1、比和比例的意义与性质【考点内容】了解比、除法、分数的关系，掌握求比值和化简比的方法，理解比和比例的意义和基本性质，掌握正比例和反比例的变化规律，了解比例尺的意义和作用。【知识梳理】1、比的意义和性质1. 比的意义（1）比：两个数相除又叫两个数的比。在两个数的比中，比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。（2）比和除法、分数的关系项目名称 比 除法 分数前项 被除数 分子比号 除号 分数线后项 除数 分母各部分名称比值 商 分数值书写形式 a:b ab a/b意义 表示两个数的倍数关系。 是一种运算。可以表示两个数的倍数关系，还可以是一个数。联系性质
2、相似。可以相互转化。比的后项、除法的除数、分数的分母都不能为 0。2. 比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。3. 求比值和化简比（1）求比值求比的前项除以后项所得的商的过程，叫求比值。比值通常用分数表示，也可以用小数和整数表示。（2）化简比比的前项和后项都是整数，并且互质，这样的比就是最简单的整数比。根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比，这个过程就叫化简比，也叫比的化简。（3）求比值和化简比的区别内容项目 意义 方法 结果求比值 求用比的前项除以后项所得的商 根据比值的意义，用前项除以后项。 是一个数。化简比 把比化成最简单的整数比。根据比的基本性质，
3、前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外）。是一个比。2、比例的意义1. 比例的意义（1）比例表示两个比相等的式子叫比例。组成比例的四个数，叫比例的项。两端的两项叫比例的外项，中间的两项叫比例的内项。（2）比和比例的区别比表示两个数相除的关系，有四项，前项和后项不能交换位置。比例表示两个比相等的关系，有四项，等号左边和右边可以交换位置。2. 比例的基本性质在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。3. 解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫解比例。【例题讲解】例 1 把 4：9 的前项加 8，要使比值不变，后项也要加 8。
4、（ ）【考点】考查比的性质。【解析】根据比的性质，前项加 8，变为 12，即扩大到原来的 3 倍，要使比值不变，后项也应扩大到原来的 3 倍，结果为 27，所以后项要加 18。例 2 甲数的 3/4 等于乙数的 4/5，且甲、乙两数均不为 0，则甲数与乙数的比是（ ）。【考点】考查比例的基本性质。【解析】根据题意可列出关系式：甲数3/4=乙数4/5。联系比例的基本性质得出：甲数：乙数=4/5：3/4，化简后得：甲数：乙数=16：15。例 3 在一次数学测验中，甲、乙两同学所得的分数比是 5：4.如果甲少得 22.5 分，乙多得22.5 分，则他们的分数比是 5：7.甲、乙原来各得多少分？【考点
5、】列比例方程。【方法点拨】设原来甲的得分是 5X 分，那么乙的得分是 4X 分，根据得分变化，可列出比例方程为：（5X-22.5）：（4X+22.5）=5：7，再按解比例的方法，可求出 X 的值。最后分别求出甲、乙两同学原来的分数。【解析】设原来甲的得分是 5X 分，那么乙的得分是 4X 分，依题意：（5X-22.5）：（4X+22.5）=5：7（5X-22.5）7=（4X+22.5）535X-157.5=20X+112.515X=270X=18所以，甲同学原来的得分：185=90（分），乙同学原来的得分：184=72（分）【课堂练习】1. 把 3/5 吨：400 千克化成最简的整数比是（ ）
6、，比值是（ ）。2. 在一个比例中，已知两个内项互为倒数，其中一个外项是 2.5，一个内项是 3，则另一个外项是（ ），组成的比例式是（ ）。3. 将比的前项乘以 2，后项除以 1/2，比值将（ ）A. 乘 2 B.乘 4 C.除以 1/2 D.不变4. 甲把自己的钱的 1/3 给了乙以后，甲、乙两人的钱数相等，甲、乙原有钱数的比是（ ）。A.1：3 B.3：1 C.3：5 D.5：35. X：3/8=8：3/5 1/4：1/7=1/3：（4-X）6. 小华看一本书，第一天看了全书的 1/3，第二天看了 18 页，这时已看的页数和剩下的页数之比是 7：5。那么小华第一天看了多少也？7. 一段路
7、程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是 1：2：3某人走各段路所用时间之比依次是 4：5：6已知他上坡时速度为每小时 3 千米路程全长 50 千米问：此人走完全程用了多少时间？正比例和反比例【知识梳理】1、正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫成正比例的量，它们的关系叫正比例关系。若用字母 X 和 Y 表示两种相关联的量，用 k（k0）表示它们的比值（一定），则正比例关系可以用式子 Y/X=k 表示。2、反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫成反比例的
8、量，它们的关系叫反比例关系。若用字母 X 和 Y 表示两种相关联的量，用 k（k0）表示它们的乘积（一定），则反比例关系可以用式子 XY=k 表示。3、正、反比例的联系与区别不同点名称项目 相同点特征 关系式正比例 两种量中，相对应的两个数的比值一定。 Y/X=k（非 0 定值）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 两种量中，相对应的两个数的积一定。 XY=k（非 0 定值）【例题讲解】例 1 下列各选项中，相关联的两种量成正比例关系的是( ).A.等边三角形的周长和任意一边的长度 B.圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高 C.正方体的棱长一定，正方体的体积和底面积 D.利息和利
9、率【方法点拨】判断两种相关联的量是否成正比例，就看它们是不是比值一定，若比值一定，则成，否则，就不成；据此逐项进行分析后再选择【答案详解】A、因为等边三角形周长边长=3(一定)，所以等边三角形的周长和边长成正比例B、圆锥的底面积高=体积3(一定)，是乘积一定，圆锥的底面积和高成反比例C、体积底面积=高(一定)，是比值一定，所以正方体的体积和底面积成反比例.D、利息(利率时间)=本金(一定)，是比值一定，所以利息和利率成反比例.故本题的答案选 A。例 2 下表中，已知 a 与 b 是两种相关联的量。a 60 Xb 15 50（1）当 X=200 时，a 和 b 成（ ）比例。（2）当 X=（ ）
10、时，a 和 b 成反比例。【方法点拨】该题考查对正比例和反比例的灵活运用，可以结合正、反比例的特征来解答。【解析】在 a 与 b 两种量相关联的情况下，（1）将 X=200 代入该表格中，有以下等式 60/15=200/50=4，所以 a 和 b 成正比例。（2）根据反比例的特征，a 与 b 的乘积为定值，即 50X=6015，解得 X=18。【课堂练习】1.下列各式中 a 和 b（a，b 均不为 0）成反比例关系的是（ ）。Aa =1 Ba8= C9a=6b D =b2.已知 x，y(均不为 0)满足 1/3X= 1/4Y ，则 X 和 Y 成( )比例关系，并且 X:Y( ):( ).3.
11、下图表示一辆汽车在公路上行 驶的时间与路程的关系，这辆汽车行驶的时间与路程成（ ）比例。照这样计算，5.5 小时行驶（ ）千米。4.甲加工 3 个零件用了 40 分钟，乙加工 4 个零件用 30 分钟，甲、乙工作效率之比为（ ）。A.3：4 B.4:3 C.9:16 D.16:95.完成一项工作，甲需要 10 小时，乙需要 15 小时，甲的工作效率比乙的工作效率高百分之几？比例尺1、比例尺的概念一幅图的图上距离和实际距离的比，叫这幅图的比例尺，即图上距离：实际距离=比例尺，或图上距离/实际距离=比例尺。2、比例尺的分类1. 数值比例尺为了计算方便，通常把比例尺写成前项或后项是 1 的比。例如
12、1：100000，15：1，1/100000。2. 线段比例尺在图上附有一条表明数量的线段。例如：【例题讲解】例 1 在一幅比例尺是 1：1000000 的地图上量得甲、乙两地的距离是 3.5 厘米，甲、乙两地的实际距离是（ ）千米。【方法点拨】考查灵活运用“图上距离：实际距离=比例尺”来解决实际问题。解：比例尺 1：1000000 表示地图上的 1 厘米是实际的 1000000 厘米，则地图上的 3.5 厘米表示实际距离为 3500000 厘米，即 35 千米。例 2 在一副比例尺是 1：3000000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 8cm。在另一幅地图上量得甲、乙两地的距离是 6cm，
13、这幅地图的比例尺是多少？【方法点拨】考查“图上距离/实际距离=比例尺”的灵活运用。解：先根据已知地图的比例尺和图上距离，可求得甲、乙两地的实际距离为8（1/3000000）=24000000（cm）；再利用公式求得该地图的比例尺是6/24000000=1/40000000，即这幅地图的比例尺为 1：4000000。专题综合测试一、填空。（42 分）1.北京到天津的实际距离是 120 千米，在一幅地图上量得两地的图上距离是 2 厘米，那么这幅地图的比例尺是（ ）。2.一个长方形的周长是 130 厘米，长与宽的比是 3：2，那么该长方形的面积是（ ）平方厘米3.已知 5x=3y，那么 x 和 y
14、成（ ）比例关系；若 5：x=y：3，那么 x 和 y 成（ ）比例关系。4.若 a：b=1：3，b：c=2：5，且 a+b+c=69，则 a=（ ）。二、判断。（32 分）5.3.5：0.7 的比值是 5：1。 （ ）6.比例尺一定，图上距离与实际距离成反比例关系。 （ ）7.一条长 2.5 千米的飞机跑道，如果把它画在比例尺是 1：50000 的图纸商，这条跑道长 0.5厘米。 （ ）三、选择。（42 分）8.比的前项扩大到原来的 3 倍，后项除以 1/3，比值（ ）A.扩大到原来的 3 倍 B.扩大到原来的 9 倍 C.缩小到原来的 1/3 D.不变9.小学生学习报全国定价每份 39.6
15、 元，则六（1）班订阅份数和总钱数（ ）关系。A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 D.无法确定10.在下面各比中，能与 1/5：1/7 组成比例的是（ ）。A.1/：1/5 B.5：7 C.7：5 D.0.5：0.711.红旗面数是黄旗的 5/4 倍，那么红旗面数和两种彩旗总数的比是（ ）。A.5：4 B.5：9 C.9：5 D.4：5四、计算。（18 分）12.化简下面各比并求比值。（62 分）0.5：4 3/2：7/4 2/5：0.2 0.7：0.25 4.5：2.7 5 厘米：1.5 厘米13.解比例。（23 分）（1）0.6/12=1.5/X （2）6：X=1/5：1/3五、解决问题。（18 分）14.有大、中、小三种杯子，2 大杯相当于 5 中杯，3 中杯相当于 4 小杯。如果记号表示2 大杯、3 中杯、4 小杯容量之和，记号表示 5 大杯、4 中杯、3 小杯容量之和，那么记号与记号的容量之比是多少？
