1、图的连通性,离散数学 第22讲,上一讲内容的回顾,通路与回路连通与连通图扩大路径证明法最短通路问题与Dijstra算法,图的连通性,割点割边(桥)(点)连通度边连通度Whitney定理,边的删除与连通分支数量的增加,设(G)表示图G中连通分支数，则：(G) (G-e) (G)+1, 其中e是G中任意一条边第一个“不大于”显然成立(删除e只会影响e所在的那一个连通分支)。第二个“不大于”成立: 注意在图中任意两点之间加一条边，最多只能将两个连通分支连成一个。因此假设删除某条边会使连通分支增加不止一个，考虑再将该边添回去将导致矛盾。,点的删除与连通分支数量的增减,(G-v)(其中v是G中任意一个顶
2、点)的情况比较复杂（注意：删除顶点意味着同时删除该点关联的边）可能会减少 (删除孤立点)不变 (例如：删除悬挂点)增加任意有限多个 (例如：star),（孤立点）,（悬挂点）,割点,定义：G是图，vVG, 若(G-v)(G), 则称v是割点(注意：只需考虑割点所在的连通分支，以下讨论不妨只考虑连通图),割点,关于割点的三个等价命题,以下三个命题等价：(1) v是割点。(2) 存在V-v的分划V1, V2, 使uV1, wV2, uw-通路均包含v。(3) 存在顶点u,w(uv, wv)，使得任意的uw-通路均包含v。证明：(1)(2): v是割点，G-v至少存在两个连通分支，设其中一个的顶点集
3、是V1。令V2=V-(V1v), 则uV1, wV2, u,w一定在G-v的不同的连通分支中。在G中，任何uw-通路必含v。(2)(3): 注意：(3)是(2)的特例。(3)(1): 显然，在G-v中已不可能还有uw-通路，G-v不连通，v是割点。,割边,定义：设G是图，eEG, 若(G-e)(G), 则称e是G中的割边。(注意：只需考虑割边所在的连通分支，以下讨论不妨只考虑连通图),割边,割边与回路,e是割边当且仅当e不在G的任一简单回路上。(注意：割点没有相应结论)证明：: 假设C是包含e=xy的初级回路, 令C-e=P, P是不含e的xy-路径。对G中任意顶点u,v, 若uv-通路中不含
4、e, 则该通路也是G-e中的uv-通路；若uv-通路中含e, 则将所有的e均替换为P，得到G-e中的uv-通路，G-e仍连通，与e是割边矛盾。: 假设e=xy不是割边。则G-e仍连通，设P是G-e中的xy-路径，P中不含e, 则：P+e是G中的简单回路，矛盾。,有关割边的四个等价命题,以下四个命题等价：(1) e是割边。(2) e不在G的任一简单回路上。(注意：割点没有相应结论)(3) 存在V的分划V1, V2, 使得uV1, wV2, uw-通路均包含e。(4) 存在顶点u,w，使得任意的uw-通路均包含e。,连通图“连接的牢度”不一样,图a中删除任意一条边都不连通了。图b则至少删除两条边，
5、或删除当中那个顶点才不连通图c删除任意一个点都不可能不连通。图d少要删除四条边才可能不连通，且不可能通过删除顶点使其不连通。,图的连通度,(注意：若G是顶点数不少于2的非完全连通图，删除 足够数量的点一定能使图成为不连通图或者平凡图。)定义：使非平凡连通图G成为不连通图或者平凡图需要删除的最少顶点数称为图G的(点)连通度，记为(G)。(注意：这不意味着任意删除(G)个点就一定会使该图不连通) 约定：不连通图或者平凡图的连通度为0。若图G的连通度不小于k, 则称G是k-连通图；(也就是说：连通度为k图是1-, 2-, 3-,.,(k-1)-连通图，或者说：对k-连通图，如果删除少于k个顶点，它一
6、定还连通。),图边连通度,(注意：若G是顶点数不少于2的非完全连通图，删除 足够数量的边一定能使图成为不连通图。)类似地，使非平凡连通图G成为不连通图需要删除的最少边数称为图G的边连通度。记为(G)。 (注意：这不意味着任意删除(G)个点就一定会使该图不连通) 约定：不连通图或者平凡图的边连通度为0。若图G的边连通度不小于k, 则称G是k-边连通图。 (也就是说：边连通度为 k 图是1-, 2-, 3-,.,(k-1)-连通图，或者说：对k-边连通图，如果删除少于k条边，它一定还连通。),关于连通度的例子,W6(轮)：=3 =C6(圈)：=2 =K2,3(二分完全图)：=2 =G：=1，=2，
7、=3,这里， 表示图中最小顶点次数,连通度的上限,(G) (G) (G)证明：(G)(G)显然成立。以下证明(G)(G)，对(G)施归纳法。当=0，必有=0。假设：对任意满足t的图结论成立。考虑=t的图G。则存在EG的子集E, 满足：|E|=t, 且G-E不连通(E称为“边割集”)。任选eE, 令H=G-e。则(H)=t-1, 且由归纳假设(H)(H)。,H,e,E,E-e,连通度的上限（续）,归纳的关键是比较G和H的点连通度I. 如果H含完全图作为生成子图(这意味着：或者H是完全图，或者H是在完全图上再加多重边得到的图)：则G也是于是 (G)=(H)(H)t=(G)。II. 否则(必可删点使
8、H不连通): 设VVH，满足：|V|=(H), 且H-V不连通。 II(a), 若G-V连通(G与H的差别只是多一条边e, 显然V中不含e的端点)：e是G-V的割边, 删除Ve的任一端点将使得G不连通， (G) (H)+1(H)+1t=(G)。 II(b), 若G-V不连通：则(G)(H)t=(G)。,达到连通度上限的图,设G是简单图，且Gn-2, 则(G)=G(注意：任一点最多与一个点不相邻，此时(G)也必为G)设G是简单图，且Gn/2, 则(G)=G证明：假设(G)=tG, 则存在EEG, 满足|E|=t, 且G-E含两个连通分支G1, G2, 不妨设|G1|G2|，则|G1|n/2。 G
9、是简单图，G1中顶点的次数之和不大于|G1|阶完全图的次数之和加上被删除的边数t。即： vG1d(v) |G1|(|G1| -1)+t |G1|(|G1| -1)+G 。 注意|G1| n/2G，于是： vG1d(v) G (|G1| -1)+G = |G1|G , 矛盾。,连通度的应用,问题: 将n个计算机连成一个通信网络以共享资源，如果要以最小的代价保证在故障节点少于k个的条件下所有计算机能保持互连，网络应该如何连接？数学模型：找出n个结点的完全图的一个边最少的k-连通子图。（注意：含n个顶点的k-连通图至少有nk/2条边，因为该图中最小顶点次数不能小于k）,Harary的解：Hk,n,H
10、4,8k, n均是偶数,H5,9k是奇数n也是奇数,H5,k是奇数n是偶数,证明的思路,Hk,nk,n均是偶数,以这一较简单的情况为例,1. 前已说明：含n个顶点的k-连通图至少有nk/2条边2. 左边的解恰好是nk/2条边3. 因此，只须证明，这图是k连通的,0,1,2,3,7,6,5,4,令k=2r (r是整数)Harary的解法实际上是对任意顶点i, 让它与满足下述条件的顶点j 相连：j(i-r) mod n 或 j(i+r) mod n于是，如果两点取模差不大于r, 则相连假设从图中删除少于r个顶点（构成子集V）, 图就不连通了，删除后，顶点i,j属不同的分支考虑两个子集合(这里的序号
11、对n 取模)：S=i,i+1, , j-1, j; T=(j, j+1, , i-1, i。由于V中总点数小于2r, 这两集合中至少有一个含V中的点少于r 个，则此集合中删除V后任构成一 ij-通路，矛盾。,连通度与点不相交的通路,(现象：对图G中任意两点u,v, 如果点不相交的uv-通路有k条，显然，要使u,v不连通， 至少须删除k个顶点。)Whitney定理： 图G(n3)是2-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少2条除端点外顶点不相交的路径所连接。Whitney定理的推广图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端点外顶点不相交的路径所连接。图G是k-边连通图 当且仅当 G中任
12、意两点被至少k条边不相交的路径所连接。注意：“G中任意两点被至少2条除端点外顶点不相交的路径所连接”等价于“任意两点均处在同一初级回路中”，此时，G中的任意两条边也一定处在同一初级回路中。,Whitney定理的证明,必要性显然。设u,v是图G中的任意两点。下面对距离d(u,v)进行归纳。 当d(u,v)=1, uvEG, 因为G是2-连通图，G-uv仍连通，则G中除边uv外，必有另一条不含uv的路径。 假设当d(u,v)k时，至少存在两条中间点不相交的通路。 若d(u,v)=k, 设u,v间的一条最短路径是uwv, w是与v相邻的顶点。则d(u,w)k, 由归纳假设u,w之间存在两条中间点不相交的路径，设为P, Q。因为G是2-连通图，G-w中仍有(不含w的)uv-路径P，且它一定与P, Q有公共点(u就是一个)，假设 这样的公共点中距离v最近的 是x(不妨假设它在P上)，则Q+wv 边以及P上的ux-段+P上的xv-段是 u,v之间两条中间点不相交的通路。,x,u,w,v,Q,P,作业,证明：图G中，若n-2，则(G)=，找出一个图的例子，满足： =n-3, 而(G)。G是2-边连通图 当且仅当 G中任意两个顶点之间至少有两条不含公共边的通路。若G是k-边连通图，从G中任意删除k条边，最多得到2个连通分支。,
