1、第 十 五 组1足球队排名次的方法摘 要本文讨论了依据我国 12 支足球队在 1988-1989 年全国足球甲级队联赛中的成绩，给他们进行排列名次的问题。根据全国足球甲级队联赛的比赛规则，符合要求的排名方法是多种多样的，然而都希望实现尽量公平、尽量精确的排名策略。我们针对排名的问题，建立了从简单到复杂，从粗糙到较为精确的三个模型，分别用了平均积分法、图论的相关知识、比分矩阵法以及层次分析法。模型一：依次计算出各个队的总积分，按照国家足球甲级队联赛的规则，可知：获胜加 3 分，平局各得一分，失败就得零分，同时统计每一个队进行的比赛场数，对总积分/比赛的场数进行排序，所得结果就可以近似的作为各队的
2、排名。模型二：根据比赛的数据，建立了一个 的数字矩阵 ，在1212ij)(aA合理的假设条件下，进行分析，从而完善矩阵，用 C+编程，输入所得矩阵，求出哈密顿开路的路径，再结合模型一的分析，对其排出名次。模型三：用三分制计算对任意第 i 队与第 j 队（i 不等于 j）的得分比 ，ijb其中 =1，得到比分矩阵 ,求出比分矩阵的最大特征值，并求出相ib12)(ijbB应的特征向量。比较分向量的大小，即可求出排名。模型四：用层次分析法，把平均积分、净球数和获胜场数与参赛场数的比值作为准则层的影响因素，根据它们的比重关系，构造正互反矩阵(逆称矩阵)，通过求最大特征值及其特征向量，从而求出排名。四个
3、模型的运行结果如下的表所示：名次模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12模型一 7T10T29T6125T14模型二 3981模型三 710298612514模型四 T3TTT四个模型都能推广到任意 N 个队的情况，对于不同的模型，数据所要求具备的条件是不一样的。关键词：足球 排名 积分 图论 比分矩阵 层次分析2一、 问题描述近几十年以来，足球这一运动项目在我国较为流行，深受许多球迷的喜爱，越来越多的大型的足球比赛在国内组织起来，其中全国足球联赛就是一个比较正式，比赛要求较为严谨的一个比赛组织，公平、公正、公开的评分原则显现的更为重要。题目中给出了 1988-1989 年全
4、国足球甲级队联赛的比赛成绩列表，根据列表的数据，要求设计一个合理的方案对十二支队进行排列名次，并给出用该方案排名次的结果。建立数学模型，对数据进行分析，对十二支分队进行排名，并要求能够推广到 N 个队，计算出对于 N 个队的排名情况，对于所设计出来的数学模型说明所要求数据具备的条件有哪些。设计方案的方法是多种多样的，可以运用模糊数学、图论、层次分析等等，然而由于能力有限或者题目数据的限制，我们仅用其中较为浅显的理论，进行了建立模型。二、 合理的假设1、参赛各队都是按照自己的真实水平发挥的，且在短时间内，真实水平是不发生变化的，比赛结果没有人为或其它非正常因素的影响。2、每场比赛的结果对排名的估
5、计的重要程度是一样的，具有相同的可信度。3、每一场比赛都是由比赛规则决定的，没有弃权的现象。三、 模型建立模型一：平均积分法1、合理假设：假设赢一场比赛得 3 分，平局得 1 分，输一场比赛不得分。这是根据全国足球联赛的规则中查得的数据。2、符号说明： 第 i 支队总的比赛场数；ia第 i 支队获胜的比赛场数；1i第 i 支队平局的比赛场数；2i第 i 支队被打败的比赛场数；3ia第 i 支队总积分；iw第 i 支队的平均积分；i3、由假设依次计算出每一队的总积分和平均积分：目标函数： iiiaw约束条件： ijiiii3123模型二：图论 11、建立了一个 的数字矩阵 , 打败 时，记标记
6、；212ij)(aAiTj 1aij两者平局或者两者之间没有比赛时不做任何标记； 输给 时，标记ijT；0aij2、根据所得的 的矩阵，统计出每一行为 1 的总数，即每一队打败的12对手数，记作一个向量 ；)a,a,a,( 1209876543213、如果向量中有相同的元素，如 ，则从 1 到 12(即 N)分别求出被ji打败的所有队的 的总和，并作为新向量iTja中 的值，得到)a,a,),(a (12(1)09(1)87(1)65(1)43(12) ()i新向量 ；如果还有相同元素，则根据抽签的原则随机的让其中一方为1，另一方为 0，最终得到 0-1 矩阵；4、根据所得矩阵，在编写好的 C
7、+程序中执行，得到哈密顿开路的路径；5、每一个哈密顿路径都是一种排名结果，但它对矩阵的依赖性太强，需要我们进一步结合题目中的数据进行分析最终得到排名结果。模型三：比分矩阵法1、 对模型一的平均积分法有其不可改变的不合理性：在计算比赛得分时没有考虑对手的强弱。比如，强队胜强队得 3 分，强队胜弱队同样得 3 分。所以采用得分比矩阵同样是用三分制计算对任意第 i 队与第 j 队(i 不等于 j)的得分比 ，其中 =1ijbi2、根据比分矩阵 (其中 为 i 队的平均分与 j 队的平均分的比12)ijBijb值) ，求出比分矩阵的最大特征值，进而得出相应的特征向量。比较分向量的大小，即可求出排名。
8、模型四：层次分析在此模型中，我们采取层次分析法。在本题中，我们认为影响参赛队排名主要有一下三个因素：平均分，净球数，参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。1、我们根据层次分析法建立如下的层次关系：各因素 ， ， ，相对于目标 y（其中 ）的重要性。1x123 2321xwx排名平均分 净球数 赢的场数与比赛的场数之比目标层准则层4用下表数值表示/ixj相等 较强 强 很强 绝对强ija1 3 5 7 9若介于上述两者之间，则取 2，4，6，8。 3通过三个因素对排名的影响构造矩阵 C，其中 C= = ，以上的数据3*)c(ij 3*)/jix我们可以写出矩阵 C，然后求出最大特征值和其对应的特征
9、向量。将特征向量归一化，就可以得到 ， ， 的值，我们就可以求出排名了。1w23四、 模型求解模型一：平均积分法1、计算结果如下表所示：参赛队 总积分 比赛的场数 平均分T1 34 19 1.7895T2 21 15 1.4000T3 27 15 1.8000T4 9 19 0.4737T5 8 9 0.8889T6 6 5 1.2000T7 39 17 2.2941T8 22 17 1.2941T9 23 17 1.3529T10 24 17 1.4118T11 5 9 0.5556T12 10 9 1.11112、排名结果： 7T3102T98612T514T3、模型推广：对于任意的 N
10、队，通过比赛所得的数据，我们都可以按照平均积分进行排序，对于平均积分相同的情况下，可以考虑对净胜球、总的进球率等等进行排名，如这些因素还是相同的话，只好随机抽签对这些水平相当的队进行排序。模型二：图论51、 ，得01010101000110A ,02),745(,312、第二步：得0101011010001101A 1,20)0,(8,723、从上述 1、2 我们还是没有办法决定 和 、 和 的胜负，由抽签的原4T1612T则，我们假设 败给了 ， 败给了 ，最终完善的矩阵：4T1201101010A4、从题目中的数据以及由模型一可得： 和 队实力最强，而 和 的实力3T74T16相对最弱。5
11、、从程序的运行结果中选择以 和 开头的哈密顿开路路径，结果如下表所3T7示。表格一：表格二：6、对数据分析：(1)、从以上两个表格得出， 、 、 、 、 一定为最 6T1251T4后五名；(2)、因为 和 队实力最强，所以我们参照表格一的结果，3T7同时，之所以表格一中 在 之前，只是因为题目中的数据373 7 1 2 9 10 8 6 12 5 11 43 7 1 9 10 8 2 6 12 5 11 43 7 2 9 10 8 1 6 12 5 11 43 7 8 1 2 9 10 6 12 5 11 43 7 8 1 9 10 2 6 12 5 11 43 7 8 2 9 10 1 6
12、12 5 11 43 7 9 10 8 1 2 6 12 5 11 43 7 10 1 2 9 8 6 12 5 11 43 7 10 1 9 8 2 6 12 5 11 43 7 10 2 9 8 1 6 12 5 11 43 7 10 8 1 2 9 6 12 5 11 47 1 2 9 10 8 3 6 12 5 11 47 1 9 10 8 3 2 6 12 5 11 47 2 9 10 8 3 1 6 12 5 11 47 8 1 2 9 10 3 6 12 5 11 47 8 1 9 10 3 2 6 12 5 11 47 8 2 9 10 3 1 6 12 5 11 47 8 3
13、 1 2 9 10 6 12 5 11 47 8 3 1 9 10 2 6 12 5 11 47 8 3 2 9 10 1 6 12 5 11 47 8 3 9 10 1 2 6 12 5 11 47 9 10 8 3 1 2 6 12 5 11 47 10 1 2 9 8 3 6 12 5 11 47 10 1 9 8 3 2 6 12 5 11 47 10 2 9 8 3 1 6 12 5 11 47 10 3 1 2 9 8 6 12 5 11 47 10 3 1 9 8 2 6 12 5 11 47 10 3 2 9 8 1 6 12 5 11 47中， 与 比赛时，前者获胜了，而综合
14、题目中的数据及模3T7型一，后者的实力更强一些，所以后者为冠军，前者为亚军。(3)、对 、 、 、 、 进行排名：结合向量 对他1289T10 与们排名得 027、模型二最终排名： 7T319816T1251T4T模型三：得分矩阵1、 比分矩阵： 1.0 .9807 .821056 .43 0.92 1.5 2.346 0.7 .9602 5398315 276417878 . . . . . .6 . . . . 0196527092547620 .8 .5 0.8 .93 .5 1.3 . . .51 874869349 426360 . .7 .1 . . . . . 109 4 052
15、0782 8265371934B 2、我们用 matlab 软件可以求出 B 的最大特征值及其对应的特征向量，可以得到矩阵 B 的最大特征值为 12.0000，其对应的特征向量为： T2309.154.293.08.26.047.293.018.094.37.29.03718.3、所以我们得出各参赛队的排名结果为： 7T3102T9 8T61251T4模型四：层次分析1、我们根据题目可以得出各参赛队的平均分，净球数，参赛队赢的场数与该对比赛的场数之比。参赛队 平均分 净胜球 赢的场数与该对比赛的场数之比T1 1.7895 8 10/19T2 1.4000 2 1/3T3 1.8000 8 8/
16、158T4 0.4737 -20 1/19T5 0.8889 -5 2/9T6 1.2000 -4 2/5T7 2.2941 25 13/17T8 1.2941 2 6/17T9 1.3529 -6 7/17T10 1.4118 -2 6/17T11 0.5556 -7 1/9T12 1.1111 -3 2/93、我们可以写出矩阵 C: 12/3C4、在 matlab 软件中，可以求出 C 的最大特征值为 = 3.0092，特征值max对应的特征向量为 ，将其归一化得向量 ，max460.258. 2970.16345.5、我们看出平均分占的比重比较大，所以，当我们给参赛队进行排名的时候，我们
17、首先考虑平均分，当平均分差不多的时候，我们再计较赢的场数与该对比赛的场数之比。因此，我们得出各参赛队的排名为： 7T3102T98612T514T五、 模型的优缺点分析模型一：优点：计算简单，操作方便缺点：有其不可改变的不合理性：在计算比赛得分时没有考虑对手的强弱。比如，强队胜强队得 3 分，强队胜弱队同样得 3 分，显然有一定的不合理性。模型二：优点：从运行结果中，短时间内可以分辨出每一队大概的实力范围，将他们分出层次来；缺点：有程序产生的哈密顿开路路径比较多，还要一一的对他们分析，造成较大的时间复杂度，同时也会有很大的不合理性，因为哈密顿开路单单依赖是否有一场比赛使得一方打败另一方，而忽略
18、了整体数据对结果的影响。模型三：优点：能够比较综合全面的比较各个分队的实力水平；模型四：优点：考虑了多个因素对结果的影响；缺点：模型中存在人为的主观因素六、 模型检验我们采用计算机模拟的方法来进行模型检验。具体方法如下：设有 n 个队参加比赛，采用随机函数在0,1区间内产生 n 个数，分别记为 ，表示这 niM9个球队的总体实力水平，将这 n 个数俺从大到小的顺序排列即得到这 n 各队的的排名。根据产生的 n 个数可产生一组比赛数据，对任意的 和 ，先用随机iTj函数产生他们之间的比赛场数 (取值为 0，1，2，3 中的一个)，还有要注意ijb比赛场数的选取要保证图的连通性，即对任意 都必须至
19、少和其他球队有一场i比赛。然后，产生比赛数据，不妨设 强于 ，我们通过查阅资料得到一场比iTj赛中的结果的概率经验公式： 4jii MTP.703获 胜 jij获 胜 jiji -0.4-PT-1胜胜平 局以上三式概率分别记为 、 、 。123根据以上概率算式以可将0,1区间按上述概率大小分别分成三段用来计算机随机模拟比赛结果。最后我们来模拟没遗产比赛的比分，设 与 的第 q 场比赛iTj的比分为 a：b，则1) ，即随机数 X 落在0， 内时获 胜iT1P,rnd()%3 )M-(2t)rand(ijib2) ，即随机数 X 落在 ， 内时获 胜j 1,ra()ra()3)平局，即随机数 X
20、 落在 ，1内时21Prand()%5b模拟完成后，可以的出任意组的数据，对数据进行一些简要的筛选即可选出一些粗数据对所建立的模型进行检验、分析、评价。记随机产生的名次排序为 ( )，通过模型产生的名次排序为 (iQn., 12 iq)。我们采取的检验公式为n., 12iniiq)(E显然 E 越小表明模型越合理，为了消除随机因素对模型检验的带来的影响，我们应模拟足够多的数据来进行检验，且 E 区平均水平。10当您 n=12 时，由于数据量很大，我们只取了 5 组数据进行简要的检验，检验结果如下表。模型 模型一 模型二 模型三 模型四E 的平均值 4.50 5.43 3.13 4.04从表中可以看出，模型三 E 的平均值较小。对于模型的使用条件，我们需要进一步考虑方差等。七、 参考文献1 冯杰 黄力伟 王勤 尹成义，数学建模原理与案例，北京：科学出版社，20072 王树禾 数学模型选讲，北京：科学出版社，20083 陈汝栋 于延荣 数学模型与数学建模，北京：国防工业出版社，2006.14 陈理荣 崔景泉，数学建模导论，北京：北京邮电大学出版社，1999.2
