1、catlan数,令h(0)=1,h(1)1,catalan数满足递归式：h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + . + h(n-1)h(0) (其中n=2)该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,.)http:/ ,斯特林公式,ln(n!) = n * ln(n) - n + 1.0/2 * ln(2 * n * pi),万年历公式,week = (year-1 + (year-1) div 4 - (year-1) div 100 + (year-1) div 400 + days) mod 7week为周几(0为星期日，1为
2、星期一，2为星期二 days为这一天在这一年中的第几天,lucas定理,求c(n,m) mod p的值,p是素数。Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)Cm(n, m, p) m n 时 return 0；Lucas(x,0,p)=1。,欧几里得/辗转相除法,int gcd(int a, int b) return b=0? a: gcd(b, a % b) ;,扩展欧几里得,int exgcd(int a, int b, int ,欧拉函数,phi(n) = n*(1 - 1/p1)*(1 - 1/p2)*.*(1 - 1/pk);p1 p2 .
3、为n 的素因子表示 1 . n 中 与 n 互质的数的个数推导概率解释ex： 1, a 与 1, b 互质对个数 ？,欧拉定理 & 费马小定理,欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n) = 1，则a(n) 1 (mod n)费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) （mod p）,容斥原理,ex： 所有小于 100 的正整数中 有因子2 或3 的数的个数 ？ans = 100 / 2 + 100 / 3 - 100 / 6这就是容斥原理 ! 容斥原理 dfs hdu 4059,java大数,default .,中国剩余定理,ex： 一个数被3除余1，被4
4、除余2，被5除余4，这个数最小是几？http:/ 素数测试,利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a(n-1)%n来判断n的素性当d!=1时,n肯定不是素数当d= 1时,n可能不是素数 1/4.二次探测定理:如果p是一个素数,且0xp,则方程x2%p=1的解为:x=1或 x=p-1.Miller_Rabin测试T次时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4T,pollard-rho大整数质因数分解,它的核心思想是：选取一个随机数a。再选一个随机数b。检查d = gcd(a-b, n) 是否大于1。若大于1，d就是n的一个因子。否则再选取随机数c，检查gcd
5、(a - c, n)和gcd(b - c, n)。如此继续，直到找到n的一个非平凡因子。在最坏情况下，其时间复杂度可能接近sqrt(n)，但在一般条件下，时间复杂度都可以认为是 sqrt( sqrt(n) )。,pollard-rho大整数质因数分解(2),伪代码：int pollard_rho(n)x = y = x0while (d = 1)x = f(x), y = f(f(y)d = gcd(x y, n)if 1 d AND d n then return dif d = n then return FAILURE,baby-giant step,wiki上的的算法:In group
6、 theory, a branch of mathematics, the baby-step giant-step algorithm is a series of well-defined steps to compute the discrete logarithm. The discrete log problem is of fundamental importance to the area of public key cryptography. Many of the most commonly used cryptography systems are based on the
7、 assumption that the discrete log is extremely difficult to compute; the more difficult it is, the more security it provides a data transfer. One way to increase the difficulty of the discrete log problem is to base the cryptosystem on a larger group.,baby-giant step(2),告诉 a mod b 求最小的x 使 ax % mod = bgcd(a, mod) = 1 如果 gcd(a, mod) != 1 又怎么办 。,
