD BD。 CDAB
