1、 出出出出出出Sk=1S=0k=k+2S=S+ 1k(k+2)k2016出出杨浦区 2015 学年度第一学期期末高三年级 3+1 质量调研数学学科试卷（理科） 2016.1.考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上2本试卷共有 23 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分1. 已知矩阵 ， ，则 _.102A13BBA2. 已知全集 U=R，集合 ，则集合 _.02xU3. 已知函数 ，则方程 的解 =
2、_.34logfx14fx4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为 4 米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布_平方米.5. 无穷等比数列 ( )的前 项的和是 ，na*NnnS且 ，则首项 的取值范围是 _.1lim2nS16. 已知虚数 z满足 ，则 _.i6z7执行如右图所示的流程图，则输出的 S 的值为_.8学校有两个食堂，现有 3 名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是_.9. 展开式的二项式系数之和为 ，则展开式中 的系数为_.31nx256x10. 若数 的标准差为 ，则数 的2345,a123453,2,aaa方差为_.11. 如图，在矩形 OABC 中，点
3、 E、F 分别在线段 AB、BC 上，且满足 AB=3AE，BC=3CF ，若 (,)OBR,则 _.12. 已知 ，当 时不等式 恒成243,0xxf 1a,2fxafx立，则实数 的最大值是_.a13. 抛物线 的顶点为原点 ，焦点 在 轴正半轴，过焦点且倾斜角为 的直线 交抛COFx4l物线于点 ，若 AB 中点的横坐标为 3，则抛物线 的方程为 _.,ABC14.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，当 时，fxR01x2fx0x，若直线 与函数 的图象恰有 11 个不同的公共11fyky点，则实数 的取值范围为_.k二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有
4、一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）A. 若 ，则 B. 若 ， 则ab2cabcdabdC. 若 ，则 D. 若 ，则 116. 设 是两个单位向量 ,其夹角为 ,则“ ”是 “ ”的 （ ）,36|A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件17.对于两个平面 和两条直线 , 下列命题中真命题是 ( ),mnA.若 , , 则mnB.若 , , 则 C. 若 ， ， ，则 nD. 若 ， ， ，则 nm18. 下列函数中，既是偶函数，又在 上递增的函数的个数
5、是 （ ）,0OAEBFCSDCB A xtanyxcosy2xsiny2xcotyA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分 如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等（1） 求证：直线 垂直于直线 .ACSD（2） 若搭边框共使用木料 24 米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20（本题满分
6、14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。 在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：= 出出n=4n=3n=2n=1= 出出（1）按此规律，n = 5 时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量 ，及松na树数量 关于 n 的表达式.bAOCDM B（2）定义： 为 增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：)n(f1(f*N)n(f哪种树增加的速度会更快？并说明理由.21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 8 分，第 2 小
7、题 6 分如图，在一条景观道的一端有一个半径为 米的圆形摩天轮 O，逆时针 分钟转一5015圈，从 处进入摩天轮的座舱， 垂直于地面 ，在距离 处 米处设置了一个望AOAMA0远镜 （1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座B舱 分钟后，5在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜 中仔细观看。问望远镜 的仰角BB应调整为多少度？（精确到 1 度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带 ，发现取景的视角 恰为 ，求绿化带 的长度（精确到 1 米）.BD45D解：.oyx22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，
8、第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分 如图，曲线 由两个椭圆 ： 和椭圆 ：1T20xyabT组成，当 成等比数列时，称曲线 为“猫眼曲线”.210yxbc,bc（1） 若猫眼曲线 过点 ，且 的公比为 ，求猫眼曲线 的方程；,2M,a2（2） 对于题（1）中的求猫眼曲线 ，任作斜率为 且不过原点的直线与该曲线0k相交，交椭圆 所得弦的中点为 ，交椭圆 所得弦的中点为 ，求证： 为1T2TNONMk与 无关的定值；k（3） 若斜率为 的直线 为椭圆 的切线，且交椭圆 于点 ， 为椭圆 上的任2l21,AB1T意一点（点 与点 不重合），求N,AB面积的最大值.AB2
9、3（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分.已知函数 ，若存在常数 T（T0），对任意 都有D)(x fDx，则称函数 为 T 倍周期函数Txf xf（1）判断 是否是 T 倍周期函数，并说明理由. h（2）证明 是 T 倍周期函数，且 T 的值是唯一的.x41 g（3）若 是 2 倍周期函数， ， ， 表示 的前 n 项 )N(n f*1f42fnSf和， ，若 恒成立，求 a 的取值范围.1n2SC0)a(logn理科评分参考一、 填空题SDCB A1. 2 31 4 1-043,12,165. 6 7 8 9,50510
10、 36 11 12 13 14（ ， ）32x4y226436二、选择题15C 16A 17D 18A三、解答题19（本题 12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分）解：（1）如图，连接 交于点 ，则 为线段,CBO中点，BD在正方形 中，对角线 （2 分）AAD在 中， ，SCSOC， 平面 （2 分）OBDB（2 分）AS（2）边长为 3 米 （2 分）棱锥的高（2 分）231SO22立方米 （2 分）93V2答：需要 立方米填充材料.20（本题 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）解：（1）n = 5 时果树 25 棵，松树 40 棵 （2 分）（2 分）2
11、na（2 分）8b（2） （2 分）1n21na21n （2 分）88b当 时，2n+1 8 果树增加的速度快 （2 分）4n21（本题 14 分，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分） （1） 逆时针 分钟转一圈，5分钟转过 （2 分）20过点 作 于点 ，CHAB则 （2 分）5sin1975（2 分）10co20023B，（2 分）76tan153CH63arctn51答：望远镜的仰角 设置为（2）在 中， ， （2 分）BD,4580CDH7sin80iC由正弦定理得：（2 分）sn（2 分）i5i49s3BD答：绿化带的长度为 94 米.22（本题 16 分，第 1 小题 4
12、分，第二小题 6 分，第三小题 6 分）（1） ， ， （2 分）2b,ac， ； （2 分）21:4xyT2:1yTx（2）设斜率为 的直线交椭圆 于点 ，线段 中点k112,CDyC0,Mxy12200,xy由 ，得（2 分）2124xy1212121204xxyy存在且 ， ，且k012x0，即（2 分）120yx1kOM同理， kON得证 （2 分）41M（3）设直线 的方程为l2yxm，21yxbc22220bccxbc， 022m（2 分）1:lyxbc， 2ab22220axmaxba， 022m（1 分）2:lyxa两平行线间距离： （1 分）22bcad3（1 分）23aAB
13、b的面积最大值为（1N22212abcbaSABda分）注：若用第一小题结论，算得： 28453AB21010d的面积最大值为得 3 分ABN43210455S23（本题 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）（1） 设： xhTxh则 对任意 x 恒成立 （2 分）无解不是 T 倍周期函数 （2 分）xh（2） 设： gg则 对任意 x 恒成立 （2 分）xTx41T（2 分）21下证唯一性：若 ， 矛盾 21T214T若 ， 矛盾T是唯一的 （2 分）21T（3） 21ff3 532 5f f71-nf -nf12f（2 分）12-2 53 n12同理： 44nf6f4f n131Sn2同理： 32f2fn（2 分）3SCn1n2319显然： 且 2n0n3257321Cnnnnn1 37n2n52n即单调递减1Cn（2 分）92max恒成立，10)(lognaCmaxn)(la 时 解得 ： 1a11a 时 解得 ：a0250或 （2 分）2511a
