1、通信原理,第二章 信号,2,2.1 信号的类型,确知信号 任意时刻的信号取值都是确定的信号； 可以用明确的数学表达式表示的信号。 例如：指数信号、矩形脉冲信号等。 随机信号 给定某一时刻，无法确定该时刻信号的取值； 无法用确定的函数表示的信号，但信号有一定的统计规律。 例如：语音信号、图像信号等。,energy signal,3,2.1 信号的类型,能量信号 信号能量定义为能量有限的信号称为能量信号，即 0 E 功率信号 信号的功率定义为功率有限的信号称为功率信号，即 0 P ,power signal,4,2.2 确知信号的性质,功率（周期）信号的频谱 傅里叶级数 傅里叶级数系数傅里叶级数频
2、率、角频率和周期频谱的振幅和相位,deterministic signals,5,2.2 确知信号的性质,周期方波信号的频谱,Fourier series,6,2.2 确知信号的性质,能量（非周期）信号的频谱密度 傅里叶变换 傅里叶变换傅里叶逆变换傅里叶变换的另一种形式,Fourier transform,7,2.2 确知信号的性质,矩形脉冲信号的频谱密度,spectral density,8,2.2 确知信号的性质,功率（周期）信号的频谱密度 傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数周期信号的频谱密度,Fourier coefficients,9,【例2.5】单位冲激函数及其频谱密度。解：单位冲激函
3、数常简称为函数，其定义是：(t)的频谱密度：,2.2 确知信号的性质,10,(t)及其频谱密度函数的物理意义：高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。 用抽样函数Sa(t)表示函数：Sa(t)有如下性质当 k 时，振幅 ，波形的零点间隔 0，故有,11,函数的性质 对f(t)的抽样： 函数是偶函数： 函数是单位阶跃函数的导数：能量信号的频谱密度S(f)和功率信号的频谱C(jn0)的区别: S(f) 连续谱； C(jn0) 离散谱 S(f)的单位：V/Hz； C(jn0) 的单位：V S(f)在一频率点上的幅度无穷小。,u(t) = (t),12,解：设一个余弦波的表示式为f (t) = c
4、os0t，则其频谱密度F()按式(2.2-10)计算，可以写为参照式(2.2-19)，上式可以改写为引入(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。,【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度,13,2.2 确知信号的性质,周期方波信号的频谱密度,periodic signal,14,2.2 确知信号的性质,能量谱密度 设 s (t) 为能量信号，且它的频谱密度为 S () 则由帕塞瓦尔定理得 s (t) 的能量为能量谱密度函数的定义,Energy Spectral Density (ESD),15,2.2 确知信号的性质,矩形脉冲信号的能量谱密度,Parsevals theorem,16,2.2
5、 确知信号的性质,截短信号对于功率信号 s (t)，称sT (t)为 s (t) 的截短信号。,truncated signal,17,2.2 确知信号的性质,功率谱密度 设 sT (t) 的频谱密度为 ST ( f )，则其能量 E 为s (t) 的功率为功率谱密度函数定义为,Power Spectral Density (PSD),18,2.2 确知信号的性质,周期信号的功率谱密度 由帕塞瓦尔定理可得周期信号的功率周期信号的功率谱密度因为,aperiodic signal,19,2.2 确知信号的性质,自相关函数 能量信号的自相关函数功率信号的自相关函数,autocorrelation f
6、unction,20,2.2 确知信号的性质,自相关函数的性质 自相关函数为偶函数，即R() = R() 自相关函数在原点 = 0 处取得最大值，即R(0) | R()| 对于能量信号，R(0) 表示信号的能量，即对于功率信号， R(0) 表示信号的功率，即,origin,21,2.2 确知信号的性质,矩形脉冲信号的自相关函数,square wave,22,2.2 确知信号的性质,互相关函数 两个能量信号的互相关函数两个功率信号的互相关函数,crosscorrelation function,23,2.2 确知信号的性质,互相关函数的性质 若对所有的 ，R12() = 0，表示 s1(t) 与
7、 s2(t) 互不相关； 与自相关函数不同，一般情况下，R12() R21()； 不难证明： R12() = R21()；R12(0) = R21(0)； R12(0) 或 R21(0) 表示 s1(t) 与 s2(t) 在无时差时的相关性，它的大小反映 s1(t) 与 s2(t) 的相似程度。,uncorrelated,24,2.2 确知信号的性质,能量信号的相关系数功率信号的相关系数,correlation coefficients,25,2.2 确知信号的性质,相关系数的性质 12 ；12 = +1 表明 s1(t) 与 s2(t) 完全相似；12 = 1 表明 s1(t) 与 s2(t
8、) 完全相似，但极性相反；12 = 0 表明 s1(t) 与 s2(t) 完全不相似，互为正交函数。,similar,26,2.2 确知信号的性质,能量信号的相关定理 维纳-辛钦定理,correlation theorem,27,2.2 确知信号的性质,功率信号的相关定理 维纳-辛钦定理,Viener-Khintchine Theorem,28,2.3 随机信号的性质,概率的基本概念 单一事件 A 概率联合事件 (A, B) 的概率,probability,29,2.3 随机信号的性质,条件概率 在事件 A 出现的条件下，事件 B 出现的概率条件概率的性质统计独立若 P(B | A) = P(
9、B)，则P(A, B) = P(A) P(B)称 A 和 B 这两个事件为统计独立的。,conditional probability,30,2.3 随机信号的性质,随机变量 随机变量的定义随机变量定义为概率样本空间的实值函数，记为 X。 离散随机变量若随机变量的取值是有限的或者是可数无穷的，则称之为离散随机变量。 连续随机变量若随机变量的取值是连续的，则称之为连续随机变量。,random variable,31,2.3 随机信号的性质,概率分布函数的定义随机变量 X 的概率分布函数定义为 X 的取值小于或等于 x 的概率，即概率分布函数的性质 FX () = 0 FX (+) = 1 0 F
10、X (x) 1 若 x1 x2，则 FX ( x1 ) FX ( x2 ) P(a X b ) = FX (b) FX (a),Cumulative Distribution Function (CDF),32,2.3 随机信号的性质,离散随机变量的概率分布函数设 X 的取值为：x1 x2 L xi L xn，其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn，则有,staircase,33,2.3 随机信号的性质,连续随机变量的概率分布函数若 x1 x2， 则 FX ( x1 ) FX ( x2 )概率分布函数的一个特点是单调非减函数。,nondecreasing,34,2.3 随机信号
11、的性质,连续随机变量的概率密度函数的定义,Probability Density Function (PDF),35,2.3 随机信号的性质,连续随机变量的概率密度函数的性质 与概率分布函数的关系随机变量的概率非负特性积分恒等于1,integral,36,2.3 随机信号的性质,离散随机变量的概率密度函数 离散随机变量的概率分布函数的表示离散随机变量的概率密度函数的定义性质 当 x xi 时，pX (x) = 0， 当 x = xi 时， pX (x) = ,impulse,37,2.3 随机信号的性质,二维联合概率分布函数二维联合概率密度函数统计独立当且仅当 则称随机变量 X 和 Y 是统计
12、独立的。,joint CDF and PDF,38,2.4 常见随机变量举例,正态分布随机变量,normal distribution,39,2.4 常见随机变量举例,均匀分布随机变量,uniform distribution,40,2.4 常见随机变量举例,瑞利分布随机变量,Rayleigh distribution,41,2.5 随机变量的数字特征,数学期望的定义 离散随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望数学期望的性质性质 E(C) = C E(C X) = C E(X) E(C X) = C E(X),expectation,42,2.5 随机变量的数字特征,方差 方差的定义离散随机
13、变量的方差连续随机变量的方差,variance,43,2.5 随机变量的数字特征,方差 方差的另一种表示标准偏差 X 方差的性质 D(C) = 0 D(X C)=D(X)，D(CX) = C2D(X),standard deviation,44,2.5 随机变量的数字特征,矩 k 阶原点矩k 阶中心矩性质 一阶原点矩为均值二阶中心矩为方差,moment,45,2.5 随机变量的数字特征,常见概率密度的均值和方差,mean,46,2.5 随机变量的数字特征,两个随机变量的数字特征 均值 E(X Y) = mX mY E(XY) = mX mY X 和 Y 相互独立 方差,statisticall
14、y independent,47,2.5 随机变量的数字特征,两个随机变量的数字特征 联合原点矩联合中心矩协方差 归一化协方差,joint moment,48,关于不相关、正交与统计独立的讨论,独立 不相关 正交不独立 相关 不正交统计独立：若满足 或者 则称X,Y相互统计独立，若X,Y相互独立则有 反之则未必 不相关：若协方差 为零，此时归一化协方差 为零，则两随机变量不相关。因此若统计独立必然不相关，反之则未必，但对高斯过程，反之亦然 若 ，则称X,Y相互正交,反之亦然。,49,2.6 随机过程,随机过程的基本概念 随时间变化的随机变量称为随机过程，X(t) Xi(t) 为 X(t) 的一
15、个样本函数或实现，是确定的时间函数 X(tk) 为随机变量,random process,50,2.6 随机过程,随机过程的数字特征 统计平均值,statistical average,51,2.6 随机过程,随机过程的数字特征 方差,sample function,52,2.6 随机过程,随机过程的数字特征 自相关函数用自相关函数表示方差当 t1 = t2 = t，有于是，方差可表示为,mean square,53,2.6 随机过程,平稳随机过程 严格平稳随机过程的定义一个随机过程 X(t)，若它的 n 维概率密度函数 pX (x1, x2, xn; t1, t2, tn) 不随时间起点的选
16、择不同而改变，即，对任何的 n 和， X(t) 的n 维联合概率密度函数满足 pX (x1,x2,xn;t1,t2,tn) = pX (x1,x2,xn;t1,t2 ,tn ) 则称 X(t) 为平稳随机过程。 严格平稳随机过程的统计特性与时间起点无关,stationary process,54,2.6 随机过程,平稳随机过程的两个典型例子,time independent,55,2.6 随机过程,平稳随机过程的统计特性 平稳随机过程的均值平稳随机过程的方差平稳随机过程的自相关函数,time difference,56,2.6 随机过程,平稳随机过程 广义平稳随机过程的定义严格平稳随机过程与广
17、义随机过程的关系 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程； 广义平稳随机过程不一定是严格平稳随机过程。,wide-sense stationary,57,2.6 随机过程,各态历经性 统计平均对随机过程的大量样本函数用统计方法求平均而得到的数字特征。 时间平均对随机过程的任一样本函数以时间为变量求平均而得到的数字特征。 “各态历经”的含义随机过程的任一样本函数都经历了随机过程所有可能的状态。,ergodic process,58,2.6 随机过程,各态历经性 严格意义的各态历经性随机过程的各种时间平均值以概率1等于各相应的统计平均值，称为各态历经过程。 X(t) 的时间均值X(t) 的时间自
18、相关函数,ergodicity,59,2.6 随机过程,各态历经性 设 Xi(t) 为随机过程 X(t) 的一个实现，若 以概率1成立，则称 X(t) 的均值具有各态历经性； 设 Xi(t) 为随机过程 X(t) 的一个实现，若 以概率1成立，则称 X(t) 的自相关函数具有各态历经性； 若X(t) 的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称 X(t) 为广义各态历经随机过程。,time average,60,2.6 随机过程,各态历经和非各态历经过程实例 各态历经过程一定是严格平稳随机过程 严格平稳随机过程不一定是各态历经的,ensemble average,61,2.6 随机过程,信号的物理
19、量与统计值,component,62,2.6 随机过程,平稳随机过程的自相关函数的性质,infinite,63,2.6 随机过程,平稳随机过程的功率谱密度函数 信号 s(t) 的功率谱密度函数随机过程 X(t) 中一个样本 Xi(t) 的功率谱密度随机过程 X(t) 的功率谱密度,even function,64,2.6 随机过程,平稳随机过程自相关函数与功率谱密度的关系平稳随机过程功率谱密度的性质PX ( f ) 0 PX ( f ) 为实函数 PX ( f ) 为偶函数,real function,65,2.6 随机过程,随机相位正弦波的自相关函数式中 A 和 fc 常量； 为符合均匀分布
20、的随机变量：先求X(t)的数学期望,random phase,66,2.6 随机过程,由于X(t)的数学期望为常数，自相关函数与时间t无关，因此X(t)为宽平稳的随机过程。,再求X(t)的自相关函数：,67,【例2.7】设有一个二进制数字信号x(t)，如图所示，其振幅为+a或-a；在时间 T 内其符号改变的次数k服从泊松分布 式中，是单位时间内振幅的符号改变的平均次数。 试求其相关函数R()和功率谱密度P(f)。,2.6 随机过程,68,解：由图可以看出，乘积x(t)x(t-)只有两种可能取值：a2, 或 -a2。因此，式可以化简为：R() = a2 a2出现的概率 + (-a2) (-a2)
21、出现的概率式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。若在 秒内x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;若在 秒内x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。因此，用 代替泊松分布式中的T，得到,2.6 随机过程,69,由于在泊松分布中 是时间间隔，所以它应该是非负 数。所以，在上式中当取负值时，上式应当改写成将上两式合并，最后得到：其功率谱密度P( f )可以由其自相关函数R()的傅里叶变换求出：,2.6 随机过程,70,2.6 随机过程,实例：随机电报码波形 电报码波形在时间 t 内符号改变的次数 k 符合泊松分布自相关函数功率谱密度,Poisson distributi
22、on,71,2.6 随机过程,实例：频带随机过程 功率谱密度自相关函数,bandpass noise,72,2.6 随机过程,实例：白噪声 白噪声的功率谱密度白噪声的自相关函数,white noise,73,2.6 随机过程,实例：带限噪声 带限噪声的功率谱密度带限噪声的自相关函数,band limited noise,74,2.7 高斯过程,高斯过程的一维概率密度函数 a 为均值 2 为方差 为标准偏差,Gaussian process,75,2.7 高斯过程,高斯过程的二维联合高斯概率密度函数若这两个随机变量互不相关，即 12 = 0，则,two-dimensional,76,2.7 高斯
23、过程,n 维联合高斯概率密度函数,covariance,77,2.7 高斯过程,高斯过程的定义若对于任何有限时刻 ti(i = 1, 2, , n)，随机过程 X(t) 的任意 n 维联合概率密度函数符合高斯分布，则该随机过程称为高斯随机过程。,definition,78,2.7 高斯过程,高斯过程性质 1高斯过程的 n 维概率密度函数由各个时刻相应的随机变量的均值集合和协方差函数集合完全确定。,mean set,79,2.7 高斯过程,高斯过程性质 2 平稳高斯过程的定义若则高斯过程平稳。 对高斯过程而言，当它满足广义平稳条件时，也必然是严格平稳的。,satisfy,80,2.7 高斯过程,
24、高斯过程性质 3 若任意两个时刻 tj 和 tk 的随机变量 X(tj) 和 X(tk) 两两互不相关，即则 n 维概率密度函数成为对高斯过程而言，不相关和统计独立是等价的。,equivalent,81,2.7 高斯过程,正态分布密度函数的性质 关于 x = a 对称； 当 x a，单调升；当 x a，单调降； 积分面积为1； 当 a = 0， = 1 时为标准化正态分布。,normalization,82,2.7 高斯过程,正态分布函数正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数,distribution function,83,2.7 高斯过程,误差函数补误差函数,error function
25、,84,2.7 高斯过程,误差函数与补误差函数的关系正态分布函数与误差函数的关系正态分布函数与补误差函数的关系,complementary error function,85,2.7 高斯过程,加性高斯白噪声 噪声功率谱密度为常数，即噪声幅度符合高斯分布，即,Additive White Gaussian Noise (AWGN),86,2.8 窄带过程,窄带随机过程的功率谱密度带宽 f 有限，且 f fc 窄带随机过程的时域表达aX(t) 为 X(t) 的随机包络，X (t) 为 X(t) 的随机相位,narrowband process,87,2.8 窄带过程,窄带随机过程在时域的正交分解
26、,in-phase component,88,2.8 窄带过程,Xc(t) 和 Xs(t) 的统计特性设 X(t) 是均值为0的平稳窄带高斯过程，则 EXc(t) = EXs(t) =0 Xc(t) 和 Xs(t) 也是广义平稳的在同一时刻上得到的 Xc(t) 和 Xs(t) 是不相关的和统计独立的。 Xc(t) 和 Xs(t) 也是高斯过程；,quadrature component,89,2.8 窄带过程,aX (t) 和 X (t) 的统计特性 窄带平稳过程的包络符合瑞利分布窄带平稳过程的相位符合均匀分布,90,研究正弦波加窄带高斯噪声的目的 很多信号可以近似看作正弦信号； 信道通常是有
27、限带宽的； 信道噪声可以看成加性高斯过程。 正弦波加噪声的时域表达式式中，A 正弦波的确知振幅；0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位；n(t) 窄带高斯噪声。,2.9 正弦波加窄带高斯过程,random phase,91,2.9 正弦波加窄带高斯过程,r (t) 的包络的概率密度式中， 2 n(t) 的方差；I0() 零阶第一类修正贝塞尔函数。 r (t)的包络符合广义瑞利分布，也称莱斯分布； 当 A 很小时，即信噪比很小，该分布趋于瑞利分布； 当 A 很大时，即信噪比很大，该分布趋于高斯分布。,Rician distribution,92,r (t) 包络的概率密度曲线,瑞利分布,0.6,
28、0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,O,2,4,6,8,10,12,x,pr (x),2.9 正弦波加窄带高斯过程,modified Bessel function,93,2.9 正弦波加窄带高斯过程,r (t) 相位的概率密度设 为 r (t) 的相位，它包含正弦信号相位 和噪声相位两部分。 为零时的 r (t) 相位条件概率密度为：当信噪比很小时，相位趋于均匀分布； 但信噪比很大时，相位趋于冲激函数。,Signal-to-Noise Ratio (SNR),94,r (t) 相位的概率密度曲线,2.9 正弦波加窄带高斯过程,curve,95,2.10 信号通过线性系统,确知信号通过线性
29、系统时域关系频域关系,impulse response,96,例2.10 若有一个RC低通滤波器，如图2.10.4所示。 试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式 解:设 x(t) 输入能量信号 y(t) 输出能量信号 X(f) x(t)的频谱密度 Y(f) y(t)的频谱密度 则此电路的传输函数为： 此滤波器的冲激响应h(t)：,2.10 信号通过线性系统,97,滤波器输出和输入之间的关系：假设输入x(t)等于：则此滤波器的输出为：,2.10 信号通过线性系统,98,2.10 信号通过线性系统,无失真传输的条件 冲激响应频率响应,frequency response,99
30、,2.10 信号通过线性系统,随机信号通过线性系统 确知信号通过线性系统的输出随机信号 X(t) 的一个样本 Xi(t) 通过线性系统的输出随机信号通过线性系统的输出,amplitude response,100,2.10 信号通过线性系统,输出随机过程的均值假设 X(t) 为平稳随机过程,phase response,101,2.10 信号通过线性系统,输出随机过程的自相关函数假设 X(t) 为平稳随机过程若输入是平稳过程，则输出也是平稳过程。,linear system,102,2.10 信号通过线性系统,输出随机过程的功率谱密度,impulse response,103,【例2.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：所以有输出信号的功率谱密度为输出信号的自相关函数输出噪声功率： PY RY(0) = k2 n0 fH,2.10 信号通过线性系统,104,2.10 信号通过线性系统,高斯随机过程通过线性系统,convolution,105,第二章习题,2.1 2.6 2.9 2.13 2.17,
