1、复杂网络基础理论 第二章网络拓扑结构与静态特征第二章网络拓扑结构与静态特征 l 2.1 引言 l 2.2 网络的基本静态几何特征 l 2.3 无向网络的静态特征 l 2.4 有向网络的静态特征 2.5 l 2.5 加权网络的静态特征 l 2.6 网络的其他静态特征 l 2.7 复杂网络分析软件 22.1 引言 与图论的研究有所不同，复杂网络的研究更侧重 于从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何 量，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进 而通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一 般方法 ， 最后讨论网络本身的形成机制 。 般方法 ， 最后讨论网络本身的形成机制 。 统计物理学在
2、模型研究、演化机制与结构稳 定 性 方 面 的 丰富 的研究 经验是 统计物理学在复杂网络研究 领域得到广泛应 用的 原因； 而图论与 社会 网络分析 提 供 的网络静态几何量 及 其分析方法 是 复杂网络研究的 基 础 。 32.1 引言 静态特征指 给定 网络的 微观 量的统计分 布或宏观 统计 平均值 。 在本 章中我们将对 网络的各种静态特征 做 一 小 结 。 由 于有向网络与加权网络有其特有的特征量 ， 我们 。 由 于有向网络与加权网络有其特有的特征量 ， 我们 将 分 开 讨论无向、有向与加权网络。 4 返回目录2.2 网络的基本静态几何特征 2.2.1 平均距离 2.2.2
3、集聚系数 2.2.3 度 分 布 2.2.4 实际网络的统计特征 52.2.1 平均距离 1.网络的 直径 与 平均距离 网络 中 的 两节点 v i 和 v j 之 间经历边数 最 少 的一 条简 单路径（经历 的 边 各不 相 同 ） ， 称为测地线 。 测地线 的 边数 d ij 称为两节点 v i 和 v j 之 间 的 距离（或 叫测地线距离 ） 。 叫测地线距离 ） 。 1 d ij 称为节点 v i 和 v j 之 间 的 效率 ， 记为 ij 。通 常 效率 用 来度 量 节点间 的 信息传递速度 。 当 v i 和 v j 之 间没 有 路径连 通 时 ， d ij ，而 i
4、j 0，所 以效率 更 适合度 量 非全 通网络。 网络的 直径 D定义为 所有 距离 d ij 中 的最 大值 62.2.1 平均距离 平均距离（ 特征 路径 长 度） L定义为 所有 节点对 之 间距离 的 平均值 ， 它描述了 网络 中节点间 的 平均 分 离 程 度 ， 即 网络有多 小 ，计 算公式 为 对 于无向 简单 图 来 说 ， d ij d ji 且 d ii 0， 则 上 式可 简 化 为 很 多实际网络 虽然 节点数 巨 大 ， 但 平均距离 却 小 得 惊人 ，这 就 是 所 谓 的 小 世界 效应 。 72.2.1 平均距离 2.距离 与 邻接矩阵 的 关 系 定义
5、 l 1 对 于无权 简单 图 来 说 ， 当 l 1时 ， 。 容易证明 无 权 简单 图 邻接矩阵 A的 l次幂 A l 的 元素表示 节点 v i 和 v j 之 间 通过 l条边连 接 的 路径数 。 当 l 2时 ， 容易推 出 式 中 ， U表示 单 位 指 示函 数 ， 即 当 x 0， U（ x） 1； 否则 U（ x） 0。 当 i j时 ， ij 1； 否则 ij 0。 82.2.1 平均距离 容易 用 数 学 归纳 法 证明 据此 ， 若 D为 网络 直径 ， 则 两节点 v i 和 v j 之 间 的 距离 d ij 可 以 表示 为 92.2.2 集聚系数 首先 来
6、看 节点 的 集聚系数定义 。 假设 节点 v i 与 k i 个 节点直 接 连 接 ， 那么 对 于无向网络 来 说 ，这 k i 个 节点间 可能存 在的最 大边数为 k i （ k i 1） 2，而实际 存 在的 边数为 M i ， 由 此 我们定义 C i 2M i k i （ k i 1） 为节点 v i 的 集聚系数 。 为节点 v i 的 集聚系数 。 对 于有向网络 来 说 ，这 k i 个 节点间 可能存 在的最 大 弧 数为 k i （ k i 1） ， 此 时 v i 的 集聚系数 C i M i k i （ k i 1） 。 将 该 集聚系数对 整个 网络 作 平均
7、， 可 得 网络的 平 均集聚系数为 102.2.2 集聚系数 显然 ， 0 C 1。 当 C 0，所有 节点 都 是 孤立 节点 ， 没 有 边连 接 。 当 C 1时 ，网络 为 所有 节点两两 之 间 都 有 边连 接 的 完 全 图。 对 于 完 全 随 机网络 来 说 ， 当节 点数 很 大时 ， C O（ 1 N） 。而 许 多 大 规 模的实际网 络的 集聚系数 通 常 远 小 于 1而 大 于 O（ 1 N)。 对 于 社 络的 集聚系数 通 常 远 小 于 1而 大 于 O（ 1 N)。 对 于 社 会 网络 来 说 ，通 常 随着 N ， 集聚系数 C O（ 1） ， 即趋
8、 向一 个 非 零 常数 。 节点 v i 的 集聚系数 也可 定义为 C i N i N i 。 式 中 N i代表 与 节点 v i 相连 的 “三角 形 ” 数 目 ， 数值 上 就等 于 M i ； N i 代表 与 节点 v i 相连 的 “三元组” 数 目 ， 即 节 点 v i 与其 它 两 个 节点 都 有 连 接 ， 即“至 少 与其他 两 个 分 别认识” ， 数值 上 就等 于 k i （ k i 1） 2。 112.2.2 集聚系数 如 何 根据 无向无权 简单 图的 邻接矩阵 A来 求 节点 v i 的 集聚系数 C i ？ 显然 ， 邻接矩阵 二 次幂 A 2 的
9、对 角元素表示 的 是 与 节点 v i 相连 的 边数 ， 也就 是节点 v i 的 度 k i 。而 邻接矩 阵三次幂 A 3 的 对 角元素 （ a ij a jl a li ）（ j l） 表示 阵三次幂 A 3 的 对 角元素 （ a ij a jl a li ）（ j l） 表示 的 是 从 节点 v i 出发 经 过 三 条边 回 到节点 v i 的 路径数 ， 也 就 是 与 节点 v i 相连 的 三角 形 数 的 两 倍 （ 正 向 走 和 反 向 走 ） 。 因 此 ， 由集聚系数 的 定义 可 知 122.2.2 集聚系数 【 例 2.1】 计 算 下 面简单 网络的
10、直径 、 平均距离和 各 节 点 的 集聚系数 。 解： 首先 计 算 出所有 节点对 的 距离 ： d 12 1； d 13 1； d 14 2； d 15 1； d 16 2； d 23 1； d 24 1； d 25 2； d 26 2； d 34 2； d 35 2； d 36 1； d 45 3； d 46 1； d 56 3。 由 此可 得直径和平均距离为 132.2.2 集聚系数 下 面以节点 v 1 的 集聚系数 计 算 为 例：采 用 第 一种 定 义 可 知 ， 节点 v 1 与 3个 节点直 接 连 接 ，而这 3个 节点 之 间 可能存 在的最 大边数为 3（ 3 1）
11、 2，而实际 存 在 的 边数为 1， 由 此可 得 C 1 2 3（ 3 1） 1 3 。 若 采 用 第二 种 定义 可 知： 与 相连 的 三角 形 数为 N 1 ，而与 v 1 相连 的 三元组 数为 N 1 3， 故 C 1 1 3 。 也可 以 利 用 式 计 算 ， 因为 邻接矩阵 A的 前 三次幂 为 142.2.2 集聚系数 故 2， 3，从而 同理 可 得 其他各 节点 的 集聚系数为 C 2 1 3； C 3 1 3； C 4 0； C 5 0； C 6 0 由 此很容易算 出 该 网络的 集聚系数 152.2.3 度分布 1.节点 的 度 在网络 中 ， 节点 v i
12、的 邻 边数 k i 称为 该 节点 v i 的 度 。 对 网络 中 所有 节点 的 度 求 平均 ， 可 得到 网络的 平 均度 k 无向无权图 邻接矩阵 A的 二 次幂 A 2 的 对 角元素 就 是节点 v i 的 邻 边数 ， 即 。实际上，无向无权图 邻接矩阵 A的 第 i行 或 第 i列 元素 之 和 也 是度 。从而无向 无权网络的 平均度 就 是 A 2 对 角 线 元素 之 和 除 以节点数 ， 即 k tr（ A 2 ） N。 式 中 ， tr（ A 2 ） 表示矩阵 A 2 的 迹 ， 即 对 角 线 元素 之 和 。 162.2.3 度分布 2.度 分 布 大 多 数
13、 实际网络 中 的 节点 的 度是 满足 一 定 的 概 率 分 布 的。 定义 P（ k）为 网络 中度为 k的 节点 在 整个 网络 中 所 占 的 比 率 。 规则 网络 ： 由 于 每 个 节点 具有 相 同的 度 ，所 以 其 度 分 布集中 在一 个 单 一 尖峰 上 ， 是 一种 Delta分 布 。 度 分 布集中 在一 个 单 一 尖峰 上 ， 是 一种 Delta分 布 。 完 全 随 机网络 ： 度 分 布 具有 Poisson分 布 的形 式 ， 每 一 条边 的出现 概 率是相 等 的， 大 多 数节点 的 度是 基 本 相 同的，并 接 近 于网络 平均度 k ，
14、远 离 峰 值 k ， 度 分 布 则 按 指 数 形 式 急剧下降 。 把 这 类 网络 称为 均 匀 网络。 无 标 度 网络 ： 具有 幂 指 数 形 式 的 度 分 布 ： P（ k） k 。所 谓 无 标 度是 指一 个 概 率 分 布 函 数 F（ x）对 于 172.2.3 度分布 任意 给定常数 a存 在 常数 b使 得 F（ x） 满足 F（ ax） bF（ x） 。 幂 律 分 布是 唯 一 满足 无 标 度条 件的 概 率 分 布 函 数 。 许 多实际 大 规 模无 标 度 网络，其 幂 指 数 通 常为 2 3， 绝 大 多 数节点 的 度相对 很 低 ， 也存 在
15、少 量 度值 相对 很 高 的 节点 （ 称为 hub） ， 把 这 类 网络 称为 非 均 匀 相对 很 高 的 节点 （ 称为 hub） ， 把 这 类 网络 称为 非 均 匀 网络。 指 数度 分 布 网络 ： P（ k） e k/ ， 式 中 0为 一 常数 。 182.2.3 度分布 3.累积 度 分 布 可 以 用 累积 度 分 布 函 数来 描述 度 的分 布 情况 ， 它 与 度 分 布 的 关 系为 它表示 度 不 小 于 k的 节点 的 概 率 分 布 。 若 度 分 布为 幂 律 分 布 ， 即 P（ k） k ， 则 相应 的 累积 度 分 布 函 数 符 合 幂 指
16、数为 1的 幂 律 分 布 若 度 分 布为 指 数 分 布 ， 即 P（ k） e k/， 则 相应 的 累积 度 分 布 函 数 符 合 同指 数 的指 数 分 布 192.2.4 实际网络的统计特征 20 返回目录2.3 无向网络的静态特征 2.3.1 联 合度 分 布和度 度相 关 性 2.3.2 集聚系数 分 布和聚 度相 关 性 2.3.3 2.3.3 介 数和 核 度 2.3.4 中 心 性 2.3.5 网络 密 度 2.3.6 连 通 集 团 （ 子 图 ）及 其 规 模分 布 212.3.1 联合度分布和度度相关性 1.联 合度 分 布 度 分 布 满足 平均度 与 度 分
17、布 具有 关 系 式 联 合度 分 布定义为 从无向网络 中 随 机 选择 一 条边 ， 该 边 的 两 个 节点 的 度值 分 别 为 k 1 和 k 2 的 概 率 ， 即 ， 该 边 的 两 个 节点 的 度值 分 别 为 k 1 和 k 2 的 概 率 ， 即 式 中 ， M（ k 1 ， k 2 ）为度值为 k 1 的 节点和度值为 k 2 的 节 点相连 的 总 边数 ， M为 网络 总 边数 。 从 联 合度 分 布 可 以得 出 度 分 布 式 中 ， 1（ k k 2 ）； 0（ kk 2 ）。 222.3.1 联合度分布和度度相关性 联 合节点度 分 布 所 包含 的 拓扑
18、 信息 最多， 节点度 分 布 次 之， 平均节点度 最 少 。 2.基于最 近 邻 平均度值 的 度 度相 关 性 度 度相 关 性 描述了 网络 中度大 的 节点和度小 的 节点 之 间 的 关 系 。 若 度大 的 节点 倾 向于 和度大 的 节点 节点 之 间 的 关 系 。 若 度大 的 节点 倾 向于 和度大 的 节点 连 接 ， 则 网络 是度 度 正 相 关 的 ； 反 之， 若 度大 的 节 点 倾 向于 和度小 的 节点连 接 ， 则 网络 是度 度 负 相 关 的。 节点 v i 的最 近 邻 平均度值定义为 式 中 ， k i 表示 节点 v i 的 度值 ， a ij
19、 为 邻接矩阵元素 。 232.3.1 联合度分布和度度相关性 所有 度值为 k的 节点 的最 近 邻 平均度值 的 平均值 k nn （ k）定义为 式 中 ， N为节点 总 数 ， P（ k）为度 分 布 函 数 。 如 果 k （ k） 是 随着 k上 升 的 增 函 数 ， 则说明 度值 如 果 k nn （ k） 是 随着 k上 升 的 增 函 数 ， 则说明 度值 大 的 节点 倾 向于 和度值大 的 节点连 接 ，网络具有 正 相 关 特性， 称 之 为 同 配 网络 ； 反 之网络具有 负 相 关 特性 ， 称 之 为 异配 网络。 3.基于 Pearson相 关 系数 的 度
20、 度相 关 性 Newman利 用 边两 端 节点 的 度 的 Pearson相 关 系数 r来 描述 网络的 度 度相 关 性，具体 定义为 242.3.1 联合度分布和度度相关性 k k e v v M 式 中 ， k i ， k j 分 别表示 边 e ij 的 两 个 节点 v i ， v j 的 度 ， M 表示 网络的 总 边数 。 容易证明 度 度相 关 系数 r的 范围 为 ： 0 |r| 1。 当 r0时 ，网络 是 正 相 关 的 ；当 r 0时 ，网络 是 不 相 关 的。 252.3.2 集聚系数分布和聚度相关性 1.集聚系数 分 布 集聚系数 分 布 函 数 P（ C
21、） 表示 从网络 中 任选 一 节 点 ，其 集聚系数值为 C的 概 率 式 中 ， （ x） 为单 位 冲激 函 数 。 式 中 ， （ x） 为单 位 冲激 函 数 。 2.聚 度相 关 性 局部 集聚系数 C（ k）定义为度为 k的 节点 的 邻 居 之 间 存 在的 平均边数 M nn （ k） 与这些 邻 居 之 间 存 在 的最 大 可能 的 边数 的 比 值 ， 即 262.3.2 集聚系数分布和聚度相关性 全 局 集聚系数 C则 定义为 式 中 ， k 2 为度 的 二阶 矩 。 C k k 显然 ， 局部 集聚系数 C（ k） 与 k的 关 系 刻画 了 网络 的 聚 度相
22、关 性。 许 多 真 实网络 如 好莱坞电影 演 员 合 作 网络、 语 义 网络 中节点 的 聚 度相 关 性 存 在 近 似 的 倒 数 关 系 C（ k） k 1 。 把 这种 倒 数 关 系 的 聚 度相 关 性 称为 层 次 性， 把 具有 层 次 性的网络 称为 层 次 网络。 272.3.3 介数和核度 1.介 数 要衡 量一 个 节点 的重 要 性，其 度值当 然可 以 作 为 一 个 衡 量指 标 ， 但 又 不 尽 然 ， 例 如 在 社会 网络 中 ，有 的 节点 的 度 虽然很 小 ， 但它可能 是两 个 社 团 的 中间 联 络 人 ， 如 果 去掉 该 节点 ， 那
23、么就 会 导 致 两 个 社 团 的 联 络 人 ， 如 果 去掉 该 节点 ， 那么就 会 导 致 两 个 社 团 的 联 系中 断 ， 因 此该 节点 在网络 中 起 到 极 其重 要 的 作 用。 对 于这 样 的 节点 ， 需要 定义 另 一种 衡 量指 标 ，这 就 引 出网络的 另 一种重 要 的 全 局 几何量 介 数 。 介 数 分 为节点 介 数和边 介 数两 种， 反 映 了 节点或 边 在 整个 网络 中 的 作 用 和 影 响力 。 282.3.3 介数和核度 节点 的 介 数 B i 定义为 式 中 ， N jl 表示 节点 v j 和 v l 之 间 的最 短 路径
24、条数 ， N jl （ i ） 表示 节点 v和 v之 间 的最 短 路径 经 过 节点 v的 条数 。 ） 表示 节点 v j 和 v l 之 间 的最 短 路径 经 过 节点 v i 的 条数 。 边 的 介 数 B ij 定义为 式 中 ， N lm 表示 节点 v l 和 v m 之 间 的最 短 路径条数 ， N lm （ e ij ） 表示 节点 v l 和 v m 之 间 的最 短 路径经 过 边 e ij 的 条数 。 292.3.3 介数和核度 2.介 数 分 布和 介 度相 关 性 节点 的 介 数 与 度 之 间 有 很 强 的 相 关 性，而 且 不同 类 型的网络，其
25、 介 数 分 布 也 大 不一 样 。 介 度相 关 性 可 以 用 B（ k） k表示 ， 它 定义为 所 有 度为 k的 节点 的 介 数平均值 随着 k的 变 化 关 系 。 有 度为 k的 节点 的 介 数平均值 随着 k的 变 化 关 系 。 节点 介 数 分 布 P v （ B）定义为 网络 中节点 介 数为 B 的 节点数 占 网络 节点 总 数 的 比例 。 边 介 数 分 布 P e （ B）定义为 网络 中边 介 数为 B的 边 数 占 网络 总 边数 的 比例 。 研究 表明 ， 节点 的最 大 介 数 与网络的同 步 能 力 密 切 相 关 ： 节点 的最 大 介 数
26、越 大 ，网络的同 步 能 力越弱 。 302.3.3 介数和核度 3.核 度 一 个 图的 k 核 是 指 反 复 去掉 度值小 于 k的 节点及 其 连线 后，所 剩余 的 子 图， 该 子 图的 节点数 就 是 该 核 的 大小 。 若 一 个 节点 属 于 k 核 ， 而不 属 于 （ k 1） 核 ， 若 一 个 节点 属 于 k 核 ， 而不 属 于 （ k 1） 核 ， 则此 节点 的 核 度为 k。 节点 核 度 的最 大值叫做 网络的 核 度 。 节点 的 核 度 可 以 说明 节点 在 核 中 的 深 度 ， 核 度 的 最 大值 自 然就 对应 着 网络结构 中 最 中
27、心 的 位 置 。 k 核 解 析 可 用 来 描述 度 分 布 所不 能描述 的网络特征， 揭 示 源 于 系 统特 殊 结构的结构 和 层 次 性质。 312.3.3 介数和核度 【 例 2.2】 计 算 下 面 网络的一些特性 ： （ 1）度 分 布及平均度； 2 （ 2） 联 合度 分 布 并 验 证 的 正 确 性 ； （ 3） 各 节点 的最 近 邻 平均度值 k nn,i ； （ 4） 该 网络 是 否 是 同 配 网络 ； （ 5） 该 网络 是 否 是 正 相 关 网络 ； （ 6） 分 别 求 各 节点和 各 连 接 边 的 介 数； （ 7） 求 该 网络的 2 核 ，
28、3 核 及 各 自 核 度大小 ，并计 算该 网络的 核 度 。 322.3.3 介数和核度 解： （ 1） 该 网络的 度 分 布 如 下 表 所 示 。 因 此 或 （ 2） 根据 容易 得到 联 合度 分 布 如 下 （ 2） 根据 容易 得到 联 合度 分 布 如 下 表 所 示 。 由 此可 以验 证 的 正 确 性， 例 如 当 k 1时 ， 该式 左 边 P（ 1） =1 6，而 右 边为 332.3.3 介数和核度 （ 3） 利 用 得 v 1 v 6 的最 近 邻 平均度值 k nn,i 分 别 为 ： 7 3、 8 3、 8 3、 5 2、 3、 5 2。 （ 4） 利 用
29、 得度为 1、 2、 3的 节点 的最 近 邻 平均度值 的 平均值 k nn （ k） 分 别 为 ： 3、 5 2、 23 9。 由 于 随着 k的 增 加 k nn （ k） 下降 ，所 以 该 网络 是 异配 网络 。 异配 网络 。 （ 5） Pearson相 关 系数 因为 r 0， 说明该 网络 为 负 相 关 。 （ 6）由 图 可 知 各 节点 之 间 的最 短 路径 分 别 为 ： v 1 e 2 v 2 ； v 1 e 3 v 3 ； v 1 e 2 v 2 e 5 v 4 ； v 1 e 1 v 5 ； v 1 e 3 v 3 e 7 v 6 ； v 2 e 4 v 3
30、 ； v 2 e 5 v 4 ； v 2 e 2 v 1 e 1 v 5 ； v 2 e 4 v 3 e 7 v 6 ； v 2 e 5 v 4 e 6 v 6 ； v 3 e 4 v 2 e 5 v 4 ； v 3 e 7 v 6 e 6 v 4 ； v 3 e 3 v 1 e 1 v 5 ； v 3 e 7 v 6 ； v 4 e 5 v 2 e 2 v 1 e 1 v 5 ； v 4 e 6 v 6 ； v 5 e 1 v 1 e 3 v 3 e 7 v 6 。 342.3.3 介数和核度 由 此可 得 v 1 v 6 各 节点 的 介 数 B i 为 ： 4、 2.5、 2.5、 0.
31、5 、 0、 0.5。同理 可 得 e 1 e 7 各 边 的 介 数为 ： 4、 3、 3、 1、 3、 1、 3。 （ 7） 该 网络的 2 核 ， 3 核 如 下 图所 示 ， 它 们 核 的 大 小 分 别 为 5和 3。 节点 v 1 v 6 的 核 度 分 别 为 3、 3、 3、 2 小 分 别 为 5和 3。 节点 v 1 v 6 的 核 度 分 别 为 3、 3、 3、 2 、 1、 2，所 以 网络的 核 度为 3。 352.3.4 中心性 1.度中 心 性 度中 心 性分 为节点度中 心 性 和 网络 度中 心 性。 前 者 指的 是节点 在其与之 直 接 相连 的 邻
32、居 节点当中 的 中 心 程 度 ，而后 者 则 侧重 节点 在 整个 网络的 中 心 程 度 ， 表 征的 是 整个 网络的 集中或集 权 程 度 ， 即整个 网络 围 绕 一 个 节点或 一 组 节点来 组 织运 行 的 程 度 。 绕 一 个 节点或 一 组 节点来 组 织运 行 的 程 度 。 节点 v i 的 度中 心 性 C D （ v i ）定义为 在所有 含 N节点 的网络 中 ， 假设 网络 G optimal 使 得 下 式 达 到 最 大值 式 中 ， u i 为 网络 G optimal 的各 个 节点 ， u max 表示 网络 G optimal 中 拥 有最 大度
33、中 心 性的 节点 。 362.3.4 中心性 对 于 含 N节点 的 某 网络 G， 令 v max 表示 其 拥 有最 大 度中 心 性的 节点 ， 则 网络 G的 度中 心 性 C D 定义为 当 图 G 为 星 型网络 时 ， H值 达 到 最 大 ， 即 当 图 G optimal 为 星 型网络 时 ， H值 达 到 最 大 ， 即 因 此 ，网络 G的 度中 心 性 C D 可 简 化 为 372.3.4 中心性 2.介 数中 心 性 介 数中 心 性分 为节点 介 数中 心 性 和 网络 介 数中 心 性。 节点 v i 的 介 数中 心 性 C B （ v i ）定义为 与
34、度中 心 性 类 似 ， 可 得 H N 1（ 也 是 星 型网络 ， 中 心 节点 的 介 数中 心 性 为 1，其 它 节点 的 介 数中 心 性 为 0） 。 因 此 ，网络 G的 介 数中 心 性 C B 可 简 化 为 382.3.4 中心性 3.接 近 度中 心 性 对 于 连 通图 来 说 ， 节点 v i 的 接 近 度中 心 性 C C （ v i ） 定义为 与 度中 心 性 类 似 ， 可 得 H （ N 1）（ N 2） 与 度中 心 性 类 似 ， 可 得 H （ N 1）（ N 2） （ 2N 3） （ 也 是 星 型网络 ） 。 因 此 ， 连 通网络 G的 接
35、近 度中 心 性 C C 可 简 化 为 对 于 非连 通图 来 说 ，上 述 定义 需要 做 一 定 的 修 正 ，一 个 比 较 好 的 做 法 是 分 别 计 算 各 个 连 通分 支 的 中 心 性， 然 后 根据 各 连 通分 支 的 阶 数 进 行 加权。 392.3.4 中心性 4.特征向量 中 心 性 Ax x 通 常 ，上 式 的各 个 特征向量 对应 不同的特征 值 。 在这 里 ，一 个 额外 的 要 求 是 特征向量的 每 个 分量 必须 是 正 数 。 根据 Perron Frobenius定 理 ， 只 有最 大 的特 是 正 数 。 根据 Perron Frobe
36、nius定 理 ， 只 有最 大 的特 征 值对应 的特征向量 才 是中 心 性 测度 所 需要 的。 求 这 个 特征向量 可 采 用 幂 迭 代算 法。在最后 得到 的特征向 量 中 ， 第 i个 分量 x i 就 是节点 v i 的特征向量 中 心 性 C E （ v i ） 。 402.3.5 网络密度 网络 密 度 指的 是 一 个 网络 中 各 节点 之 间 联 络的 紧 密 程 度 。网络 G的网络 密 度 d（ G）定义为 式 中 ， M为 网络 中 实际 拥 有的 连 接 数 ， N为 网络 节点数 。 网络 密 度 的 取 值 范围 为 0， 1 ， 当 网络 内 部 完
37、全连 通 时 ，网络 密 度为 1，而实际网络的 密 度 通 常 远 小 于 1，实际网络 中 能 够 发现的最 大 密 度值是 0.5。 不同 规 模网络的 密 度 无法进 行比 较 。 为 了 解 决 这 一 问题 ， John Scott提 出 了“ 绝 对 密 度 ”公式 式 中 ， D表示 网络 直径 ， R表示 半 径 ， S表示根据 直径 算 出的 圆周 长 。 412.3.6 连通集团（子图）及其规模分布 1.连 通、 连 通 集 团 （ 子 图 ）和连 通分 支 （ 最 大连 通 子 图 ） 连 通 集 团 （ 子 图 ） 就 是 指网络 G中 的一 个 子 图，在 这 个
38、子 图 内 ， 任意 两 个 节点 之 间 都至 少 存 在一 条简单 路径 。 路径 。 对 于 非连 通图 G来 说 ， 肯 定 可 以将 其分 解 为两 个 或 两 个 以 上的 连 通分 支 。所 谓 连 通分 支 就 是 最 大连 通 子 图， 即该 连 通 子 图加 入 任 何其 它 节点 都 将 影 响 该 子 图 的 连 通性。图 G中 的 每 个 节点 只 能 属 于一 个 连 通分 支 ， 边 也 一 样 。 显然 ， 连 通图的 连 通分 支 数为 1，而 非连 通 图的 连 通分 支 数大 于 1。 把 网络的各 连 通分 支 中 阶 数 最 大 的一 个 称为 最 大
39、 连 通分 支 。 422.3.6 连通集团（子图）及其规模分布 2.连 通 度 连 通图 G的 连 通 程 度 通 常叫做连 通 度 。 连 通 度 有 两 种，一种 是点连 通 度 ，一种 是边连 通 度 。通 常 一 个 图 的 连 通 度 越 好 ， 它 所 代表 的网络 越 稳 定 。 点连 通 度定义为 点连 通 度定义为 式 中 ， V是 图 G的 节点集合 ， S为 V的 真子 集 ， （ G S） 表示 从图 G中 删 除 点集 S后 得到 的 子 图 G S的 连 通 分 支 数 。这 里 G S是 指 删 除 S中 每 一 个 节点以及 图 G 中 与之 关 联 的所有
40、边 。 由 此可 见 ， 点连 通 度 就 是 使 G不 连 通 或 成 为平 凡 图所 必须删 除 的最 少节点 个 数 。 对 于 不 连 通图 或平 凡 图， 定义 （ G） 0； 若 G为 N阶 完 全 图， （ G） N 1。 432.3.6 连通集团（子图）及其规模分布 边连 通 度定义为 式 中 ， E是 图 G的 边集合 ， T为 E的 真子 集 ， （ G T ） 表示 从图 G中 删 除 边集 T后 得到 的 子 图 G T的 连 通 分 支 数 。 这 里 G T是 指 删 除 T中 每 一 条边 ， 而 G中 所 分 支 数 。 这 里 G T是 指 删 除 T中 每
41、一 条边 ， 而 G中 所 有 节点全 部 保留 下 来 。 由 此可 见 ， 边连 通 度 就 是 使 G不 连 通所 必须删 除 的最 少边数 。 对 于不 连 通图 或平 凡 图 ， 定义 （ G） 0； 若 G为 N阶 完 全 图， （ G） N 1。 可 以 证明 ，同一 个 图的 点连 通 度和边连 通 度 满足 （ G） （ G） 。 442.3.6 连通集团（子图）及其规模分布 3.连 通 集 团 的 规 模分 布 连 通 集 团 的 规 模分 布 反 映 了 网络 G中 的各种 规 模的 连 通分 支 的 数 目 分 布 情况 。实 证 研究 表明 ， 对 于 大 量 的无
42、标 度 网络， 连 通 集 团 的 规 模 也存 在 幂 律 分 布 。 例 如 ， 科 学 家 合 作 网的 连 通 子 图 规 模分 布 。 如 ， 科 学 家 合 作 网的 连 通 子 图 规 模分 布 。 45 返回目录2.4 有向网络的静态特征 2.4.1 入 度和 出 度及 其分 布 2.4.2 度 度相 关 性 2.4.3 2.4.3 平均距离和效率 2.4.4 入 集 团 和 出 集 团 的 集聚 程 度 2.4.5 介 数和 双 向 比 2.4.6 中 心 性 462.4.1 入度和出度及其分布 1.入 度 与出 度 由 于与有向网络 某 个 节点相 关 联 的 弧 有指向
43、节点 的， 也 有 背 向 节点 向 外 的， 因 此 除 了可 以 统计与 某 个 节点相 关 联 的 弧 数 ， 也就 是度 之 外 ，有 必要 分 开 统计 两 个 方向的 弧 数 ， 分 别 称为节点 的 入 度和 出 度 。 两 个 方向的 弧 数 ， 分 别 称为节点 的 入 度和 出 度 。 节点 v i 的 入 度 、出 度和 有向图的 邻接矩阵 以及度 的 关 系为 472.4.1 入度和出度及其分布 同 平均度 一 样 ， 也可 以 求 平均 入 度 k in 和平均 出 度 k out 为 2.入 度 分 布和 出 度 分 布 2.入 度 分 布和 出 度 分 布 入 度
44、 分 布和 出 度 分 布 分 别 记为 P in （ k）和 P out （ k ） ，分 别表示 网络 中 任意 取 出一 个 节点 ，其 入 度值和 出 度值 刚 好 为 k的 概 率 。 入 （ 出 ）度 分 布 与 平均 入 （ 出 ）度 之 间 具有 如 下 关 系 式 482.4.1 入度和出度及其分布 3.累积 入 度 分 布和 累积 出 度 分 布 累积 入 （ 出 ）度 分 布 与 入 （ 出 ）度 分 布 的 关 系为 容易证明 入 （ 出 ）度 幂 律 分 布对应 的 累积 分 布 也 是 幂 律 分 布 ， 入 （ 出 ）度 指 数 分 布对应 的 累积 分 布 也
45、是 同指 数 的指 数 分 布 。 4.联 合度 分 布 联 合度 分 布 有 两 种 定义 方 式 ， 第 一种 定义 方 式 是 基于 弧 的方 式 ， 第二 种 定义 方 式 是 基于 节点 的方 式 。 492.4.1 入度和出度及其分布 基于 弧 的方 式 ： 从网络 中 随 机 选择 一 条 弧 ， 该弧 由 入 度和 出 度 分 别 为（ j in ， j out ） 的 节点连 向 入 度和 出 度 分 别 为（ k in ， k out ） 的 节点 的 概 率 ， 即 式 中 ， M（ j ， j ； k ， k ） 为由 入 度和 出 度 分 别 式 中 ， M（ j i
46、n ， j out ； k in ， k out ） 为由 入 度和 出 度 分 别 为 j in 和 j out 的 节点连 向 入 度和 出 度 分 别 为 k in 和 k out 的 节 点 的 弧 数 ， M为 网络 总 弧 数 。 注 意 ， 联 合 概 率 P e （ j in ， j out ； k in ， k out ） 不 是对称 的， 即 P e （ j in ， j out ； k in ， k out ） P e （ k in ， k out ； j in ， j out ） 。 若 对 上 式 按 照 （ k in ， k out ） 求 和 ， 就 得到 随 机
47、 选 取 一 条 弧 ， 该弧 起 点 的 度为（ j in ， j out ） 的 概 率 502.4.1 入度和出度及其分布 若 对 上 式 按 照 （ j in ， j out ） 求 和 ， 就 得到 随 机 选 取 一 条 弧 ， 该弧 终 点 的 度为（ k in ， k out ） 的 概 率 基于 节点 的方 式 ： 从网络 中 随 机 选择 一 个 节点 ， 其 入 度值和 出 度值 分 别 为 k 和 k 的 概 率 ， 即 其 入 度值和 出 度值 分 别 为 k in 和 k out 的 概 率 ， 即 式 中 ， N（ k in ， k out ）为 入 度值和 出
48、度值 分 别 为 k in 和 k out 的 节点数 ， N为 网络 总 节点数 。 P v （ k in ， k out ）和 P f （ k in ， k out ） 、 P t （ k in ， k out ） 具有 如 下 关 系 式 512.4.2 度度相关性 度 度相 关 性 也 有 两 种 定义 方 式 ， 即 基于 节点 的 方 式 和 基于 弧 的方 式 。 1.基于 节点 的 入 度 出 度相 关 性 可 以定义节点 的 入 度为 k in 的 情况下 其出 度为 k out 的 条 件 概 率为 然 后， 可 以定义 基于 节点 的 入 度 出 度相 关 性 为 更 简 便 的 定义为 如 果 k vv （ k in ） k in 曲 线 的 斜 率小 于 0， 则 k in 和 k out 负 相 关 ； 斜 率大 于 0， 则 k in 和 k out 正 相 关 ； 等 于 0， 则 k in 和 k out 不 相 关 。 522.4.2 度度相关性 2.基于 弧 的 度 度相 关 性 任意选 取
