1、班级_ 序号_ 姓名_第一章 命题逻辑1.1 命题与逻辑联结词1. 判断下列语句是否是命题，不是划“” ，是划“” ，且指出它的真值.(1)所有的素数都是奇数. ( ) 其真值( )(2)明天有离散数学课吗？ ( ) 其真值( )(3) ( ) 其真值( )326(4)实践出真知. ( ) 其真值( )(5)这朵花真好看呀！ ( ) 其真值( )(6) ( ) 其真值( )5x(7)太阳系外有宇宙人 ( ) 其真值( )2. 将下列命题符号化(1)如果天下雨，那么我不去图书馆. (2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.(3)我们不能既划船又跑步(4)大雁北回，春天来了.3.将下列复合命题分
2、解成若干个原子命题，并找出适当的联结词.(1)天下雨，那么我不去图书馆.(2)若地球上没有水和空气，则人类无法生存.班级_ 序号_ 姓名_1.2 命题公式1. 判断下列各式是否是命题公式，不是的划“” ，是的划“” (1)(QRS). ( )(2)(R(QR)(PQ). ( )(3) (PQR)S. ( )(4)(PQ)(QP). ( )2写出五个常用命题联结词的真值表.班级_ 序号_ 姓名_1.3 真值表与等价公式1.指出下列命题的成真赋值与成假赋值(1)(PQ).(2)P(QP).2.构造真值表，判断下列公式的类型(1)(PQ)(PQ ).(2) P(PQ)R.3.用等值演算法验证下列各等
3、价式(1) (PQ)(QR)(PR) T.(2)P(QR) (PQ)(PR).(3)(PQ)(PQ)P班级_ 序号_ 姓名_1.4 蕴涵式及其他联结词1.试证明下列各式为重言式(1) (PQ)(Q R)(PR)(2) (PQ)Q PQ(3) (PQ) PQ2.将下列公式化成与之等价且仅含，中联结词的公式(1) (PQ)P(2) (P(QR)(PQ)3.证明，是最小全功能联结词组.4.设 A、B、C 为任意的三个命题公式，试问下面的结论是否正确？(1)若 ACBC，则 AB班级_ 序号_ 姓名_(2)若AB，则 AB(3)若 ACBC，则 AB1.6 对偶与范式1.试给出下列命题公式的对偶式(1
4、)T(PQ)(2)(PQ)(PQ)2.试求下列各公式的主析取范式和主合取范式(1) (P(QR)(P(QR)(2)(PQ)Q)R(3)(P(QR)( P(QR).3.试用将公式化为主范式的方法，证明下列各等价式(1) (PQ)(PR) P(QR)(2) (P Q) (PQ)(PQ)班级_ 序号_ 姓名_1.7 推理理论1.试用推理规则，论证下列各式(1) (PQ),QR,R P(2) PQ,QR,PS,S R(PQ)(3) PQ,QR,RS PS(4) PQ,PR,QS RS班级_ 序号_ 姓名_第二章 谓词逻辑2.1 词的概念与表示1.用谓词表达写出下列命题(1) 高斯是数学家，但不是文学家
5、.(2)小王既是运动员也是大学生.(3)张宁和李强都是三好学生.(4)若是 奇数，则 2 不是奇数 .xx2.2 命题函数与量词1.用谓词表达式写出下列命题(1) 每个计算机系的学生都学离散数学.(2)直线 A 平行于直线 B 当且仅当直线 A 不相交于直线 B.(3)不存在既是奇数又是偶数的自然数.(4)没有运动员不是强壮的.(5)有些有理数是实数但不是整数.(6)所有学生都钦佩某些教师.班级_ 序号_ 姓名_2.3 谓词公式与变元的约束1.利用谓词公式翻译下列命题(1)没有一个奇数是偶数.(2)一个整数是奇数，如果它的平方是奇数.2. 设个体域为自然数集 N，令 P(x)：x 是素数；E(
6、x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；D(x，y)：x 整除 y将下列各式译成汉语(1)x(E(x)D(x，6)(2)x(O(x)y(P(x)D(x，y)3.指出下列表达示中的自由变元和约束变元，并指明量词的辖域(1) (),)()xFQxyPxR(2)x(P(x，y)Q(z) y(R(x，y) zQ(z)班级_ 序号_ 姓名_4.设个体域为 Aa，b，c，消去公式xP(x)xQ(x)中的量词2.4 谓词演算的等价式与蕴含式1.试证下列等价式或蕴涵式,其中 A(x),B(x)表示含 x 自由变量的公式,A,B表示不含变量 x（不论是自由的还是约束的）的公式.(1)（ x A(x)B ） (
7、x(A(x)B)(2)（ x A(x)B ） x(A(x)B)2.试将下列公式化成等价的前束范式(1) x（ yP(x,y)） ( zQ(z)R(x)） (2)x(F(x)G(x)(xF(x)xG(x)班级_ 序号_ 姓名_2.5 谓词演算的推理理论1.证明下列推理(1)所有有理数都是实数，某些有理数是整数。因此，某些实数是整数.(2)每个大学生不是文科生就是理科生，有些大学生是优等生，小张不是理科生，但他是优等生.因而，如果小张是大学生，他就是文科学生.2.将下列的命题符号化，并证明之.已知每一个大学生都是诚实的，而小李是不诚实的，证明小李不是大学生.班级_ 序号_ 姓名_第三章 集合代数1
8、.在 1 到 200 的整数中(1 和 200 包含在内)分别求满足以下条件的整数个数(1)可以被 3 整除,但不能被 5 或 7 整除(2)可以被 3 或 5 整除，但不能被 7 整除2.化简下列集合表达式(1)(A-(BC)(ABC)(2)(AB)-(C-(AB)3.计算幂集 )(AP(1) (2) 1,)2,1(P班级_ 序号_ 姓名_第四章 二元关系4.序偶与笛卡儿积1.设 Aa，b，求集合 P(A)A2.设 A、B、C 和 D 为任意集合，判断下列命题是否正确？(1)ABACBC(2)(AB)C(AC)(BC)(3)存在集合 A 使得 AAA班级_ 序号_ 姓名_4.二元关系1.写出
9、下列关系 R 的序偶集合(1)A= , xRy A 4321yx,4(2)A= , xRy A 22. 设 ， ，从 A 到 B 的关系9432，A12,0742，B，试给出 R 的关系图和关系矩阵., babaR整 除且3设 A=1，2，3，4，A 上关系 R 的关系的图为写出 R 的表达式班级_ 序号_ 姓名_4.3 关系的运算1.Aa，b，c，d，R1 和 R2 是 A 上关系，R1，R2，求:(1) R1R2、R2R1、R1 和 R2 21(2)给出 R1 的关系矩阵和关系图1(3) R1 52.设 R 和 S 均为 A 上的二元关系，证明(1)(RS) =R S 11(2)(RS)
10、=S R 班级_ 序号_ 姓名_3.设 A=1,2,3,试给出 A 上的两个不同的关系 R1 和 R2，使 R1 = R1，R2 = R2224.4 关系的性质 1.设 X1，2，3，4，R 是 X 上的二元关系，R，(1)画出 R 的关系图.(2)写出 R 的关系矩阵.(3)说明 R 是否是自反、反自反、对称、传递的.2.设 R 和 S 是 A 上的任意关系，下列命题是否成立？若成立予以证明，否则举例证明其不成立.(1)若 R 具有传递性和反自反性，则 R 具有反对称性.(2)若 R 和 S 是传递的，则 RS 是传递的.3.在整数集合 Z 上的空关系，全关系 ZZ，D(整除)，是否具有自反
11、、班级_ 序号_ 姓名_反自反、对称、反对称、传递属性？4.若集合 A 上的二元关系 R 和 S 具有对称性，证明 RS 对称当且仅当 RSSR4.关系的闭包运算1.设 Aa，b，c，d，R 是 A 上的二元关系，且 R，b，c，求 r(R)、s(R)和 t(R)2.试举例说明 st(R) ts(R).3设集合 A=a，b，c，d上的关系 R=,用矩阵运算求出 R 的传递闭包 t(R)班级_ 序号_ 姓名_4.等价关系与划分1集合 ，C*上定义关系0,1|2* abaibaC是 任 意 实 数，则 R 是 C*上的一个等价关系0|,cdiR2.设 R 是集合 A 上的关系，如果对任意 a A;
12、都有 aRa 若 aRb,aRc,则 bRc;试证 R 是等价关系.班级_ 序号_ 姓名_3集合 S=1，2，3，4，5，找出 S 上的等价关系，此关系能产生划分1，2，3，4，5，并画出关系图 4.7 偏序关系1.设 A= , A 上的关系 R 的关系矩阵为 .4321 10RM求 R 的哈斯图2.设 P 是集合 A 上的偏序关系，B A. 试证明 P(BB)是 B 上的偏序关系.班级_ 序号_ 姓名_3. 画出下列集合1，2，3，4，5，8，12，24上整除关系的哈斯图，并指出它们的最大元、极大元、最小元、极小元.第五章 函数5.2 函数复合1.设 f: AB,定义 A 上的关系 R 为
13、.)(2121xffx证明 R 是等价关系.2.设 A= ，置换 P= .求最小正整数 k，5,43211243551使 .kP3.设 f: AB, g: BC, 且 fg: AC 是双射. 证明 (1) f: AB 是单射；班级_ 序号_ 姓名_(2) g: BC 是满射.第六章 代数结构6. 二元运算及其性质1 设 ，问下面定义的二元运算 *是否为 S 上的二元运算？10,2S（1） 与 的最大公约数xyx),gcd*（2） 大于等于 的最小整数2设 ，其中 的运算表分别给定如下,*SV,*cbaS讨论*运算的可交换性、幂等性，是否含有单位元以及 S 中的元素是否* a b ca a b
14、Cb a b cc a b c班级_ 序号_ 姓名_含有逆元.3设 .其中 表示函数的合成，试给出 的运算表，并,21AVA V求出 的幺元和所有可逆元的逆元6. 代数系统1.填空题(1)设集合 N 为正整数集合，下列定义的二元运算不封闭的是（ ）.( A ) x*y= x . ( B ) x*y=2 . y xy( C ) x*y=GCD(x,y),GCD(x,y)是 x 与 y 的最大公约数 . ( D ) x*y=x+y-xy(2)对任一代数系统，下列说法正确的是（ ）.( A )单位元和零元总不相等. ( B ) 单位元总有逆元 .( C ) 任一元素的左逆元必等于右逆元 . ( D
15、) 幂等元必唯一.2.求解与证明题(1)下面各集合都是 N 的子集,它们能否构成代数系统的子代数?A= ,B= (需说明理由).的 因 子是 30x的 倍 数是 30x(2)定义在上的两个二元运算*和分别为 a*b= ,ab=ab, a,b N.ba试证明 *对是不可分配的.班级_ 序号_ 姓名_(3)给定代数系统，且*是可结合的，若对 A 中任意元 a 和 b，有 a*bb*aab，试证 *满足幂等律6.3 半 群1.在实数集 R 上定义二元运算*为：a*babab，试判断下列论断是否正确？为什么？(1)是一个代数系统.(2)是一个半群.(3)是一个独异点.2.设是半群，对 A 中任意元 a
16、 和 b，如 ab 必有 a*bb*a，证明 (1)对 A 中每个元 a，有 a*aa(2)对 A 中任意元 a 和 b，有 a*b*aa(3)对 A 中任意元 a、b 和 c，有 a*b*ca*c班级_ 序号_ 姓名_3设 S=a,b,构造半群的运算表6.4 群1.下列代数系统中不是群的是( ).( A ),*是 R 上的二元运算, a,b R,a*b=a+b-3.( B ),F 为 n 次实系数多项式的集合,“”为多项式乘法.( C ). ( D ).)(RMn2.求解与证明题(1)设是一独异点,H 是 S 中所有可逆元素的集合，试证明 是一个群.(2) 设 Z 是整数集合，在 Z 上定义
17、二元运算*为：x*yxy2，那么 Z 和*是否构成群？为什么？.班级_ 序号_ 姓名_(3)设 G= ，且是群，试构造群的运算表.bae,65 子群1.设是群，对任 G，令 H= .试证明是的aGyay,*子群.2.试求群的所有子群.Z63.设，均为群的子群,且 H,K 互不包含,试证明 HKG.班级_ 序号_ 姓名_6.6 陪集 拉格朗日定理1.设为群 的子群，H= ，试求子群 H 的不同左陪集.6Z64,202.求证 若 H 在 G 中的指数为 2，则 H 必是 G 的不变子群.3.设 G 为一个群，S 是 G 的一个子群,令 N(S)= ，1|,xGS证明 N(S)为 G 的不变子群.班
18、级_ 序号_ 姓名_6.7 群的同态与同构1.下列映射中为同构映射的是（ ）.(A)设和为群，取固定的 a G,f: ZG, f(n)= .na(B)设和为群，f: ZG, f(n)=n.m(C)设加群到乘群的映射 f,且 f(x)=5 , .xR(D)设 H= ,f: NH,f(n)=dn.Nndnx,为 某 一 正 整 数2.证明:循环群的子群与同态像是循环群.3.设 f 为从群到群的同态映射，则 f 为单同态当且仅当Kerf=e,其中 e 是 G 的单位元.班级_ 序号_ 姓名_6.8 环与域1.设 A= ,验证是否构成域.皆 为 有 理 数bax,53（其中+，为普通的加法和乘法.2.
19、设是一个环,且对于 ,都有 aa=a,Ra证明(1)a+a=,其中 为加法单位元.(2)是可换环.3.证明 当 n 不为素数时，必定含有零因子，并对于班级_ 序号_ 姓名_找出其零因子第七章 格与布尔代数7.2 分配格与有补格1.判断下面关于格的命题的真假性.(1)设是格,则和均为交换半群. ( )(2)设是格,a,b L,那么,ab=a 和 ab=b 至少有一个成立. ( )(3)设是格,a L,若 a 有余元素,那么该余元素是惟一的 . ( )(4)设 N 为正整数集合,/为其上的整除关系,则为有余分配格. ( )2.试证 若一个有界格含有不只一个元素,则该有界格中任何一个元素的余元素必不
20、是它自身.3.设有界分配格,试证 L 中拥有余元素的各元素构成一个代数子格.班级_ 序号_ 姓名_7.3 布尔代数1.给定代数结构,其中 S=a,b,c,d,/证明 该代数结构是布尔代数.2.给定布尔代数,且 a,b,c L.证明 (1)a(a b)=ab/(2)(ab)(ab )=a/3.设 是布尔代数,如果在 上定义一个二元运算 为,BB班级_ 序号_ 姓名_. 证明 是阿贝群.()()abab第八章 图论8.1 图的基本概念1.设 阶无向简单图 G 中， ，问 应为多少？n1)(n)(G2.设无向图中有 6 条边，3 度与 5 度顶点各 1 个，其余的都是 2 度顶点，问该图中共有几个顶点？3.一个简单无向图如果同构于它的补，则该图称为自补图.(1)给出一个五个结点的自补图.(2)给出一个五个结点的自补图.(3)是否存在三个结点、五个结点的自补图？(4)证明一个 n 阶自补图 G, 其所包含的结点数 n=4k 或 n = 4k+1,其中 k 是正整数.
