1、2019 届高三八校第一次联考数学（理科）试题班级_ 姓名_ 分数_一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1.已知集合 ， ，则 （ ）|1Ax3sin1,ByxABA. B. C. D.1,2,)(,20,12.已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）3izzA. B. C. D. 2232i32i3.设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）018log9a019log8b1209c,abcA. B. C. D.bcac4.设函数 ，若角 的终边经过点 ，则 的值为（ ）54()3xf(3,4)P(os)fA.1 B.3 C.4 D.95.已知公差不为 的等差数列 的
2、首项 ，且 成等比数列，数列 的前 项和0na1247,anb满足 ，数列 满足 ，则数列 的前 项和为（ ）nS2nN， cnbNnc3A.31 B.34 C.62 D.596.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. ，使得 成立. (0,)xsi2nxB.命题 ：任意 ，都有 ，则 ：存在 ，使得 .pxRco1p0xR0cos1xC.命题“若 且 ，则 且 ”的逆命题为真命题.2ab4abD.若数列 是等比数列， 则 是 的必要不充分条件.n *,mN2mnpap7.设不等式组 表示的平面区域为 ，则（ ）01yxwA. 的面积是 B. 内的点到 轴的距离有最大值w92 xC. 点 在 内
3、时， D. 若点 ，则(,)Axy2yx0(,)pyw02xy8.将向量列 组成的系列称为向量列 ，并记向量列112,(,)(,)nnaaxy na的前 项和为 ，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等n 3nS于同一个向量 ，那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列 为等和向量列，若p n，则与向量 一定是垂直的向量坐标是（ ）1(,0)(,)p31A. B. C. D.65,0(5,16)(16,5)9.函数 的定义域为 ，且 其中 ， 为常数，若对任意yfxR)xfxa0a都有 ，则函数 的图象可以是（ ）12,()x12()0x()yfx10.已知函数 ，若函数 的零点都在区
4、间234567()1xxf()3)hxf内，当 取最小值时， 等于（ ）(,),abZba(21)bdaA3 B4 C5 D611.已知 同时满足下列三个条件：()sin)3fx 时 最小值为 ， 是奇函数， .1212x()3yfx(0)6f若 在 上没有最大值，则实数 的范围是（ ）()f0,t tA B C D60,61,6251,6212.已知函数 ，在函数 图象上任取两点 ，若直线2ln1hxaxahxAB的斜率的绝对值都不小于 ，则实数 的取值范围是（ ）B5A. B. C. D.,03(,43(,43(,0)4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已
5、知向量 ，若 ，则 .(,)(1,2)atb2ab|ab14. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 0.618，这一数值也可表示为 . 若 ，则 .sin8m4n21cos73mn15.已知定义在实数集 上的函数 满足 ，且 的导函数 满足 ，则R()fx(1)0f()fx()fx()10f不等式 的解集为 .（结果用区间表示）(ln)1fx16.已知各项均为正数的两个无穷数列 和 满足： ，nab12nnab， 12nnbaN，且 是等比数列，给定以下四个结论：数列 的所有项都不大于 ；数列 的所有项都na n大于 ；数列 的公比等
6、于 ；数列 一定是等比数列。其中正确结论的序号是 .2na1n三、 解答题：本题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (12 分) 在 中，已知点 在边 上，且 ， ， .ABCDBC0AD2cos3AB2（1 ）若 ，求 的值；43sin（2 ）若 ，求 边上的中线 的长. 2E18. (12 分) 如图所示，四棱锥 中， ，四边形PABCDPABCDP=2面 面 ，为等腰梯形， , 为 的中点.ABCD1/,2E（1）求证： ./E面平（2）求面 与平面 所成的二面角 的正弦值.P19. (12 分)首届中国国际进口博览会于 2018 年 11 月 5 日至 10
7、日在上海的国家会展中心举办。国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集首届进博会亮点纷呈。一个更加开放和自信的中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案。某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供采购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场。已知该产品年固定研发成本 30 万美元，每生产一台需另投入 90 美元。设该公司一年内生产该产品 万台且全部售完，每万台的销售x收入为 万美元，()Gx2403,02()68,+1()xx（1）写出年利润 （万美元）关于年产量 （万台）的函数解析式；（利润销售收入成本）S（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求最大利润.2
8、0. (12 分) 已知点 ， 的两顶点 ，且点 满足41(,0),)8FHABC1(2,0)(,)BC2CAB（1）求动点 的轨迹方程；（2）设 ，求动点 的轨迹方程；(5,0)(,3)(,)abOCab（3）过点 的动直线 与曲线 交于不同两点 ，过点 作 轴垂线 ，试判断直线 与直Fl MNyll线 的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程，否则，说明理由.NH21. (12 分)已知函数 ，不等式 对 恒成立.lnxu11px0,（1 ）求函数 的极值和函数 的图象在点 处的切线方程；x,u（2 ）求实数 的取值的集合 ；pT（3 ）设 ，函数 ， ，其中 为自然对数的底数，
9、若0T02logpmfxx2ex关于 的不等式 至少有一个解 ，求 的取值范围x42gx01,6m请考生在第 2223 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）选修 44，极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，曲线 （ 为参数），在xoyOcos2in:icsxCy以平面直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线 的极l坐标方程为 .cs()23（1 ）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；Cl（2 ）直线 与 轴的交点 ，经过点 的直线 与曲线 交于 两点，若lxPmC,AB，求直线 的倾斜角.
10、4PABm23.（本小题满分 10 分）选修 45，不等式选讲已知函数 .20(),8xf()2gxafx（1 ）当 时，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；a()5gb(0,)b（2 ）当 时，求不等式 的解集.2EPCDBA2019 届高三八校第一次联考数学（理科）试题参考答案一、选择题：1 5 ABCBB 6-10 DCCAB 11-12 DB12. 解析： ， 在 单调递减210axhxhx,设1212, 5AyB， 12120,55hxx则设 则 在 上单调递减5fxxf+，则 对 恒成立 20aa,x则 对 恒成立 则21, 20,850a即解之得 或 又 ，所以3643643
11、64二、填空题：13. 14. 15. 16. 21(0,)e16.解析：因为 222nnnabab所以 下证等比数列 的公比1 na1q若 ，则 此时 ，与矛盾q2 11,log2qa则 当 时 ， 2n若若 ，则 此时 ，与矛盾01, nanq则 当 时 ， 1故 故 下证 ，若 则q1nnb121231,ba于 是由 所以 中至少有两项相同，矛盾2112naa得 123,b所以 所以正确的序号是,b所 有三、解答题：17.(1) 2sinsi(90)cos3BACDAB由 条 件 得. 6 分3243,sinsinABCC在 中 则 ，（2） i3由 (1) BA为 钝 角 1cosBA
12、3C8 分1E=+E=+4AB22由 得 （ ） （ ） （ ）又 ，所以 12 分2,C18.（1） .,DOB取 的 中 点 连 接 又EPA为 的 中 点 为 的 中 点， /OEPD1/,2BCAD 四 边 形 是 平 行 四 边 形 /,/,C和 是 平 面 内 的 两 条 交 线 4 分B平 面 平 面又 6 分D平 面 /B平 面（2 ） ， ， ,MP取 的 中 点 以 方 向 为 正 方 向 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 系 O-xyz,31(0,1)(0)(),(,0)2PA则 1(0)PADn则 平 面 一 个 法 向 量的 为， 8 分,C2(,)3102
13、yzDnxzx设 平 面 一 个 法 向 量的 为 则 21,3,1,xyz不 妨 令 则 12 分24cossin77n则19. 解：（1）当 时，0x2()903)1503SxGx当 时，2 ()()1函数解析式为： 4 分235,0()130,2Sxx（2）当 时，因为 ， 在 上单调递增，0x21845S(,0所以当 时， 6 分max()7当 时，30(2)9090131271()271xSxx9 分927当且仅当 即 时等号成立 10 分01()x29因为 所以 时， 的最大值为 万美元. 11 分37S2370答：当年产量为 万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为 万
14、美元. 12 分29 237020. 解：（1 ）设动点 ，其中 由 得：(,)Cxy021()()xyxy（ ） 3 分（没强调“ ”的扣 1 分，后面不重复扣分）21x0（2 ）设点 ，由 得 ，代入（1）中的方程得：(,)y5xy3（ ）2159xy0即曲线 轨迹方程为 （ ） 6 分C2159xy0（3 ）显然过点 直线 不垂直 轴上，设 ,同时设 ,(4,)Fl:4lxmy1()Mxy2()N由 消 整理得: 2159xmyx22(5)780由韦达定理得： ， 7 分2279y12295y直线 直线 1:l 241:()8NHx联立求解交点，消 得： 9 分y2141()98yxm1
15、219myx把韦达定理中的 及变形式 代入上式得：1228512795y与 无关）287()499yx(4m故两直线 的交点恒落在直线 上. 12 分,lNH x21. 解：（1 ） ，则 时， 时，21lnxu0,e0,uxe0,ux故 在 递增，在 递减，1 分x0,e,故 ； 2 分极 大 值 不 存 在 极 小 值又 ，故函数 的图象在点 处的切线方程为： 31,uux1,u1yx分显然， 不合题意。0p当 时，由 得 ，1pxlnlnpx则有 ， 4 分1lnlxp故依题意知 对 恒成立l1lnx0,x由前面的结论知，当 时， 取得最大值 ，故1ex1lx1elnp又可知，当 时，
16、取得最大值 ，故 plnlnp故 ， 5 分1lne综上的 6 分（3 ）设 42mhxgfxx则 7 分lnem当 时， ，0211,60,ln0ex xxx所以不存在 使得 成立. 故 不合题意。9 分0()hm当 时，2222()+e因为 ， 所以 在 恒成立，1,66,0xxx()0hx1,6故 在 单调递减， ， 10 分()hx1,62min()6ln63emhx则依题意有 11 分2l03e解之得 故 的取值范围 12 分l5m21l,35e（本题可用分离变量求解更简单）22. 解：（1 ）曲线 C 的普通方程为 29xy直线 的直角坐标方程为 4 分l 340（2 ）点 的坐标为 设直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜角）联P(4,0)mcosinxtyt立直线 与曲线 的方程得： 6 分m28cos7tt设 对应的参数分别为 ，则 AB、 12,12s64808 分12128cos3Ptt且满足 故直线 的倾斜角是 或 10 分3cos0m65（说明，不检验扣 1 分）23. 解：（1 ）当 时， 转化为a()5gxb2bx4 分252)3x3（2 ）当 时，由 得 或 6 分1()0x28x即 或 解得 或 8 分0234x80x4232x故不等式的解集为 10 分（以上解答题如用其它方法作答，请酌情给分）
