1、1构造函数求解导数题的基本策略湖北省黄梅县第一中学 赵光新一构造函数求解恒成立问题，弥补“等号”问题例 1 已知函数 f（x）=-x 3+ax2+b（a，bR）（1）若函数 y=f（x ）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于 2,求 a 的取值范围分析：本题学生易将图象上任意不同的两点的连线的斜率与 混为一谈，错解为：由 f（x）=-()fxx3+ax2+b 得 ， 对一切的 恒成立， 2()3fax()2,f320R从而， 2()40a2606a正确解法：不妨设 且 则 ，整理得12,xR12x12()fxf，因此构造函数 = ，12()()fxf()gfx32axb则 ，从而 为 R 上
2、的减函数，所以 即g(gx()0对一切的 恒成立，从而230xa， ()432260a6a二构造函数解决多元变量的证明问题在不等式的证明中，常常会出现多个变量。此时若能用主元思想，将其中一个看成主元，另一个变量看成常数，构造一元函数，利用一元函数的性质，使得多元变量不等式的证明得到很好的解决，高考题中常常出现。例 2 已知函数 ，当 时，求证()lnfx0ab2()()baf分析：本题可以用 ln(1+x)x 和基本不等式证出。但如果构造函数则可以收到意想不到的效果。 证明：构造函数 则只需证明 时， 即可。2()()lxFb0xb()0Fx，32 214)()()(bxx， 在（0，b）上单
3、调递减，F )(0Fxb所以原命题得证。三构造函数求解代数式的最值问题2例 3 已知函数 ，对任意的 ， 使得1(),()ln2xfegaR(0,)b则()fagbb-a 的最小值为 。解析： 所以找一中间量，将 a,b 都变成中间量的函数，然后求函数的最值。()f因为任意的 ， 使得 所以设 =maR(0,)b()fagb()fagb即 ，1ln2em1122ln,lnmmee令 ， =12()lh1 2()h12令 0，得 ，当 时， ， 时，0,x()0hm(,)x()0hm1()2lnbahm四构造函数利用用单调性解不等式例 4 已知函数定义域为 R， 对任意的 , 则不等式(0),fxR()1,fx的解集为：()1xxef分析：这是一个抽象函数导函数满足的式子，先构造出原函数然后借助导数性质求解。令 则 ，所以 在()()xgf ()()1)xgefx0()()1xgefR 上单调递增。而待解不等式可以改写为 fef所以不等式的解集为 (0,)例 5 设 f(x)是定义在 R 上的可导函数 ,且满足 则不等式()0fxf的解集为：2(1)(1)fxfx解析：首先将条件式还原成原函数。令 则 所以(),Gxf ()()0xffx在 R 上单调递增。而待解不等式可以改写为 ，()Gx 2211f所以应该满足式子 且 ，所以210x,0x,x（本文发表于北京高中生数学）
