1、1矩阵分析教程(电子版)董增福哈尔滨工业大学数学系2第六章 特征值的估计核心内容：1特征值界的估计2圆盘定理3Hermite矩阵的正定条件与Rayleigh商4广义特征值与广义Rayleigh商36.1 特征值界的估计22 21 1 116.1( ) ,., ,., ( ),(6.1)n nij n nn n niji i ji ni Faa = = = = SchurSchur设 为的 则有A CA不等式不等式定理特征值:下面的定理给出矩阵的 与它的 的F特征值 范数 关系.的 为 是A等号成立 正规矩阵充要条件4H HH H,( ) ( )tr t (6r .2)=这说明 与 故它们的 相
2、等RAA RARAR 相酉 似 迹H13.25( ), , ,( ) ,., ,.,.i nn n n nij n nr =Schur由 存在 使其中 是 为 的 的U UUA CAARU R 上三角证 定理矩阵对角元 特征值定理 H HH HHH( )=取 有上述 二式相乘得U UU RA UA RA R转置共轭5221 1 1, 3.26 ( ).n n niiijiijr r= = = Schur 的 为这说明 是 由 知是AR正 矩阵定理规取酉充要条件对角阵 对角阵似等式 等号相不22 2 H1 1 1 1,tr( )i ii ijn n n ni i i jrr= = = = = 因
3、为 的 为 的 故R AR R上三角阵 对角元 特征值2 2H H1 1 1 1(6.2)( ) ( ) ,tr trn n n nij iji j i ja r= = = = = = 由式A R RA22 21 1 1.n n niji i jFi a= = = 故 A6H HH H, 11( )2 ( )2.,= + = = = A A ACC CB AB B其中显然.nHermite Hermite注:之和任何反矩 矩阵阵一个 阶复数矩阵都可表成一个与一个H H1 ( )2 2,1 ( )n n= + + =A CA A A A A CB设 则+7用矩阵的 范数估计特征值,( ) max
4、 , 1,2,., ;Re ijii j mn i nb = =BmH1H1( )26.2 ( ) ,1 ,., ,(.,2,)n nij n nninna = = + = 设为 的 则A C A A A AA CB C定理特征值,max , 1,2,., ;i ij mi jn a i n = =A,( ) max , 1,2,., .Im ijii j mn i nc = =C8,( 4.17 ( ) , .)i m 若仅证 由 有 故此处证法同时证 .A AA定理:2 22 2 2,1 1 16.1max ,n n nij iji ji i ji i a n a = = = 由 有证 定
5、理 .,max , .ijii j mn a i n = =1,2.,即则 得证.A922H22H1122 (,.( ),) FFFF=+Frobenius由于 下矩阵的所以 R RR R CB范酉相 数 变似 不H H H HH H H H1 ( ),21 ( )1(1( )2 ,2)2= + = += = U U U A A UUR RC RU U U RA ABH H H H, , , ,= =因 由 的定义于是有R R CBU AU U A U1012 112 21 21 1 122 2( ) * * ( ) *12*Re* (ReRe )nnn nn nnr rr rr r + +
6、= = + midhorizellipsis midhorizellipsismidhorizellipsismidhorizellipsisvertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsisvertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsismidhorizellipsismidhorizellipsis11212 12H121221 1( ) ( )20 00 0020nnnn nnr rr rr r + = + midhorizellipsismidhorizelli
7、psismidhorizellipsis midhorizellipsisvertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsis vertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsismidhorizellipsis midhorizellipsis因为R R1112 1121 1 122 2 21 2ImImIm( ) * * ( ) *12* * ( )nn nnnn nr rrirriir = = midhorizellipsis midhorizellipsismidho
8、rizellipsismidhorizellipsisvertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsisvertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsismidhorizellipsismidhorizellipsis11212 12H 122210 00 00 01 1( ) ( )2 2nn nnn nr rr rr r = midhorizellipsismidhorizellipsismidhorizellipsis midhorizellipsisvertell
9、ipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsis vertellipsis vertellipsis downslopeellipsis vertellipsismidhorizellipsis midhorizellipsis因为R R122 22 2 214 ,12 22 2 214 ,1,Re( ) ( ) max ,( ) ( )Im Im max .Rei i i ii in ni ji in ni ji ijiii jicnnb = += =1=1故此即 的等价不等式 2 2( )m 所以有 F注意2 2 2 221 14 2 ,1
10、 12 2 2 221 14 2 ,1 1max ,max .i i in n nij i ji i j i jn n nj ijij i ji i j i jii j ijir nr nc cb b = = =具体作法为:要想 的第个 ,可取 其余要想 的第个 ,可取 其余AA缩放大小盖尔圆盖尔圆29判别矩阵可逆的一种方法1, , (6.12)1,.,jj j j jniijia R j naR= 若满足则说矩阵 .A按 严格对列 角占优16.3 ( ), , 1,., (6.11);ij n nnii jjji i iiaa R a i nR= =若矩阵 满足则说矩阵AA 行按 严格对定义角占优30, ,同理 若矩阵 则 .A A可逆按 严格对角占优列6.6 ,若矩阵 则 .A A按 严定 格对角占优行理 可逆0det 的 .A A A证 特逆 征值均非可 零0000000( ) , ,det0000,i i iiiiia aGGR= 若 有 由 则存在 的使 即这与 所以不是的 .即故 .A AA AA A反证法行按 严圆盘定理 盖尔格 矛对角圆盾占优特征值特征值零可逆
