1、艾滋病之役摘要本文研究的是艾滋病的预测和预防问题，艾滋病毒肆虐人间已达 26 年之久，严重威胁着人类的健康和社会的发展，因此我们研究有关艾滋病的预测和预防问题显得越来越必要。对问题 1，运用传染病基本原理，将人群分为两大类、六小类，即易感人群（正常男性、正常女性、正常婴儿）与感染人群（HIV 男性感染者、HIV 女性感染者、HIV 婴儿感染者） ，同时考虑艾滋病自身特色的三种传播途径，在无任何干预下，在经典传染病模型的基础上，建立了艾滋病传染的差分模型。然后，考虑两种基本干预（ARV 与预防性疫苗的使用）对不同传播途径的阻碍，引入药物的覆盖率，作为对各自传播途径的阻碍因子，建立了干预下的差分模
2、型。对问题 2，首先基于国内艾滋病发病的严重程度与人均 GNP，确定分类的指标，将国家分为可援助与待援助两类，在相应的假设下得到各国期望而且有可能得到的用于抗击 HIV/AIDS 的来自国外捐赠人资助的资金水平。然后，考虑各国可用于抗击 HIV/AIDS 的资金总额，包括国外援助与国内预算。最后，对三种方案分开做了较为详细的讨论，特别是方案 1、2.对方案 1，按可用资金的覆盖率，作为阻碍因子，运用 1 中的干预模型求解；对方案 2，将时间分段，在较为合理的假设下，建立疫苗的投入使用年份与额外投资的关系，得到投入使用年份，在人群的不同的接种率下，得到疫苗的阻碍因子，并在干预模型下求解；对方案
3、3，在方案 1、2 的基础上，考虑资金的分配比，结合查分方程组与单目标规划，得到最佳的分配比，同时得到艾滋病感染者的变化率。关键词：差分模型 HIV 感染率 目标规划1、问题重述艾滋病严重地威胁着人类的生存，已引起世界卫生组织及各国政府的高度重视。艾滋病在世界范围内的传播越来越迅猛，严重威胁着人类的健康和社会的发展，已成为威胁人们健康的第四大杀手。HIV/AIDS(人体免疫缺损病毒/艾滋病)的大范围流行已经进入第 25 年，由于这种疾病导致的感染人数和死亡人数一直在不断上升.尽管已经付出了巨大的努力，但是国际社会对怎样才能最有效地抗击这种流行病仍然心中无数。各国政府对防止艾滋病蔓延应予以充分重
4、视，以防止状况进一步恶化。据专家介绍，艾滋病病毒感染者从感染初期算起，要经过数年、甚至长达 10 年或更长的潜伏期后才会发展成艾滋病病人。对于怎样管理可利用的资源来抗击 HIV/AIDS 提出建议，对令人关注的几种方案进行建模, 并用模型就资金分配提出建议. 下面的说明提供了某些背景资料, 也概述了特定的任务.任务 1：在每个大洲(非洲、亚洲、欧洲、北美洲、澳洲和南美洲)选择一个你们认为在 HIV/AIDS 方面是最严重的国家.建立模型来粗略估计这些国家在没有任何其他的干预时从 2006 年到 2050 年 HIV/AIDS 感染人数的变化率. 确切地解释你们的模型以及作为你们的模型的基础的那
5、些假设.另外,解释一下你们是如何选择要对之进行建模的国家的.任务 2 首先, 对你 2006 到 2050 年们在任务 1 中选择的国家, 从按年评估你们实际上期望得到的可以用于抗击 HIV/AIDS 的来自国外捐赠人资助的资金水平. 然后, 对下面三种方案的符合实际的假设下, 利用你们在任务 1 中研制的模型以及这些资金资源的估计, 评估你们选定的国家 2006-2050 年 HIV/AIDS 感染人数预期的变化率:(1) Antiretroviral (ARV)药物治疗(2) 预防性 HIV/AIDS 疫苗(3) 同时采用 ARV 准备和预防性 HIV/AIDS 疫苗假设上述三种方案都不会
6、有出现 HIV 抗药菌株的风险(你们将在任务 3 中考察这个问题).可以选择在收支取舍点、疾病负担等的基础上对任务 1 中选定的所有国家或部分国家执行上述三种方案. 对于预防性 HIV 疫苗，请对(除了你们可能已经选来包括在你们模型中的其它因素以外的)以下情况做出你们认为合理的假设：(1) 预防性 HIV/AIDS 疫苗可以投入实用的年份(2) 多快的疫苗接种率有可能达到以下的疫苗接种的稳定水平:a. 如果你们希望使新的一群人(幼儿)得到免疫, 那么就假设按国家的新的人群的稳定接种水平就是 WHO(2002)报告的白喉-百日咳-破伤风疫苗第三剂(DTP3)的免疫率b. 如果你们希望使成人(5
7、岁以上的人群)得到免疫, 那么就假设年龄较大人群的稳定接种水平就是 WHO(2002)报告的破伤风类毒素第二剂(TT2)的免疫率(3) 疫苗的功效及其有效期(4) 是否存在来自疫苗接种的流行病学的外部偶然因素(5) 假设疫苗是三剂的(three-dose), 而且可以加进疫苗的标准封装随着 WHO 的免疫扩展计划(EPI)一起以另外 0.75 美元的增加成本发放.任务 3：考虑以下关于 ARV 抗药性菌株的研制的假设, 重新阐明你们在任务 2 中研制的三个模型当前的评估表明, 采用 ARV 治疗的病人的坚持程度低于 90-95的话, 有产生抗药性菌株的“巨大危险”. 在你们的分析中可以采用假设
8、：接受 ARV 治疗的病人的坚持程度低于 90, 就有 5的可能性产生对抗标准的一线药物治疗的 HIV/AIDS 菌株产生抗药性. 人们也可以使用二线和三线药物治疗但在你们的分析中应假设, 要在欧洲、日本和美国以外的国家要使用这些药物将会是昂贵得负担不起的.任务 4：向联合国写一份白皮书，就如下问题提出你们的建议：(1) 就抗击 HIV/AIDS 中 ARV 药物的供应和预防性 HIV 疫苗的可利用资源的分配提出建议(2) 相对于其他外交政策的优先性而言, 你们关于怎样权衡作为国际关心的HIV/AIDS 的重要性的论证(3) 你们对怎样协调捐赠人对 HIV/AIDS 的介入的建议二、模型假设（
9、1）不考虑艾滋病毒的二次感染；（2）在预测中使用的参量不随时间变化；（3）HIV 感染女性的生育情况与正常女性相同；（4）在预测中，不考虑病毒变异等新情况的发生；（5）在期望国外捐助时只考虑艾滋病疫情和各国 GNP，不考虑其他因素；三、符号说明参量 意义dearh-rate1 成年人非艾滋病致亡率death-rate2 婴儿非艾滋病致亡率death-rate3 艾滋病患者死亡率k(1,1) 每年生育的 normalb 人数占 normalw 的百分比k(1,2) 每年生育的 hivb 人数占 hivw 的百分比k(2,1) 每年 normalm 因性接触成为 hivm 的人数占 normalm
10、 的百分比k(2,2) 每年 normalw 因性接触成为 hivw 的人数占 normalw 的百分比k(3,1) 每年 normalm 因血液传播成为 hivb 的人数占 normalm 的百分比k(3,2) 每年 normalw 因血液传播成为 hivw 的人数占 normalw 的百分比k(3,3) 每年 normalb 因血液传播成为 hivb 的人数占 normalb 的百分比k(4,1) 每年 normalb 成长为 normalm 的人数占 normalb 的百分比k(4,2) 每年 normalb 成长为 normalw 的人数占 normalb 的百分比k(5,1) 每年
11、hivb 成长为 hivm 的人数占 hivb 的百分比k(5,2) 每年 hivb 成长为 hivw 的人数占 hivb 的百分比k(6,1) 每年 normalm 非艾滋病致亡的百分比k(6,2) 每年 hivm 非艾滋病致亡的百分比k(7,1) 每年 normalw 非艾滋病致亡的百分比k(7,2) 每年 hivw 非艾滋病致亡的百分比k(8,1) 每年 normalb 非艾滋病致亡的百分比k(8,2) 每年 hivb 非艾滋病致亡的百分比k(10,1) 每年 hivm 因艾滋病死亡的百分比k(10,2) 每年 hivw 因艾滋病死亡的百分比变量 意义normalm 没有携带 HIV 病
12、毒的正常男性normalw 没有携带 HIV 病毒的正常女性normalb 没有携带 HIV 病毒的正常婴儿hivm HIV 男性感染者hivw HIV 女性感染者hivb HIV 婴儿感染者四、问题分析本文研究的是艾滋病的预测与预防问题，自年美国研究人员发现世界首例艾滋病病例后，艾滋病在全球范围内迅速蔓延，逐渐成为全球关注的重要公共卫生事件和社会热点问题。艾滋病的传播途径主要分为三种：性接触传播、血液传播、母婴传播。就人们是否感染 HIV 病毒可以将人群分为两大类，6 小类即：已感染者和未感染者两大类，其中未感染者分为正常男性、正常女性和正常婴儿，已感染者包括 HIV 男性、HIV 女性以及
13、 HIV 婴儿。这几类人群之间的关系如下所示：正常男性 正常女性 正常婴儿HIV 男性 HIV 女性 HIV 婴儿人群关系流程图路径说明：1：艾滋病毒的母婴传播 2：因性接触而感染 HIV 病毒3：因血液传播而感染 HIV 病毒 4：正常成长5：因艾滋病而死 6：正常生育7：非艾滋原因正常死亡 上述人群关系流程图为客观存在的，一般不会因认为的干预而变动，故在以下的求解中均可运用。在任务一无任何干预的情况下，可直接由此流程图列节点方程，图中各条路径中的参量可以根据题目已给数据和网上查找得到，具体数据见附录。当人们进行药物治疗、疫苗预防等手段干预时，只是一些参数需要改变，具体的流程还是如上图所示。
14、五、模型建立5.1 任务一5.1.1 国家的选择大洲代表国家的选择，可以根据题目建议选择艾滋疫情较为严重的国家，根据题目提供的 hiv_aids_data.xls 表格中的数据，可以很容易的找出各个大洲艾滋病感染人数最多的国家分别是 south Africa 、India、USA 、Russian federation 、Australia 、Brazil。这些国家的艾滋病感染人数在其所在的大洲中是最高的，而且艾滋病患者占本国总人口的百分比也相对较高，例如南非，其国家艾滋病患者有 550 万人，为世界之最，而且患者人数占本国人口的百分比也高达 20%；至于印度，虽然 HIV 感染人数占本国的百
15、分比较小，但由于其人口基数较大，所以患者人数也不容小视。故，选这六个国家来作为六大洲艾滋疫情的代表国家是合乎情理的。5.1.2 差分模型的建立根据人群关系流程图，每个节点的输入、输出与现状都处于动态平衡，下面我们给出了每个节点的含义解释，并由此列出每个节点的差分方程：（1）相比第 t 年，第 t+1 年初种群 normalm 的数量一方面因为第 t 年种群normalb 的成长而增加，另一方面，又因为第 t 年由传播途径 2、3 转化为 HIV携带者，以及非艾滋病致亡而减少 4,12,13,16,(1)()*()*()*()normaltnoralmtknoalbtknormalwtknorm
16、alt（2）相比第 t 年，第 t+1 年初种群 normalw 的数量一方面因为第 t 年种群normalb 的成长而增加，另一方面，又因为第 t 年由传播途径 2、3 转化为 HIV携带者，以及非艾滋病致亡而减少 4,22, 3,27,1(1)()*()*()*()normalwtnoraltknomalbtknoralmtknormalwt（3）相比第 t 年，第 t+1 年初种群 normalb 一方面因为第 t 年种群 normalw 的生育而增加，另一方面又因为自身的死亡、通过途径 3 转化为携带者，以及正常成长为 normalm、normalw 而减少 1, 4,14,23,8,
17、1(1)()*()*()*()*()nomalbtnoralbtknomalwtknoralbtknormalbtknormalbt（4）相比第 t 年，第 t+1 年初种群 hivm 因为第 t 年种群 normalm 经途径 2、3转化，以及 hivb 的成长而增加，又因为自身非艾滋病致亡，以及潜伏期结束转化为种群 aidsm 而减少 3,12,16,29,15,1(1)()*()*()*()*()hivmtivtknormaltkhivwtkhivmtkhivbt（5）相比第 t 年，第 t+1 年初种群 hivw 因为第 t 年种群 normalw 经途径 2、3转化，以及 hivb
18、的成长而增加，又因为自身非艾滋病致亡，以及潜伏期结束转化为种群 aidsw 而减少 3,22, 7,29, 5,2(1)()*()*()*()*()hivwtivtknormalwtkhivtkhivwtkhivbt（6）相比第 t 年，第 t+1 年初种群 hivb 一方面因为第 t 年种群 hivw 的生育以及 normalb 经途径 3 转化为携带者 hivb 而增加，另一方面又因为自身的非艾滋病致亡，以及成长为 hivm、hivw 而减少1,23, 5,15,28,2(1)()*()*()*()*()*()hivbtivtkhivwtknormalbtkhivbtkhivbtkhivb
19、t根据上述六个差分方程可以计算出每一年各种人群的数量，由此可以建立每年艾滋病毒感染者的变化率模型：第 t 年初，HIV/AIDS 受害者由本年初种群 hivm(t)、hivw(t)、以及 hivb(t)组成，()()()hivctmhivtiwthivbt第 t+1 年初，艾滋病感染者的人数相对第 t 年初的人数的变化率， (1)var(1)hivcthitm5.1.3 模型求解根据以上模型，以美国为例，利用 MATLAB 数学工具可以求得结果如下：美国 2005-2050 人口预测年份 Normalm Normalw Normalb HIVm HIVw HIVb 变化率200515200 1
20、5200 1707.872 42.5 42.5 4.60676200615236.32 15236.328 1781.310 43.2816 43.2816 4.84698 0.0198200715279.67 15279.678 1840.567 44.0819 44.0819 5.05944 0.0196200815328.57 15328.571 1888.776 44.8984 44.8984 5.25039 0.0193200915381.85 15381.852 1928.379 45.7290 45.7290 5.42476 0.0191201015438.62 15438.62
21、2 1961.281 46.5721 46.5721 5.58637 0.0188201115498.18 15498.180 1988.967 47.4264 47.4264 5.73819 0.0186201215559.98 15559.980 2012.594 48.2910 48.2910 5.88259 0.0184201315623.59 15623.596 2033.067 49.1652 49.1653 6.02139 0.0182201415688.69 15688.696 2051.089 50.0485 50.0485 6.15601 0.0180201515755.0
22、2 15755.023 2067.209 50.9404 50.9404 6.28759 0.017815822.37 15822.375 2081.855 51.8405 51.8405 6.41697 0.01772016201715890.59 15890.595 2095.361 52.7486 52.7486 6.54485 0.0175201815959.56 15959.563 2107.989 53.6646 53.6646 6.67178 0.0173201916029.18 16029.184 2119.939 54.5883 54.5883 6.79816 0.01712
23、02016099.38 16099.384 2131.371 55.5196 55.5196 6.9243 0.0170202116170.10 16170.106 2142.409 56.4585 56.4585 7.0505 0.0168202216241.30 16241.306 2153.148 57.4049 57.4049 7.1769 0.0167202316312.95 16312.951 2163.665 58.358 58.358 7.3038 0.0165202416385.01 16385.012 2174.017 59.320 59.320 7.4313 0.0164
24、202516457.47 16457.472 2184.250 60.289 60.289 7.5593 0.0162202616530.31 16530.315 2194.401 61.265 61.265 7.6880 0.0161202716603.52 16603.528 2204.496 62.249 62.249 7.8175 0.0160202816677.10 16677.102 2214.559 63.241 63.240 7.9479 0.0158202916751.03 16751.033 2224.605 64.240 64.240 8.0791 0.015720301
25、6825.31 16825.314 2234.648 65.246 65.246 8.2112 0.0156203116899.94 16899.942 2244.699 66.261 66.261 8.3443 0.0155203216974.91 16974.915 2254.765 67.283 67.283 8.4783 0.0153203317050.23 17050.231 2264.854 68.313 68.313 8.6132 0.0152203417125.89 17125.890 2274.970 69.350 69.350 8.7492 0.0151203517201.
26、89 17201.892 2285.118 70.396 70.396 8.88620.0150203617278.23 17278.236 2295.299 71.449 71.449 9.0242 0.0149203717354.92 17354.922 2305.518 72.511 72.510 9.1632 0.0148203817431.95 17431.953 2315.775 73.580 73.580 9.3032 0.0147203917509.32 17509.327 2326.073 74.657 74.657 9.4443 0.0146204017587.04 175
27、87.047 2336.413 75.743 75.743 9.5865 0.0145204117665.11 17665.113 2346.796 76.836 76.836 9.7297 0.0144204217743.52 17743.527 2357.222 77.938 77.938 9.8740 0.0143204317822.29 17822.290 2367.693 79.048 79.048 10.0193 0.0142204417901.40 17901.404 2378.208 80.166 80.166 10.1658 0.014117980.86 17980.869
28、2388.769 81.293 81.293 10.3133 0.01402045204618060.68 18060.687 2399.377 82.427 82.427 10.4620 0.0139204718140.86 18140.860 2410.030 83.571 83.571 10.6117 0.0138204818221.38 18221.389 2420.731 84.723 84.723 10.7626 0.0137204918302.27 18302.276 2431.478 85.883 85.883 10.9146 0.0136205018383.52 18383.
29、522 2442.273 87.052 87.052 11.0678 0.0136根据上面计算所得结果，可以很容易的看出，在没有外界干预的情况下，美国的总人口在不断的增加，HIV 病毒的感染者也在不断增加，不管是成人还是婴儿中的艾滋病患者都在增加，但是由于在本文中用到的数据都是体现目前国际情况，所以还是有一定的人为干预存在，故，此次计算得到的数据有失一定的准确性，特别是在艾滋病人数变化率上，结果显示虽然患者总人数在增加，但相对于国家总人数的增加，患者的增长率有减小趋势。由此说明，在未来的45 年，如果没有人为干预，美国的艾滋病感染者将会持续增加，而且很可能比数据显示的更加严重。5.1.4 疫苗
30、使用模型考虑 ARV 以及疫苗的使用：ARV 的作用群体该是 HIV 携带者以及 AIDS 患者，而疫苗的作用群体该是易感人群。疫苗的使用降低了易感人群转化为携带者的比率，等价于将转化率打折扣(1-pi)（其中 pi 可视为疫苗的效用，与疫苗的接种水平正相关） ；同样，ARV的使用一方面降低了 HIV 携带者转化为 AIDS 的比率，等价于将转化率打折扣(1-qi)（其中 qi 可视为 ARV 对携带者的效用，与普及程度正相关） ，另一方面，完成由 AIDS 患者向 HIV 携带者的转化 ri（其中 ri 可视为 ARV 对 AIDS 患者的效用） 。其中 pi 表示易感人群中种群 i 使用疫
31、苗的效用，qi 表示 HIV 携带者中种群 i 使用 ARV 的效用，ri 表示 AIDS 中种群 i 中使用 ARV 的效用,即转化为HIV 携带者的百分比。在上述模型以及种群数量流动图的基础上，再加入 ARV及疫苗的使用因素，同样将人群分为两大类，六小类，按三种传播方式考虑种群数量的流动，在上述模型的基础上对模型稍做修改。即将上述参变量打折扣来替换：m(1,1)=k(1,1) m(1,2)=k(1,2) m(2,1)=(1-p1)*k(2,1)m(2,2)=(1-p2)*k(2,2) m(3,1)=(1-p1)*k(3,1) m(3,2)=(1-p2)*k(3,2) m(3,3)=(1-p
32、3)*k(3,3)m(4,1)=k(4,1) m(4,2)=k(4,2) m(5,1)=k(5,1) m(5,2)=k(5,2) m(6,1)=k(6,1) m(6,2)=k(6,2) m(10,1)=(1-q1)*k(10,1) m(7,1)=k(7,1) m(7,2)=k(7,2) m(10,2)=(1-q2)*k(10,2)m(8,1)=k(8,1) m(8,2)=k(8,2) m(9,1)=k(9,1) m(9,2)=k(9,2)5.2 任务二5.2.1 期望国外捐助资金模型考虑国家得到用于抗击 HIV/AIDS 的来自国外捐赠人资助的资金水平aidmoney，做如下分析：各国所得 a
33、idmoney 与本国国情紧密相关，在此我们只考虑抗击 HIV/AIDS的两个比较关键的决定因素：HIV/AIDS 疫情的严重程度、国家 GNP。国家得到国外捐赠资助与国内 HIV/AIDS 的严重程度正相关，与本国 GNP 呈负相关，即，HIV/AIDS 疫情越严重，GNP 越低，期望得到的国外援助越多，反之越少。对于国内 HIV/AIDS 疫情的严重程度，用 HIV/AIDS 患者（包括携带者）占本国总人口的百分比来评价。加入期望因子 t1 来评定各国所应得到的 aidmoney 的大小。另一方面，若只是单纯的聚天下可用之财用之于天下，这是不太现实的。所以，应该考虑那些国家有援助的能力，得
34、到世界上可以用来援助的总资金，再按各国所需 aidmoney 占总的 aidmoney 的百分比来分配。同样，是否有援助的能力可用援助能力的大小来判断。而援助能力的大小与本国国情息息相关，在此也只考虑抗击 HIV/AIDS 的两个比较关键的决定因素：国家 HIV/AIDS 疫情的严重程度和国家 GNP。国家的援助能力与国内 HIV/AIDS 的严重程度负相关，与本国 GNP 呈正相关，即 HIV/AIDS 越严重，人均 GNP 越低，国家的援助能力越小，反之越大。加入援助因子 t2,来评定援助能力的大小。由此可以得到期望因子和援助能力的模型： 1*tkMatixlvergnp2根据 t1、t2
35、，我们将所给 186 个国家分为两类：(1) 0,需要得到援助的国家，令其 =0；1t 2t(2) 0,有能力援助他国的国家，令其 =0；2 1各国拿出国内总收入的一定比例来作为捐助国外抗击 HIV/AIDS 的资金，该比例设为 aidp, 可用于捐赠援助的资金总额为 sumaid。则186()()isumadpavergnpioulatin将期望因子归一化处理，得到各国所得的 aidmoney 的比例，算出各国所得aidmoney. 186()ijtaidmoneysumaid综上所述，各个国家期望得到国外捐助的模型为：186()ijtaidmoneysumaidSt.186 2112 22
36、1 ()()00*() ii iiisupvergpioltnttttkMatxla 当 时 ， 令当 时 ， 令5.2.2 方案选择下面考虑国家可用于抗击 HIV/AIDS 的国内财政预算：在收支取舍点、疾病负担等的基础上，假设各国拿出一定比例的 GNP 作为用于抗击 HIV/AIDS 的国内财政预算，设此固定比例为 countryp。同时用矩阵countrym 来存储这笔资金，即：Countrym(i)=averagegnp(i)*countryp(i)*population(i).在以上分析的基础上，考虑各国可用于用于抗击 HIV/AIDS 的全部资金的期望,用矩阵 fund 来存储，即
37、：fund(i)=countrym(i)+aidmoney(i)在得到各国可用于用于抗击 HIV/AIDS 的全部资金的期望的情况下，我们来考虑三种方案下的艾滋病人数变化率。(1) Antiretroviral (ARV)药物治疗ARV 的疗效在很大程度上依赖于能否坚持医疗制度及严格的监督.不能坚持或者不恰当的治疗会导致两方面的严重后果.一方面, 对接受治疗的个人治疗可能没有效果.其次，不能坚持或者不恰当的治疗会导致患者体内出现抗药性菌株. 所以，我们考虑的 ARV 治疗条件是具有广泛咨询和医生护理的井井有条的计划, 以及定期的检查以监视病情的发展以及机会感染的发病率。在这样的治疗条件下，资金
38、全额分配下去，假设凡是资金覆盖到的受害者都会朝有利于自身的种群转化，即病情会减轻，但不会消除. 这样，将资金覆盖到的受害者占所有受害者的百分比做为 ARV 对受害人群的效用是合理的。记每人每年使用 ARV 的费用为 cost.此时，在问题一的改进模型的基础上，取定参量：p1(t)=p2(t)=p3(t)=0,q1(t)=q2(t)=q3(t)=fund(t)/(cost*population(t)在上述参量下，按 1 中的改进模型求解方案.(2) 预防性 HIV/AIDS 疫苗由于疫苗尚处于研制阶段，而且一般来说，疫苗的研制与投入的经费密切联系。在方案二下，可以将时间分为两个阶段：疫苗的研制阶
39、段、疫苗的投入使用。第一阶段：资金应尽可能集中，加大投资力度。所以，在疫苗的实际投入使用年份上，假设世界各国将本国用于抗击 HIV/AIDS 的经费的全额 fund 用于世界预防 HIV/AIDS 疫苗的研究。即，在第一阶段，每年的各国 fund(i)资金之和 sumfund 是对现有 HIV/AIDS 疫苗的研究的额外投入。根据目前资料，预防性疫苗有可能在未来 5 到 15 年研制成功。假设疫苗会在未来 5 到 15 年研制成功，但具体时间与对疫苗研制的额外投入有关，设这个额外投入占 sumfund 的百分比为 extrap，与时间无关，即每年的投入百分比一定，假设投入使用的年份距2005
40、年 endt 年。按工程师法则，endt 与 extrap 呈线性关系，即：endt=15-10*extrap.如果 endt 不是整数，那么我们按向上取整来确定实际投入使用年份。在方案二下，假设 sumfund 会在第一阶段全额投入到研制工作中，即 extrap=1,于是 endt=5。也就是说，疫苗会在 2010 年投入使用。第二阶段，基本假设和计算步骤如下：基本假设：1.假设疫苗的有效期为五年；2.假设接种疫苗的人群在疫苗有效期内不会感染 HIV 病毒；3.由于相比成人，婴儿的自我保护能力太小，接种人数一定的情况下，对婴儿的接种比对成人的接种更重要。因此，该首先考虑对婴儿的接种，即，每年
41、婴儿的接种水平等于婴儿接种的稳定水平,设为 vacp；4.成人的接种水平，对性别没有偏好。凡是五年之内接种的成人，都不会被感染。因此，可以认为，某年成人的接种水平等于本年没有感染病毒的正常人群中处于疫苗有效期内的总人口数与本年正常人口总数的比例。5.考虑疫苗的费用。设对疫苗的使用，平均每人每年的费用为costv.计算某年疫苗的功效 p1(t)、p2(t)、p3(t),以 2010 年为起点：计算步骤： 1、建立每年可以接种的人数的矩阵 R，婴儿的接种人数 RB，则：R(t)=fund(t)/costv,RB(t)=normalb(t)*vacp则正常男性、正常女性的接种人数为 RM、RW，其中
42、：RM(t)=(R(t)-RB(t)/2,RW(t)=(R(t)-RB(t)/22、计算某年没有感染病毒的正常人群中处于疫苗有效期内的总人数 vacm、vacw、vacb：vacb(t)=RB(t)+RB(t-3)*(1-deathrata1)3+RB(t-2)*(1-deathrata1)2+RB(t-1)*(1-deathrata1)；vacm(t)=1/2*RB(t-4)*(1-deathrata1)4+RM(t-4)*(1-deathrata1)4+RM(t-3)*(1-deathrata1)3+RM(t-2)*(1-deathrata1)2+RM(t-1)*(1-deathrata1
43、)+RM(t)；vacw(t)=1/2*RB(t-4)*(1-deathrata1)4+RW(t-4)*(1-deathrata1)4+RW(t-3)*(1-deathrata1)3+RW(t-2)*(1-deathrata1)2+RW(t-1)*(1-deathrata1)+RW(t)；3、计算某年疫苗接种率，即对功效的等价描述：p1(t)=vacm(t)/normalb(t),p2(t)=vacw(t)/normalm(t),p3(t)=vacb(t)/normalw(t),q1(t)=q2(t)=q3(t)=0.4、将所得功效参量带入 1 的改进模型中，得到艾滋病感染者的变化率。对方案
44、3，我们在方案 1、2 得基础上考虑。对方案 3 得分析：同时考虑 ARV 的使用与预防性疫苗得使用，这样，我们仍然将时间划分为两个阶段：疫苗的研制阶段、疫苗的使用阶段。在第一阶段，即疫苗的研制阶段，我们考虑经费的两方面得使用：疫苗的研制、ARV 的使用。对疫苗的研制，我们仍然按方案 2 中的假设计算疫苗的投入实用年份。不同之处在于 extrap 的不同，导致投入实用年份不同。这样，在这一阶段，ARV 的使用经费比为（1-extra).在第二阶段，即疫苗的使用阶段，我们依旧考虑经费的两方面使用：疫苗的使用、AARV 的使用。对疫苗的使用，我们仍然按方案 2 得假设做同样得假设。考虑到每年艾滋病
45、得严重程度不一致，各年两部分得经费比可以不同，但不同得百分比，始终按同样得方式计算，为简单起见，我们假设各年得经费百分比一致，设为 extraq.这样，参量 extrap、extraq 决定了各年的阻碍因子，从而决定了各年艾滋病感染者的变化率。结合差分方程模型与单目标规划，以 min Z=hivm(t)+hinw(t)+hivb(t)（t=2050）为目标，得出最优得分配比，同时计算 各年艾滋病感染者得变化率。基于以上分析，修改参量如下：p1(t)=0 2005=t2005+endt=p1(t)*extraq 2005+endt=t=2050p2(t)=0 2005=t2005+endt=p2
46、(t)*extraq 2005+endt=t=2050p3(t)=0 2005=t2005+endt=p3(t)*extraq 2005+endt=t=2050q1(t)=q1(t)*（1-extrap） 2005=t2005+endt =q1(t)*(1-extraq) 2005+endt=t=2050q2(t)=q2(t)*(1-extrap) 2005=t2005+endt =q2(t)*(1-extraq) 2005+endt=t=2050q3(t)=q3(t)*(1-extrap) 2005=t2005+endt =q3(t)*(1-extraq) 2005+endt=t=2050其
47、中：p1(t)，p2(t)、p3(t)为方案 2 中所得阻碍因子 p1(t)、p2(t)、p3(t)，q1(t)、q2(t)、q3(t)分别为方案 1 中所得阻碍因子 q1(t)、q2(t)、q3(t)。在上述参量基础上，运用干预改进模型与单目标规划求解。6、模型评价本文中所用到的差分模型，在计算人口预测上有一定的优越性，在计算方便的同时，能够清楚的预测出人口的变化，符合实际情况。本文给出了模型的建立思路和每一步的意义，使得模型易于理解。但是在参量数据方面有一定的缺陷，由于有些数据不容易得到，有些数据可能随时间有一定的变化，所以导致计算结果与实际情况有一定的出入。本文所用的模型具有一般性，不仅
48、可以计算美国的人口预测，对于其他国家或城市，只要给出一定的数据，都可以使用，本模型的移植性较强，对于类似的问题都可参用。7、参考文献1 姜启源 谢金星 叶俊， 数学模型 （第三版） ，高等教育出版社 20032 王文平， 运筹学 ，科学出版社 20073楼顺天， MATLAB5.X西安电子科技大学出版社 20064晓涛工作室， Ecel 函数、图表与数据分析 ，机械工业出版社 2006八 、附录8.1 参量取值表参量 南非 巴西 印度 俄罗斯 澳大利亚 美国k(1,1) 4.8794 4.1316 4.9146 2.0264 2.5374 2.809 k(1,2) 4.8794 4.1316 4.9146 2.0264 2.5374 2.809 k(2,1) 0.9 1.2 3.4 0.07386 0.1944 0.04 k(2,2) 0.9 1.2 3.4 0.07386 0.1944 0.04 k(3,1) 0.126 0.174 0.4725 0.0103 0.02722 0.006 k(3,2) 0.126 0.174 0.4725 0.0103 0.02722 0.006 k(3,3) 0 0 0
