1、最新 2015 年高考解三角形做题技巧与方法总结知识点整理1直角三角形中各元素间的关系：在ABC 中，C90，ABc ，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a 2b 2c 2。 （勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB ，cosA sinB ，tanA 。cacba2斜三角形中各元素间的关系：在ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（R 为外接圆半径）cba2sinisin（3）余弦定理：三角形任何一边的平
2、方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b 2c 2 2bccosA； b2c 2a 22cacosB ； c2a 2b 2 2abcosC。3三角形的面积公式：（1） aha bhb chc（h a、h b、h c分别表示 a、b、c 上的高） ；S12（2） absinC bcsinA acsinB；14解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两
3、角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC ；tan(A+B)=tanC。；2sinco,2ssinCBACBA（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清
4、已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。三、典例解析类型一：解三角形与向量的结合例 1.在 中，角 A,B,C 的对边分别为 ,b,c,且满足 ，ABCasin3cosaCA2（）求 的面积；（）若 ，求边 与 的值1bc解：（）由正弦定理得 ，sin3sincoACA， ， ，sin3cosAta60由 得 ， 的面积为 2BC4B（）因 ，故 ，1bc由余弦定理得 3练习：1.在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，且.cos3cosab（I）求 cos
5、B 的值； （II ）若 ，且 ，求 b 的值.2BCA2bca和解：（I）由正弦定理得 ，CRcbRsin,si,sin2,0sin.cosin3i,)s( ,cosi3iisi6cosin2ABACBBR又可 得即可 得故则因此.1co（II）解：由 ，2cos,2BaC可 得,0)(12,cos6,3cos2aabaB即所 以可 得由 故又所以 ac 6类型 2 解三角形与三角恒等变换的结合例 2：在 ABC中， ,abc分别是角 ,ABC的对边，若 tan3A， 5cosC。（1）求角 的大小；（2）若 4,c求 面积。解：（1）由 525ossin,tan2CCttant()11tA
6、B；又 0B， 4；（2）由正弦定理 sinibcC可得， sin10cbB，由 sini()()4A得， 3siA；所以 ABC 面积 1in62ABCSbc；例 3：如图，角 为钝角，且 53s，点 P、 Q分别是在角 A的两边上不同于点 的动点. 新|课 | 标|第 |一 | 网（1）若 P=5， Q =3，求 A的长；（2）设 )2sin(,13cos, 求且A 的值.解：（1） 是钝角， sin5，4cos5在 APQ中，由余弦定理得： 22cosPQAPAQ所以 280解得 或 1（舍去负值） ，所以 （2）由 35sin,3cos得在三角形 APQ 中， A又 in()i()si
7、,54coscosi(2)i()sinco()csin()653154练习 2：在 ABC 中， , sinB= .sin()CA13（I）求 sinA 的值 ， (II)设 AC= ，求 ABC 的面积.6本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分 12 分解：（）由 ，且 ， ，2CAB42A，sin()(cosin)4B ，又 ，211i(i)3Asi0A3sin（）如图，由正弦定理得 iniCB ，又36sin21ACBsini()sincosinCABAB3263 116sin32ABCSC类型 3：解三角形中的最值问题例 4：在ABC 中
8、，角 A、 B、C 所对的边分别是 a，b，c ，且 .212acbca（1）求 的值； （2）若 b=2，求ABC 面积的最大值2cossin2解：(1) 由余弦定理： conB= 14sin +cos2B= - 2AB14（2）由 b=2， .5sin,cosB得+ = ac+42ac,得 ac ,SABC= acsinB (a=c 时取等号)a12 3812 35故 SABC 的最大值为55、在 中，已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，向量ABCA BC， ，且 。2sin,3mB2cos,1B/mn（I）求锐角 B 的大小； （II）如果 ，求 的面积 的最大值。bABC
9、ABCS(1)解：mn 2sinB(2cos2 1) cos2BB2 32sinBcosB cos2B tan2B 4 分3 302B ,2B ,锐角 B 2 分23 3(2)由 tan2B B 或3 3 56当 B 时，已知 b2，由余弦定理，得： 34a2c2ac2acacac(当且仅当 ac2 时等号成立 ) 3 分ABC 的面积 SABC acsinB ac12 34 3ABC 的面积最大值为 1 分3当 B 时，已知 b2，由余弦定理，得：564a2c2 ac2ac ac(2 )ac(当且仅当 ac 时等号成立)3 3 3 6 2ac4(2 ) 1 分3ABC 的面积 SABC ac
10、sinB ac212 14 3ABC 的面积最大值为 2 1 分3注：没有指明等号成立条件的不扣分.类型 4：解三角形中的综合题目例 5：在ABC 中，A 、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知向量， （I）求 A 的大小；(1,2sin)m(sin,1cos),/,3.Amn满 足（II）求 的值.i(6解：（1）由 m/n 得 2 分0cssi2即 01cos2A1oA或舍去 s,BC的 内 角是3（2） ab3由正弦定理， 2sin3isnA3CB)(B26sin2sico2即练习：ABC 中，a，b， c 分别是角 A，B，C 的对边，且有sin2C+ cos（A+B）=0 ，.
11、当 ，求ABC 的面积。313,4a由 BAC且0)cos(2sin有 6 分23sin0co,3i CC或所 以由 ， 8 分,23sin,1,4 aca 则所 以 只 能有由余弦定理 31,04co22 bbCb或解 得有当.sin2,13sin1,3 CaSaSb 时当时课后作业1.在 ABC中， ,abc分别是角 ,ABC的对边，若 tan3A， 5cosC。（1）求角 的大小；（2）若 4,求 面积解：（1）由 525cossin,tan2CCttant()11tAB；4 分又 0， 4；6 分（2）由正弦定理 sinibcC可得，10icbB， ；8 分由 sn()si()4A得，
12、 310sinA；10 分所以 ABC 面积 1i62ABCSbc；12 分2、 中， 所对的边分别为 ， ,B, ,abcsintcoABC.sin()cos（1）求 ； （2）若 ,求 . ,AC3ABCS解：(1) 因为 ，即 ，sintacosinisncocoAB所以 ，siniii即 ，csncssncCACB得 . 所以 ,或 (不成立).si()i()BAC)ABC即 , 得 ，所以.2CAB323BA又因为 ，则 ，或 （舍去） 1sin()cos2C656得5,41AB(2) ， 62sin328ABCSacac又 , 即 ，21 世纪教育网 sini2得 23.ac3. 中， 为边 上的一点， ， ， ，求ABCDB3BD5sin133cos5ADC
