1、2019 届高三模拟考试试卷(九)数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)2019.1一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1. 已知集合 M2，1，0，N ，则 MN .x|（12）x2)2. 若 i 是虚数单位，且复数 z 满足(1i)z2，则|z| .3. 底面半径为 1，母线长为 3 的圆锥的体积是 .4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有 50 名、40 名、40 名.现用分层抽样的方法在这 130 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了 8 名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 .5. 根据如图所示的伪代码，已知
2、输出值 y 为 3，则输入值 x 为 .Read xIf x0 Thenysin xElseyx 21End IfPrint y6. 甲、乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字 1，2，3，乙的卡片分别标有数字0，1，3.两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为 a，乙抽出卡片的数字记为 b，则a 与 b 的积为奇数的概率为 .7. 若直线 l1：x 2y 40 与 l2：mx4y30 平行，则两平行直线 l1，l 2 间的距离为 .8. 已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S37，S 663 ，则 a1 .9. 已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 x2y0，则该双曲
3、线的离x2a2 y2b2心率为 . 10. 已知直线 l：yx4 与圆 C：(x2) 2(y1) 21 相交于 P，Q 两点，则 . CP CQ 11. 已知正实数 x，y 满足 x4y xy 0，若 xym 恒成立，则实数 m 的取值范围是 .12. 设 a，b 是非零实数，且满足 tan ，则 .asin 7 bcos 7acos 7 bsin 7 1021 ba13. 已知函数 f(x)a3 |x a|有且仅有三个零点，且这三个零点构成等差数列，4x则实数 a 的值为 .14. 若存在正实数 x，y ，z 满足 3y23z 210yz ，且 ln xln z ，则 的最小值为 eyz x
4、y.二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)cos 2x2 sin xcos xsin 2x，x R .3(1) 求函数 f(x)的单调增区间；(2) 求方程 f(x)0 在(0 ，内的所有解.16.(本小题满分 14 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，四边形 AA1B1B 为矩形，平面 AA1B1B平面 ABC，点E，F 分别是侧面 AA1B1B，BB 1C1C 对角线的交点.求证：(1) EF平面 ABC；(2) BB1AC.17. (本小题满分 14 分)为了美化环境，某
5、公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ABCD.其中 AB3 百米，AD 百米，且BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三5角形.拟修建两条小路 AC，BD( 路的宽度忽略不计) ，设 BAD ， ( ，). 2(1) 当 cos 时，求小路 AC 的长度；55(2) 当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度.18.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系中，椭圆 M： 1( ab0)的离心率为 ，左、右顶点分別为x2a2 y2b2 12A，B ，线段 AB 的长为 4.点 P 在椭圆 M 上且位于第一象限，过点 A，B 分别作l1PA ， l2P
6、B，直线 l1，l 2 交于点 C.(1) 若点 C 的横坐标为1，求点 P 的坐标；(2) 设直线 l1 与椭圆 M 的另一交点为 Q，且 ，求 的取值范围.AC AQ 19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)(3x)e x，g(x)xa(aR ).(e 是自然对数的底数， e2.718)(1) 求函数 f(x)的极值；(2) 若函数 yf(x )g(x)在区间 1，2上单调递增，求 a 的取值范围；(3) 若函数 h(x) 在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，并且 h(x)f（x） g（x）x的极大值小于整数 b，求 b 的最小值.20. (本小题满分 16 分)记无穷数列
7、a n的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 bn ，数列 an的前Mn mn2n 项和为 An，数列b n的前 n 项和为 Bn.(1) 若数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求 Bn；(2) 若数列b n是等差数列，试问数列 an是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；(3) 若 bn2 n100n，求 An.2019 届高三模拟考试试卷(九)数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. (本小题满分 10 分)已知矩阵 A ，满足 A ，求矩阵 A 的特征值.a1b2 13 6822.(本小题满分 10 分)在直角坐标系 xOy 中，直
8、线 l 的参数方程为 (t 为参数).在极坐标系中(与直角x 2t，y 2 t)坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，极轴与 x 轴的非负半轴重合)，圆 C 的方程为 4 cos( )，求直线 l 被圆 C 截得的弦长.2 423. (本小题满分 10 分)如图，将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使得平面 ABD平面 CBD，已知 AE平面 ABD.(1) 若 AE ，求直线 DE 与直线 BC 所成角；2(2) 若二面角 ABED 的大小为 ，求 AE 的长度. 324.(本小题满分 10 分)已知直线 x2 上有一动点 Q，过点 Q 作直线 l1 垂
9、直于 y 轴，动点 P 在 l1 上，且满足 0( O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C.OP OQ (1) 求曲线 C 的方程；(2) 已知定点 M( ，0) ，N ( ，0)，点 A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于另一12 12点 B，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求MBD 的内切圆半径 r 的取值范围.2019 届高三模拟考试试卷(九)(扬州)数学参考答案及评分标准1. 2 2. 3. 4. 10 5. 2 6. 7. 8. 1 9. 10. 0 11. m9 2223 49 52 5212. 13. 或1 14. e 23116
10、33215. 解：f(x) cos 2x2 sin xcos xsin 2 x sin 2xcos 2x2sin(2x ).(4 分)3 3 6(1) 由 2k2 2k，kZ ，解得 k x k，kZ， 2 6 2 3 6 函数 f(x)的单调增区间为 k， k，kZ.(8 分) 3 6(2) 由 f(x)0 得 2sin(2x )0，解得 2x k，即 x ，kZ. 6 6 12 k2 x(0 ， ， x 或 x .(14 分)512 111216. 证明：(1) 三棱柱 ABCA1B1C1， 四边形 AA1B1B，四边形 BB1C1C 均为平行四边形. E，F 分别是侧面 AA1B1B，
11、BB1C1C 对角线的交点， E，F 分别是 AB1，CB 1 的中点， EFAC.(4 分 ) EF平面 ABC，AC平面 ABC， EF 平面 ABC.(8 分 )(2) 四边形 AA1B1B 为矩形， BB 1AB . 平面 AA1B1B平面 ABC，BB 1平面 ABB1A1，平面 ABB1A1平面 ABCAB， BB 1平面 ABC.(12 分) AC平面 ABC， BB 1AC.(14 分)17. 解：(1) 在ABD 中，由 BD2AB 2AD 22AB ADcos ，得 BD2146 cos .5又 cos ， BD2 .(2 分)55 5 ( ，)， sin . 2 1 co
12、s2 1 （ 55）2 25由 ，得 ，解得 sinADB .BDsin BAD ABsin ADB 2525 3sin ADB 35 BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形， CDB 且 CDBD 2 ， 2 5 cosADCcos( ADB )sin ADB .(5 分) 2 35在ACD 中，AC 2AD 2DC 22AD DCcosADC( )2(2 )22 2 ( )5 5 5 53537，解得 AC .(7 分)37(2) 由(1)得 BD2146 cos ，5S 四边形 ABCDS ABD S BCD 3 sin BD212 5 127 sin 3 cos 7 (sin 2
13、cos )7 sin()，此时 sin 352 5 352 152， cos ，且 (0， ).(10 分)25 15 2当 时，四边形 ABCD 的面积最大，即 ，此时 sin ，cos 2 2 15，25 BD 2146 cos 146 ( )26， 即 BD .(13 分)5 525 26答：当 cos 时，小路 AC 的长度为 百米；草坪 ABCD 的面积最大时，小路55 37BD 的长度为 百米.(14 分 )2618. 解：由题意得 解得 b 2a 2c 23，ca 12，2a 4， ) c 1，a 2， ) 椭圆 M 的方程是 1 且 A(2，0)，B(2，0).(3 分)x24
14、 y23(解法 1)(1) 设 P(x0，y 0)，k PA ， l1PA ， 直线 AC 的方程为y0x0 2y (x2)，x0 2y0同理，直线 BC 的方程为 y (x2).x0 2y0联立方程 解得y x0 2y0 （x 2），y x0 2y0 （x 2）， ) y0， 点 C 的坐标为( x 0， y0).(6 分)43 43 点 C 的横坐标为1， x01. P 为椭圆 M 上第一象限内一点， y 0 .32 点 P 的坐标为(1， ).(8 分 )32(2) 设 Q(xQ，y Q)， ， 解得 AC AQ x0 2 （xQ 2）， 43y0 yQ， ) xQ x0 2 2，yQ
15、43y0. ) 点 Q 在椭圆 M 上， ( 2) 2 ( y0)21.14 x0 2 13 43又 y 3(1 )，20整理得 7x 36( 1)x 0721000，解得 x02 或 x0 .(14 分)2036 507 P 为椭圆 M 上第一象限内一点， 0 2，解得 .(16 分)36 507 2518 169(解法 2)(1) 设直线 AP 的斜率为 k，P(x 0，y 0)， P 为椭圆 M 上第一象限内一点， 0k .32 k APkBP ， 直线 BP 的斜率为 .y0x0 2 y0x0 2 34 34k联立方程 解得 即 P( ， ).y k（x 2），y 34k（x 2），
16、) x 6 8k24k2 3，y 12k4k2 3， ) 6 8k24k2 3 12k4k2 3 l 1PA， kAC ，则直线 AC 的方程为 y (x 2).1k 1k l 2PB， kBC k，则直线 BC 的方程为 y k(x2).43 43由 得 即 C( ， ).(6 分)y 1k（x 2），y 43k（x 2）， ) x 8k2 64k2 3，y 16k4k2 3， ) 8k2 64k2 3 16k4k2 3 点 C 的横坐标为1， 1，解得 k .8k2 64k2 3 12 0k ， k ， 点 P 的坐标为(1 ， ).(8 分)32 12 32(2) 设 Q(xQ，y Q)
17、，C(x C，y C)，又直线 AC 的方程为 y (x2).1k联立方程 得 (3k24)x 216x1612k 20，y 1k（x 2），x24 y23 1， ) 2x Q ，解得 xQ .16 12k23k2 4 6k2 83k2 4 ， 1 .(14 分)AC AQ xC 2xQ 28k2 64k2 3 26k2 83k2 4 2 16k2（3k2 4）12k2（4k2 3） 712k2 9 0k ， ( ， ).(16 分)32 2518 16919. 解：(1) f(x)(3 x )ex，f (x)(2x)e x，令 f(x)0，解得 x2，列表：x (，2) 2 (2，)f(x)
18、 0 f(x) 极大值 当 x2 时，函数 f(x)取得极大值 f(2)e 2，无极小值.(3 分)(2) 由 yf(x)g(x)(3 x )(xa)e x，得 ye xx 2(3 a)x3a2x(3 a)e xx 2(1 a)x2a3. e x0，令 m(x)x 2(1 a)x2a3， 函数 yf(x )g(x)在区间1，2上单调递增等价于对任意的 x1 ，2，函数 m(x)0恒成立， 解得 a 3.(8 分)m（1） 0，m（2） 0， )(3) h(x) ，h(x) .f（x） g（x）x （3 x）ex x ax ex（ x2 3x 3） ax2令 r(x) ex(x 23x 3)a，
19、 h(x)在(0 ，) 上既存在极大值又存在极小值， h( x)0 在(0，) 上有两个不等实根，即 r(x) ex(x 23x 3)a0 在(0，) 上有两个不等实根 x1，x 2(x1x 2).(10 分) r(x)e x(x 23x 32x 3) e x(x 2x)x(1x)e x. 当 x(0，1)时，r(x)0，r(x)单调递增，当 x(1，) 时，r(x)0，r( x)单调递减，则 0x 11， 解得3ae， r( ) e a e 30.r（0） 0，r（ 1） 0， ) 32 34323432 r(x)在 (0，)上连续且 r(0)r(1)0，r(1) r( )0，32 r(x)
20、 0 在(0，1)和(1， )上各有一个实根，32 函数 h(x)在(0，) 上既存在极大值又存在极小值时，有3ae，并且在区间(0，1)上存在极小值 f(x1)，在区间(1， )上存在极大值 f(x2).32 h(x 2) ，且 h(x2) 0，（3 x2）ex2 x2 ax2aex 2(x 3 x23)，h( x2) ex 2(2x 2)1.(13 分)2令 H(x)e x(2x )，H(x ) ex(1x)，当 x(1 ，)时，H( x)0，H( x)单调递减. x 2(1 ， )， h(x 2)h(1)e14.32 h(x)的极大值小于整数 b， 满足题意的整数 b 的最小值为 4.(
21、16 分)20. 解：(1) 数列a n是首项为 2，公比为 2 的等比数列， an2 n， mn2，M na n2 n，则 bn 12 n1 ， B nn 12 n1n.(4 分)2 2n2 1 2n1 2(2) (解法 1)若数列b n是等差数列，设其公差为 d， b nb n1 d，Mn mn2 Mn 1 mn 12 Mn Mn 12 mn mn 12根据 Mn，m n的定义，有以下结论：MnM n1 ，m nm n1 ，且两个不等式中至少有一个取等号.(6 分) 若 d0，则必有 MnM n1 ， anM nM n1 a n1 ，即对 n2，nN *，都有ana n1 ， Mna n，
22、m na 1，b nb n1 Mn mn2 Mn 1 mn 12 an a12 an 1 a12d ，an an 12 a na n1 2d，即a n为等差数列； 当 d0 时，则必有 mnm n1 ，所以 anm nm n1 a n1 ，即对 n2，nN *，都有 ana n1 ， Mna 1，m na n，b nb n1 Mn mn2 Mn 1 mn 12 a1 an2 a1 an 12d ，an an 12 a na n1 2d，即a n为等差数列； 当 d0 时，b nb n1 0.Mn mn2 Mn 1 mn 12 Mn Mn 12 mn mn 12 M nM n1 ，m nm n1
23、 中必有一个为 0， 根据上式，一个为 0，则另一个亦为 0，即 MnM n1 ，m nm n1 ， a n为常数数列， a n为等差数列.综上，数列a n也一定是等差数列.(10 分)(解法 2)若数列 bn是等差数列，设通项公式为 bnpnq(p，qR )，则 bn1 b np.对于数列a n：a 1，a 2，a n，增加 an1 时，有下列情况： 若 an1 M n，则 Mn1 a n1 ，m n1 m n，此时 an1 M n1 M na n， a n1 a n对 nN *恒成立，则 Mna n，m n1 m na 1， b n1 b n p，Mn 1 mn 12 Mn mn2 an
24、1 a12 an a12 an 1 an2即 an1 a n2p 为常数，则数列a n是等差数列.(7 分) 若 mna n1 M n，则 Mn1 M n，m n1 m n， b n1 b n. 数列b n是等差数列且 bnpnq， p0，b nq， M n1 M nM n1 M 1a 1q，m n1 m nm n1 m 1a 1q， qa n1 q，即 anq，即a n为常数数列， 数列a n是公差为 0 的等差数列. 若 an1 m n，则 Mn1 M n，m n1 a n1 ，此时 an1 m n1 m na n， a n1 a n对 nN *恒成立，则 Mn1 M na 1，m na
25、n， b n1 b n p，Mn 1 mn 12 Mn mn2 a1 an 12 a1 an2 an 1 an2即 an1 a n2p 为常数，则数列a n是等差数列.(10 分)(3) b n1 b n2 n1 100(n1)(2 n100n)2 n100， 当 n7 时，b n1 b n0，即 b1b 2b 6b 7，当 n7 时，b n1 b n0，即 b7b 8b 9以下证明：a 1a 2a 6a 7，a 7a 8a 9当 n7 时，若 mna n1 M n，则 Mn1 M n，m n1 m n， b n1 b n，不合题意；若 an1 M n，则 Mn1 a n1 ，m n1 m n
26、，则 ，得 bnb n1 ，Mn mn2 Mn 1 mn 12与 bnb n1 矛盾，不合题意； a n1 m na n，即 a1a 2 a 6a 7；同理可证：a 7a 8a 9，即当 n7，nN *时，a na n1 . 当 n7 时，M na 1，m na n， b n ， a n 2bna 1，a 1b 198.a1 an2 b n2 n100n， a n2 n1 200n98， A n 200 98n2 n2 100n 22n4.(13 分)4（1 2n）1 2 n（n 1）2 当 n7 时，a 1a 2a 6a 7，且 a7a 8a 9 mn a72 82007981 046，则
27、Mn为 a1 或 an.若 Mn为 a1，则 bn为常数，与题意不符， M na n， b n ， a n2b na 72 n1 200n1 046，an a72 AnA 7a 8a 9a n2 94 900144 200 1 046(n7)2 n2 100n 2946n6 29（1 2n 7）1 2 （n 8）（n 7）2640， A n nN *.(16 分)2n 2 100n2 2n 4， n 7，2n 2 100n2 946n 6 640， n 8， )2019 届高三模拟考试试卷(九)(扬州)数学附加题参考答案及评分标准21. 解： A ， (5 分 )13 a1b213 a 3b
28、6 68 a 3，b 2.)矩阵 A 的特征多项式为 f() ( 3)( 2)2 2540，| 3 1 2 2|令 f()0，解得矩阵 A 的特征值为 1 或 4.(10 分)22. 解：将直线 l 的参数方程 (t 为参数) 化为方程得 x2y40.(2 分)x 2t，y 2 t)圆 C 的方程为 4 cos( )化为直角坐标系方程，得 24(cos sin )，2 4即 x2y 24x 4y0，(x2) 2(y2) 28，其圆心(2 ，2) ，半径为 2 .(5 分)2 圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，|2 4 4|5 25 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 .(10 分)（22
29、）2 （25）2 125523. 解： 正方形 ABCD 边长为 2， ABAD，CBCD，ABAD CD BC2.又 AE平面 ABD， 以点 A 为原点，AB ，AD，AE 所在直线为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系 .作 CFBD，垂足为 F， 平面 ABD平面 CBD，CF 平面 CBD，平面 ABD平面 CBDBD， CF平面 ABD. CBCD2， 点 F 为 BD 的中点，CF .(2 分)2(1) AE ，2 E(0，0， )，B (2，0，0)，D(0 ，2，0)，F(1 ，1，0)，C(1，1， )，2 2 (0，2， )， (1，1， )， 0，DE 2 BC 2 D
30、E BC ， 直线 DE 与直线 BC 所成角为 .(5 分)DE BC 2(2) 设 AE 的长度为 a(a0)，则 E(0，0，a). AD平面 ABE， 平面 ABE 的一个法向量为 n1(0，1，0).(6 分)设平面 BDE 的法向量为 n2(x 1，y 1，z 1)，又 ( 2，0，a)， ( 2，2，0)，BE BD n2 ， n2 ， 解得 取 z12，则BE BD n2BE 2x1 az1 0，n2BD 2x1 2y1 0， ) x1a2z1，x1 y1， )x1y 1a， 平面 BDE 的一个法向量为 n2(a，a，2).(8 分) cosn 1，n 2 .n1n2|n1|
31、n2| aa2 a2 41 a2a2 4 二面角 ABED 的大小为 ， ，解得 a ， 3 a2a2 4 12 2 AE 的长度为 .(10 分)224. 解：(1) 设点 P(x，y)，则 Q(2，y)， ( x，y )， (2，y ).OP OQ 0， 2xy 20，即 y22x.(2 分)OP OQ OP OQ (2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)， D(x3，y 3)，直线 BD 与 x 轴交点为 E，内切圆与 AB 的切点为 T.设直线 AM 的方程为 yk (x )，则联立方程 得 k2x2( k22)x 0，12 y k（x 12），y2 2x， ) k24 x
32、 1x2 且 0x 1x 2， x 1 x 2， 直线 AN 的方程为 y (x ).14 12 y1x1 12 12与方程 y22x 联立得 y x2(y 2x 2x 1 )x y 0 ，化简得 2x1x2(2x )21 21 2112 1421 21 12x x10，解得 x 或 xx 1. x 3 x 2， BD x 轴.12 14x1 14x1设MBD 的内切圆圆心为 H，则 H 在 x 轴上且 HTAB.(5 分)(解法 1) S MBD (x2 )|y2|，且MBD 的周长为 2 2|y 2|，12 12 （x2 12）2 y2 S MBD 2 2|y 2|r (x2 )|y2|，
33、12 （x2 12）2 y2 12 12 r .(8 分)112x1 1（x2 12）2 1x2 12(解法 2)设 H(x2r，0)，直线 BD 的方程为 xx 2，其中 y 2x 2.2直线 AM 的方程为 y (x )，即 y2x(x 2 )y y20，且点 H 与点 O 在直线y2x2 12 12 12 12AB 的同侧， r ，解得 r .(8 分)112x2 1（x2 12）2 1x2 12(解法 3) MTHMEB， ，即 ，解得 rMHMB HTBE r|y2| .(8 分)x2 12（x2 12）22x2 1 1112x2 1（x2 12）2 1x2 12令 tx 2 ，则 t1，12 r 在(1 ，)上单调递增，则 r ，即 r 的取值范围是112t 1 1t2 1t 12 1( 1，).(10 分)2
