1、,什么是几何学 陈省身 1999年在复旦大学的演讲,此演讲是陈省身于1990年9月24日，在复旦大学参加求实基金会科学奖的颁奖仪式上所作的学术报告。这也是复旦大学杨武之讲座的第一讲。,推动几何学重要人物,笛卡尔欧几里得高斯黎曼,笛卡尔用坐标的方法，把几何变成了代数。当时没有分析或者无穷的观念。所以他就变成代数。 笛卡儿当时不见得觉得他这贡献是很伟大的，所以他的几何论文是他的哲学引里面最后的一个附录，附属于他的哲学的。 这个思想当然在几何上是革命性的，因为当把几何的现象用坐标表示出来时，就变成了代数现象。,笛卡儿发现的坐标系： 有一点是这样的给定一条直线，直线上有一个原点，其它的点由它的距离X来
2、确定，然后经过x沿一定的方向画一条直线，那么y坐标就是在那条在线从X轴上这个点所经的距离，这就是笛卡儿的坐标，英文叫Cartcsian坐标。它的两条线不一定垂直。不知道哪位先生写教科书时把两条线写成垂直了，因此x坐标与y坐标对称了。,笛卡儿的两个坐标不是对称的，这是他非常重要的观念，我们现在就叫纤维丛。这些跟y坐标平行的直线都是铁维，是另外的个空间。 原因是这样的：你把它这样改了之后，那条直线就不一定要直线，可以是任何另外一个空间了。这样可以确定空间里点用另外一组坐标来表示。所以有时候科学或数学不一定完全进步了，有时候反而退步了。,笛卡儿用了这个坐标，就发现，我们不一定要用Cartesian坐
3、标，可以用其它坐标，比如极坐标。 平面上确定一个点，称为原点，过这点画一条射线，称为原轴。这样平面上的点，一个坐标是这点与原点的距离，另外一个是角度，是这点与原点的联机与原轴的相交的角度，这就是极坐标。 因此，后来大家弄多了的话，就对几何作出了另外一个革命性的贡献，就是说，坐标不一定要有意义。只要每级数能定义一个点，我们就把它叫坐标。从而几何性质就变成坐标的一个代数性质，或者说分析的性质。这样就把几何数量化了，几何就变成形式化的东西了。,把几何数量化了，几何就变成形式化,这个影响非常之大，当然这个影响也不大容易被接受，比如爱因斯坦。爱因斯坦发现他的相对论，特殊相对论是在1908年，而广义相对论
4、是在1915年，前后差了7年。爱因斯坦说，为什么需要7年我才能从特殊相对论过渡到广义相对谕呢？他说因为我觉得坐标都应该有几何或物理意义。爱因斯坦是一个对学问非常严谨的人，他觉得没有意义的坐标不大容易被接受，所以耽误了他很多年，他才不能不接受，就是因为空间的概念被推广了。,几何是很重要的,几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。当时的几何比现在的几何的范围来得广。不过从另一方面讲现在的范围更广了，就是我刚才讲到的坐标不一定有意义。,一个空间可以有好几种坐标，那么
5、怎样描述空间呢？这就显得很困难啦，因为空间到底有什么样的几何性质，这也是一个大问题。高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。他们的发展有一个主要目的，就是要发展一个空间，它的坐标是局部的。空间里只有坐标，反正你不能讲坐标是什么，只知道坐标代表一个点，所以只是一小块里的点可以用坐标表示。因此虽然点的性质可以用解析关系来表示，但是如何研究空间这就成了大问题。,非欧几何的发现,欧几里德的公理是非常明显的，但是他有一个有名的公里叫第五公设出了问题。简单地说，就是有一条直线与线外一点，经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的诂，觉得相当可信。可是你要严格追问的话，这个公理不大明显，至少不
6、如其它公理这样明显。所以这个第五公设对当时数学界喜欢思想的人是个大问题。 我们现在知道这个第五公设并不一定对，经过一点的并行线可以有无数条，这就是非欧几何的发现。非欧几何的发现，它的社会意义很大，因为它表示空间不一定只有一个,黎曼的演讲,黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授，做了一个演讲，这个在几何上是非常基本的文献，就讨论了这些问题。如何研究这种空间呢？要研究这种空间，如果你只知道空间是随便追磨一块块拼起来的话，就没有什么可以研究的了。于是你往往需要一个度量，至少你知道什么叫两点之间的距离，你怎应去处理它呢？就需要解析的工具。往往你把距离表为一个积分，用积分代表距离。黎曼的这篇1854年的论
7、文，是非常重要的，也是几何里的一个基本文献，相当一个国家的宪法似的。,爱因斯坦不知道这篇论文，花了七年的时间想方设法也要发展同样的观念，所以爱因斯坦浪费了许多时间。黎曼这篇论文引进的距离这个观念，是一个积分，在数学界一百多年来有了很大的发展。第一个重要的发展是黎曼几何应用到广义相对论，是相对论的一个基本的数学基础。现在大家要念数学，尤其要念几何学的话，黎曼几何是一个最主要的部分，这个也是从黎曼的演讲开始的。现在黎曼几何的结果多得不得了，不但是几何的基础，可能也是整个数学发展的基础。,物理与几何的关系,我觉得物理学里有很多重要的工作，是物理学家要证明说物理就是几何。比方说，你从牛顿的第二运动定律
8、开始。牛顿的第二定律说，Fma，F是力，m是质量，a是加速度，加速度我们现在叫曲率。所以右边这一项是几何量，而力得当然是物理量。所以牛顿费了半天劲，他只是说物理就是几何。,爱因斯坦的广义相对论的方程说：,是Ricci曲率，R是scalar curvature，即标量曲面，K是常数，是energy-stress tensor,即能量应力张量。你仔细想想，他的左边是几何量，是从黎曼度量得出来的一些曲率。所以爱因斯坦的重要方程式也就是说，几何量等于物理量。,纤维丛,矢量空间有一个好处，它的矢量可以相加，可以相减，它还有种种不同的乘法。所以你就可以用解析的方法处理几何的情形。那么一般的流形怎么处理呢？
9、数学家的办法很简单，就是在流形的每一点弄一个切平面。每一点都有个矢量空间，叫切空间，跟它相切、欧几里得空间只有一个切空间。现在的空间情沉复杂了一些，每点都有一个切空间，但都是平坦空间。这个现象在几何上有一个重大的发展，就是把切空间竖起来。反正是一把矢量空间，给流形的每点一个矢量空间，不一定要是流形的切面或切空间。我们就叫它为纤维丛，或叫矢量丛，矢量空间丛。这个我想比爱因斯坦的（相对论）还要重要。Maxwell方程就是建立在一个矢量丛上。,Maxwell方程,现代文明都靠电，控制电的方程的是Maxwell方程。现在纤维丛上有一个平行性，这个平行性的微分，等于电磁场的强度F，然后你把这个F再求它的
10、另外一种微分（余微分）的话，就得到current vector J，即流矢量。 普通你要念电磁学的书的话，当然需要了解电磁的意义。其实简单地说，也就是平行性的微分是场的强度，而场的强度经过某个运算就得到它的流矢量。这就是Maxwell方程，与原来的完全一样。所以Maxwell方程就是建立在一维的纤维丛上，不过是一个复一维的纤维丛。,结束语,数学比其它科学有利的地方，是它基本上还是个人的工作。即使在僻远的地方，进步也是可能的。当然他需要几个朋友，得切磋之益。,谢谢大家,黎曼,德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼函数，黎曼积分，黎
11、曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。,高斯,卡尔弗里德里希高斯，德国数学家、物理学家和天文学家，大地测量学家。近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。,欧几里得,亚历山大里亚的欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。,笛卡尔简介,勒内笛卡尔（Rene Descartes，15961650），著名的法国哲学家、科学家和数学家。 他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。,
