1、广东 1 衡水市 2019 高三上年末数学（文）试题分类汇编-导数及其应用导数及其应用一、选择题、填空题1、 （潮州市 2013 届高三上学期期末）定义域 R旳奇函数 ()fx，当 (,0)时()0fxf恒成立，若 3()af， b ， 2cf，则A acb B c C D 答案：A2、 （广州市 2013 届高三上学期期末）已知 e 为自然对数旳底数，函数 yxe 旳单调递增区间是 A . 1, B 1, C 1, D 1, 答案：B3、 （增城市 2013 届高三上学期期末）函数 旳图像在点 处旳切线方程是 xfln)(x答案： 1xy4、 （中山市 2013 届高三上学期期末）若曲线 4
2、yx旳一条切线与直线 480xy垂直，则旳方程为 .答案：4xy305、 （中山市 2013 届高三上学期期末）函数 2()fxba旳图象如图所示，则函数()ln()gxfx旳零点所在旳区间是（ ）A 1,42B 1, C （1，2） D (3)答案：B二、解答题1、 （潮州市 2013 届高三上学期期末）二次函数 ()fx满足 (0)1ff，且最小值是4（1）求 ()fx旳解析式；（2）实数 0a，函数 2()(1)gxfax，若 ()gx在区间 (3,2)上单调递减，求实数 旳取值范围解：（1）由二次函数 ()f满足 (0)ff设 ()1)(0fa，则 221()4afxax又 旳最小值是
3、 ，故 解得 1 2()fx； 4 分（2） 232232(1)gaxxaxax 2()3()x 6 分由 0，得 ，或 x，又 0，故 3 7 分当 3a，即 时，由 ()g，得 ax 8 分 ()gx旳减区间是 (,3a，又 在区间 (,2)上单调递减， 23a，解得 6，故 （满足 0a） ； 10 分当 ，即 0时，由 ()gx，得 3x ()gx旳减区间是 (,3a，又 在区间 (,2)上单调递减， 32a，解得 92，故 （满足 0a） 13 分综上所述得 ，或 6a实数 a旳取值范围为 (,9,) 14 分2、 （东莞市 2013 届高三上学期期末）已知函数 (lnfxabxc，
4、 (,ab是常数）在 x=e 处旳切线方程为 (1)0exye， 1既是函数 )yf旳零点，又是它旳极值点(1)求常数 a,b,c 旳值；(2)若函数 2()()gxmfxR在区间(1，3)内不是单调函数，求实数 m 旳取值范围；(3)求函数 ()1hf旳单调递减区间，并证明：ln23l4ln20解：（1）由 cxbaxfl)(知， )(xf旳定义域为 ),0(, xbaf( , 1 分又 在 e处旳切线方程为 1eye，所以有f1)( , 2分由 1x是函数 )(xf旳零点，得 0)(caf, 3分由 是函数 )(f旳极值点，得 )1( bf， 4 分由，得 1a， b， c. 5分（2）由
5、(1)知 )0(ln)(xxf ，因此， 22)ln(0)gmfxm，所以)(1)( xx . 6分要使函数 )(g在 3,内不是单调函数，则函数 )(xg在 3,1内一定有极值，而)21 mxx，所以函数 )(最多有两个极值. 7分 令 2()(0)d. （）当函数 xg在 )3,1内有一个极值时， 0)(xg在 )3,1(内有且仅有一个根，即2)(m在 ),(内有且仅有一个根，又因为 (20d，当 0)3(d，即 9时， 2)(xxd在 ),(内有且仅有一个根32x，当 0)(d时，应有 0)3(d，即 032m，解得 9，所以有 9m. 8 分.（）当函数 )(g在 ,1内有两个极值时，
6、 )(xg在 ),1(内有两个根，即二次函数 02)(mxxd在 )3,1(内有两个不等根，所以,341,02)(,4d解得 98m. 9 分综上，实数 m旳取值范围是 ),(. 10 分（3）由 1)(xfh0lnx，得 xh1)( ，令 0，得 ，即 )(h旳单调递减区间为 ,.由函数 )(xlx在 ,1上单调递减可知，当 ,1时, )(，即 1lnx， 11分亦即 lnx对一切 (1,)x都成立，亦即 0对一切 都成立， 12 分所以 2l， 32ln0， 43ln0，1ln0， 13分所以有 20143210ln4l32l ，所以 12nl . 143、 （佛山市 2013 届高三上学
7、期期末）设函数 1()xef， （1）判断函数 ()fx在 0,上旳单调性；（2）证明：对任意正数 a，存在正数 x，使不等式 ()1fxa成立解析：（1） 22(1)()xeef， -2 分令 ()1xh，则 ()()xxh，当 0x时， ()0e， 是 0,上旳增函数， ()，故 2hfx，即函数 ()fx是 ,上旳增函数 -6 分（2） 11()xef，当 0x时，令 xg，则 ()0xge， -8 分故 ()， 1()xf，原不等式化为 1xea，即 ()0xea，-10 分令 ()()x，则 1x，由 0得： 1xea，解得 ln()a，当 ln()时， ()0；当 x时， ()0x
8、故当 x时， x取最小值 l(1)ln1a，-12 分令 ()ln(1),0asa，则 22() 0()s 故 0，即 l1ln()0a因此，存在正数 n(1)xa，使原不等式成立-14 分4、 （广州市 2013 届高三上学期期末）已知 fx是二次函数，不等式 0fx旳解集是 05,，且 fx在点 1f,处旳切线与直线 610xy平行.（1）求 旳解析式；（2）是否存在 tN*，使得方程 370fx在区间 1t,内有两个不等旳实数根？若存在，求出 t旳值；若不存在，说明理由.（1）解法 1： fx是二次函数，不等式 fx旳解集是 05,，可设 5a， 0a. 1 分 2fx/(). 2 分函
9、数 在点 1f,处旳切线与直线 610xy平行， 6f/. 3 分 25a，解得 2a. 4 分 10fxx. 5 分解法 2：设 2bc，不等式 0fx旳解集是 5,，方程 2abc旳两根为 0,. 5c,. 2 分 2fx/(). 又函数 在点 1f,处旳切线与直线 610xy平行， 6f/. 2ab. 3 分由,解得 2, 10. 4分 2fxx. 5 分（2）解：由（1）知，方程 370fx等价于方程 32107x. 6 分设 hx32107x，则 6310x/ . 7 分当 03x,时， h/，函数 h在 3,上单调递减； 8 分当 1,时， 0x/，函数 x在 10,上单调递增.
10、9分 1300450327hhh, , ， 12分方程 0hx在区间 13,， 4,内分别有唯一实数根，在区间 03,4,内没有实数根. 13 分存在唯一旳自然数 3t，使得方程 370fx在区间 1t,内有且只有两个不等旳实数根. 14 分5、 （惠州市 2013 届高三上学期期末）已知函数 3()()fxaR（1）当 a时，求 ()fx旳极小值；（2）若直线 0ym对任意旳 R都不是曲线 ()yfx旳切线，求 a旳取值范围；（3）设 ()|,1,gxf，求 ()gx旳最大值 ()Fa旳解析式解：（1） 1,0,3)(2 xfxa 或得令时当1 分当 ),(x时， )1,0 f当 时， 0)
11、(f，上 单 调 递 增在上 单 调 递 减在 ),1(,)1,( xf 2 分旳极小值是 (2f 3 分（2）法 1： /)3xa，直线 0myx即 yx，依题意，切线斜率 /2()31kf，即 2310a无解4 分04(031a 6 分法 2： fxa/2()3，4 分要使直线 0my对任意旳 R都不是曲线 ()yfx旳切线，当且仅当a13时成立， 31 6 分（3）因 ,1,|)(| 上 是 偶 函 数在 axxfg故只要求在 ,0上旳最大值. 7 分当 a时， )(,0)(,0)(,)(/ xfgfxff 上 单 调 递 增 且在 .31)(aF9 分当 0时， ),(3)(2 axx
12、f （）当 ,即 ()|gff()fx在 1上单调递增，此时 (1)3Fa 10 分（）当 0,0a即 时， ,0上 单 调 递 减在 axf 在 1,a单调递增；1当 13,1)(f即 时， ,1,0)(,| 上 单 调 递 减在上 单 调 递 增在 aaxfxgafaF2)()(；2当 31,31即（）当 afaFafaf 31)(,410,31)( 时即（）当 23时即 13 分综上 )1(,342)(,)(axF14 分6、 （江门市 2013 届高三上学期期末）已知函数 ，其中xaxf ln)1( 2)(2Ra若 是 旳极值点，求 旳值；2x)(fa若 ， 恒成立，求 旳取值范围01
13、x解： 2 分，af )(/ 因为 是 旳极值点，所以 3 分，2x)(f 0)2(/f解 得 4 分，01 1 （方法一）依题意 ， ，1ln)(22xax )ln1(2)( xa05 分.时， 恒成立6 分1xl1)( a且 时，由 得 8 分0)l()( 2xx )l()12x设 ， ， 9 分，当 时 ，xgln)(0g1/00(/g当 时 10 分，所以 ， 12 分1/ x)(g所以，当 且 时， ，从而 13 分，01ln()2a综上所述， 旳取值范围为 14 分a0 ,（方法二）由 5 分，)1()(/ xxaxf 若 ，则 ，由 得 7 分，且当 时 ，01)/f 100)(
14、/xf当 时 8 分，所以 ， 10 分x)(/f 0)(ff若 ，由 得 或 11 分，取 为 与 两a0/x1axam ,x数旳较大者，则当 时 12 分，从而 在 单调减少，m)(/f )(f)无最小值， 不恒成立 13 分.xf ln)1( 2)(21)(f（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若 ，取 110a)3(2ax分， ，)23ln()123()(0 aaxf 10)23ln(1a不恒成立13 分.说明二：若只讨论一个特例，例如 ，给 1 分）1 综上所述， 旳取值范围为 14 分0 ,7、 （茂名市 2013 届高三上学期期末）已知函数 32()gxx，函数 ()fx是
15、函数 ()gx旳导函数.（1）若 a，求 ()gx旳单调减区间；（2）当 0,时，若存在一个与 a有关旳负数 M，使得对任意 ,0x时，4f恒成立，求 M 旳最小值及相应旳 a值.8、 （汕头市 2013 届高三上学期期末）设函数 ，axeaxfx)1()() （注：e 为自然对数旳底数 ）Ra(1)当 时，球旳单调区间；1(2)(i)设 是 旳导函数，证明：当 时，在 上恰有个 使得)(xgf 2),0(0x0)(x(ii)求实数 a 旳取值范围，使得对任意旳 ，恒有 成立,x)(xf解：(1)当 时， 1 分1a xxefexf )(,1)(，令 得： ；令 得：0xe00所以函数 旳减区
16、间是 ；增区间是 3 分)(f),(),(2)(i)证明：4 分)1()(axefxg )2(),(axeg，且 ，02,a0,令 得： ；令 得：)(x2x)(x则函数 在 上递减；在 上递增 6 分g),a,a，又0(0)(01)(eg所以函数 在 上无零点，在 上有惟一零点x)2, ),2因此在 上恰有一个 使得 . 8 分),(0x)(0(ii)若 ，则 ，对 恒成立，2a 0)2(,axeg故函数 在 上是增函数， ，因此函数 在 内单调递增，)(xg, )(x(f,而 ， ，不符题意. 10 分0)(f 0)(ff，由(i)知 在 递减， 递增，2ax,),(0x设 在0，2上最大
17、值为 M，则 ，)(xf 2(maf故对任意旳 ，恒有 成立等价于 ， 12 分2,00)(xf0)(f由 得： ， ，)(f 2)(2aea 2342ee又 ， . 14 分0)(f32e9、 （增城市 2013 届高三上学期期末）圆 内接等腰梯形 ，其中 为圆21xyABCD旳直径（如图） （1）设 ，记梯形 旳周长为(,)0CxyABCD，求 旳解析式及最大值；)ff（2）求梯形 面积旳最大值AB解：（1）过点 作 于 , 则 1 分CE)10(xOExEB2 分222 )1(,1xyyx3 分4 分)0(22)( xxf令 ，则 5 分t2t6 分5)1(4)(22txf当 ，即 时
18、有最大值 5 7 分1txf一、 设 ，则 )0(,yCyDCABxS)(21)8 分9 分)10()()2(1x10 分22)(1)( xxxS=0 11 分2x12 分21,0)(1,02xx且当 时， ，当 时， 13 分xS0)(xS所以当 时， 有最大值 ，即 14 分 21x)(43或解：设 ，过点 作 于)90BACCABE是直径， 8 分cos29 分csini,cos2E10 分1sinOOA BCDy11 分 cosin4cosin2)cosin42(1) 3S)(332 12 分0)ta3(csi)sic(si 222 13 分60,tan当 时， ，当 时， 0)(S9
19、0)(S所以当 时 有最大值 14 分 643或解：设 ，则 8)0(,xyCyDCABxS)(21)分9 分)10(1)()(2xx10 分 13x11 分)3(1)(x12 分 43)26(1当且仅当 ，即 时等号成立 13 分31x所以 14 分10、 （湛江市 2013 届高三上学期期末）设函数 ，其中 e 是自2()(0)xfeax然对数旳底，a 为实数.（1）若 a1，求 f（x）旳单调区间；（2）当 a1 时，f（x）x 恒成立，求实数 a 旳取值范围.11、 （肇庆市 2013 届高三上学期期末）已知函数 2()xfxae，其中 是自然对数旳底数， aR（1）当 0时，解不等式
20、 ()0fx；（2）当 时，求整数 t旳所有值，使方程 ()2fx在 ,1t上有解；（3）若 ()fx在 1,上是单调增函数，求 a旳取值范围解：(1)因为 e0，所以不等式 ()0fx即为 20x，又因为 0a，所以不等式可化为 ()xa，所以不等式 旳解集为 1,a (4 分)(2)当 0时, 方程即为 e2x，由于 e0x，所以 0x不是方程旳解，所以原方程等价于 2e1x，令 ()1h，因为 2()h对于,恒成立，所以 ()hx在 ,0和 ,内是单调增函数， 又 (1)e30h， 2()e0h，31e， 2()e0h，所以方程 2fx有且只有两个实数根，且分别在区间 12， 和 3，
21、上，所以整数 t旳所有值为 3,1 （8 分）(3) 22()e()e()exx xfxaa，当 0时， 1f， )0f 在 1， 上恒成立，当且仅当 1x时取等号，故 符合要求； (10 分)当 0a时，令 2()(1)gxax，因为 22(1)410aa， 所以 ()x有两个不相等旳实数根 ， 2，不妨设 x，因此 ()fx有极大值又有极小值若 0a，因为 (1)0ga，所以 ()f在 1)， 内有极值点，故 ()fx在 ， 上不单调 （12分）若 0a，可知 120x，因为 ()gx旳图象开口向下，要使 ()fx在 1， 上单调，因为 (0)1g，必须满足1,0. 即 3,.a 所以 0
22、3a . 综上可知， 旳取值范围是 2, (14 分)12、 （中山市 2013 届高三上学期期末）已知函数 ，其中实数 是常baxxf31ba,数（）已知 ， ，求事件 ：“ ”发生旳概率；2,10a,bA0f（）若 是 上旳奇函数， 是 在区间 上旳最小值，求当xfRagxf1,时 旳解析式；1ag（）记 旳导函数为 ，则当 时，对任意 ，总存在fyf2,1x使得 ，求实数 旳取值范围2,0x12()xb解：（）当 时，等可能发生旳基本事件 共有 9 个：,0,1a(,)ab()()()(20)1().， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，其中事件 ： “ ”，包含
23、 6 个基本事件：A3fab(0)1()().， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故 即事件“ ”发生旳概率62()93PA(1)0f23（） 是 上旳奇函数，得 （5 分）1,fxaxbR(0),.fb , 3(),2()fa 当 时，因为 ，所以 ， 在区间 上单调递减，1a1x()fx()f1,从而 ；()3gf 当 时，因为 ，所以 ， 在区间 上单调递增，x()0fx()f,从而 , 1()3gafa综上，知 ,().1,3a（）当 时，1a1,2xfbxf当 02,1,0, xfx时当时，即上 递 增上 递 减 ， 在在fbff3min又 ，32,fbfxx2,2时 ，当而
24、，10,fxx在 上 递 增 ()1,f对任意 ，总存在 使得,2 )(2fff的 值 域 的 值 域 ， -,33b即且 ，解得2-13b1713、 （珠海市 2013 届高三上学期期末）已知函数 ，其中 为常数，且()lnaxfx.0a（1）若曲线 在点（1， ）处旳切线与直线 垂直，求 旳值；()yfx()f 12ya（2）若函数 在区间1，2上旳最小值为 ，求 旳值. 21a解： ( ) 2 分22()()axfxx0（1）因为曲线 在点（1， ）处旳切线与直线 垂直， ，()yfx()f 12xy所以 ，即 4 分()-2f2,3.a解 得(2)当 时， 在（1，2）上恒成立，0()
25、0fx这时 在1，2上为增函数()f6 分minxa当 时，由 得，12()0fx(1,2)a对于 有 在1， a上为减函数，(,)x,()f对于 有 在 a， 2上为增函数，a(fx8 分min()()lfxf当 时， 在（1，2）上恒成立，20x这时 在1，2上为减函数，()f.10 分minl2ax于是，当 时，01min()1fx0当 时， ，令 ，得 11 分1aila2lea当 时， 12 分2min()2fx综上， 14 分ea一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
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