1、矩形的性质和判定一填空题1如图，矩形 ABCD中，ABC 的平分线交 AD边于点 E，点 F是 CD的中点，连接 EF若AB=8，且 EF平分BED，则 AD的长为 题 1 题 3 题 42若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40，则两条对角线相交所成的锐角是 3如图，在矩形 ABCD中，AB= ，E 是 BC的中点，AEBD 于点 F，则 CF的长是 4如图，在矩形 ABCD中，M 为 BC边上一点，连接 AM，过点 D作 DEAM，垂足为 E若DE=DC=1，AE=2EM，则 BM的长为 5如图，在矩形 ABCD中，ABC 的平分线交 AD于点 E，连接 CE若 BC=7，AE=4，则 CE
2、= 题 5 题 6 题 76如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则 EF= cm7如图，连接四边形 ABCD各边中点，得到四边形 EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形 EFGH是矩形8如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为 （填一个即可） 题 8 题 11 题 129已知四边形 ABCD为平行四边形，要使得四边形 ABCD为矩形，则可以添加一个条件为 10木匠做一个矩形木框，长为 80cm，宽为 60cm
3、，对角线的长为 100cm，则这个木框 （填“合格”或“不合格” ）11如图，在四边形 ABCD中，已知 ABDC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形 ABCD成为矩形，这个条件是 12如图，在平行四边形 ABCD中，延长 AD到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB 请你添加一个条件 ，使四边形 DBCE是矩形二解答题13如图，在ABCD 中，BAD 的平分线交 CD于点 E，交 BC的延长线于点 F，连接BE，F=45（1）求证：四边形 ABCD是矩形；（2）若 AB=14，DE=8，求 sinAEB 的值14如图，AD 是等腰ABC 底边 BC上的高
4、点 O是 AC中点，延长 DO到 E，使 OE=OD，连接 AE，CE（1）求证：四边形 ADCE的是矩形；（2）若 AB=17，BC=16，求四边形 ADCE的面积15如图，四边形 ABCD中，ABDC，B=90，F 为 DC上一点，且 FC=AB，E 为 AD上一点，EC 交 AF于点 G（1）求证：四边形 ABCF是矩形；（2）若 EA=EG，求证：ED=EC16如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E点，延长 BC至 F点使 CF=BE，连接 AF，DE，DF（1）求证：四边形 AEFD是矩形；（2）若 AB=6，DE=8，BF=10，求 AE的长17平行四边形 ABCD中，过点 D作
5、 DEAB 于点 E，点 F在 CD上，CF=AE，连接 BF，AF（1）求证：四边形 BFDE是矩形；（2）若 AF平分BAD，且 AE=3，DE=4，求矩形 BFDE的面积矩形的性质和判定解析一填空题（共 12小题）1如图，矩形 ABCD中，ABC 的平分线交 AD边于点 E，点 F是 CD的中点，连接 EF若AB=8，且 EF平分BED，则 AD的长为 12 【分析】根据两直线平行，内错角相等求出AEB=EBC，再求出ABE=EBC，根据等角对等边可得 AE=AB，然后根据 AD=AE+ED代入数据计算即可得解【解答】解：矩形 ABCD中，ADBC，AEB=EBC，ABC 的平分线交 A
6、D边于点 E，ABE=EBC，ABE=AEB，AB=AE=8，同理得出 ED=DF= DC=4，AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：122若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40，则两条对角线相交所成的锐角是 80 【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为 40，两条对角线相交所成的钝角为：180402=100故它们所成锐角为：180100=80故答案为 803如图，在矩形 ABCD中，AB= ，E 是 BC的中点，AEBD 于点 F，则 CF的长是
7、【分析】根据四边形 ABCD是矩形，得到ABE=BAD=90，根据余角的性质得到BAE=ADB，根据相似三角形的性质得到 BE=1，求得 BC=2，根据勾股定理得到 AE= ，BD= = ，根据三角形的面积公式得到 BF= = ，过F作 FGBC 于 G，根据相似三角形的性质得到 CG= ，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：四边形 ABCD是矩形，ABE=BAD=90，AEBD，AFB=90，BAF+ABD=ABD+ADB=90，BAE=ADB，ABEADB， ，E 是 BC的中点，AD=2BE，2BE 2=AB2=2，BE=1，BC=2，AE= = ，BD= = ，BF= = ，过 F作
8、FGBC 于 G，FGCD，BFGBDC， = = ，FG= ，BG= ，CG= ，CF= = 故答案为： 4如图，在矩形 ABCD中，M 为 BC边上一点，连接 AM，过点 D作 DEAM，垂足为 E若DE=DC=1，AE=2EM，则 BM的长为 【分析】由 AAS证明ABMDEA，得出 AM=AD，证出 BC=AD=3EM，连接 DM，由 HL证明RtDEMRtDCM，得出 EM=CM，因此 BC=3CM，设 EM=CM=x，则 BM=2x，AM=BC=3x，在RtABM 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：四边形 ABCD是矩形，AB=DC=1，B=C=90，ADBC，AD=B
9、C，AMB=DAE，DE=DC，AB=DE，DEAM，DEA=DEM=90，在ABM 和DEA 中， ，ABMDEA（AAS） ，AM=AD，AE=2EM，BC=AD=3EM，连接 DM，如图所示：在 RtDEM 和 RtDCM 中， ，RtDEMRtDCM（HL） ，EM=CM，BC=3CM，设 EM=CM=x，则 BM=2x，AM=BC=3x，在 RtABM 中，由勾股定理得：1 2+（2x） 2=（3x） 2，解得：x= ，BM= ；故答案为： 5如图，在矩形 ABCD中，ABC 的平分线交 AD于点 E，连接 CE若 BC=7，AE=4，则 CE= 5 【分析】首先证明 AB=AE=C
10、D=4，在 RtCED 中，根据 CE= 计算即可【解答】解：四边形 ABCD是矩形，ADBC，AB=CD，BC=AD=7，D=90，AEB=EBC，ABE=EBC，AB=AE=CD=4，在 RtEDC 中，CE= = =5故答案为 56如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则 EF= 2.5 cm【分析】根据勾股定理求出 AC，根据矩形性质得出ABC=90，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可【解答】解：四边形 ABCD是矩形，ABC=90，BD=AC，BO=OD，AB=6
11、cm，BC=8cm，由勾股定理得：BD=AC= =10（cm） ，DO=5cm，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，EF= OD=2.5cm，故答案为：2.57如图，连接四边形 ABCD各边中点，得到四边形 EFGH，还要添加 ACBD 条件，才能保证四边形 EFGH是矩形【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HGBD，EHAC，根据平行线的性质EHG=1，1=2，根据矩形的四个角都是直角，EFG=90，所以2=90，因此ACBD【解答】解：G、H、E 分别是 BC、CD、AD 的中点，HGBD，EHAC，EHG=1，1=2，2=EHG，四边形 EFGH是矩形，EHG=90，2=90，A
12、CBD故还要添加 ACBD，才能保证四边形 EFGH是矩形8如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为 DAB=90 （填一个即可） 【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形 ABCD是平行四边形，添加条件DAB=90可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定【解答】解：可以添加条件DAB=90，AO=CO，BO=DO，四边形 ABCD是平行四边形，DAB=90，四边形 ABCD是矩形，故答案为：DAB=90 9已知四边形 ABCD为平行四边形，要使得四边形 ABCD为矩形，则可以添
13、加一个条件为 BAD=90 【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可【解答】解：四边形 ABCD是平行四边形，BAD=90，四边形 ABCD是矩形，故答案为：BAD=90（答案不唯一） 10木匠做一个矩形木框，长为 80cm，宽为 60cm，对角线的长为 100cm，则这个木框 合格 （填“合格”或“不合格” ）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格【解答】解：解：80 2+602=10000=1002，即：AD 2
14、+DC2=AC2，D=90，同理：B=BCD=90，四边形 ABCD是矩形，故答案为合格11如图，在四边形 ABCD中，已知 ABDC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形 ABCD成为矩形，这个条件是 A=90 【分析】根据有一个角是 90的平行四边形是矩形，即可解决问题【解答】解：ABDC，AB=DC，四边形 ABCD是平行四边形，当A=90时，四边形 ABCD是平行四边形故答案为A=90 （填B=90或C=90或D=90也可以） 12如图，在平行四边形 ABCD中，延长 AD到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB 请你添加一个条件 EB=DC ，使四
15、边形 DBCE是矩形【解答】解：添加 EB=DC理由如下：四边形 ABCD是平行四边形，ADBC，且 AD=BC，DEBC，又DE=AD，DE=BC，四边形 DBCE为平行四边形又EB=DC，四边形 DBCE是矩形故答案是：EB=DC 二解答题（共 6小题）13如图，在ABCD 中，BAD 的平分线交 CD于点 E，交 BC的延长线于点 F，连接BE，F=45（1）求证：四边形 ABCD是矩形；（2）若 AB=14，DE=8，求 sinAEB 的值【分析】 （1）欲证明四边形 ABCD是矩形，只需推知DAB 是直角；（2）如图，过点 B作 BHAE 于点 H构建直角BEH通过解该直角三角形可以
16、求得sinAEB 的值在 RtBCE 中，由勾股定理得 在 RtAHB 中，BH=ABsin45=7 所以通过解 RtBHE 得到：sinAEB= 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，ADBCDAF=FF=45，DAE=45AF 是BAD 的平分线，EAB=DAE=45DAB=90又四边形 ABCD是平行四边形，四边形 ABCD是矩形（2）解：如图，过点 B作 BHAE 于点 H四边形 ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，DCB=D=90AB=14，DE=8，CE=6在 RtADE 中，DAE=45，DEA=DAE=45AD=DE=8BC=8在 RtBCE 中，由勾股定理得
17、 在 RtAHB 中，HAB=45，BH=ABsin45=7 在 RtBHE 中，BHE=90，sinAEB= 14如图，AD 是等腰ABC 底边 BC上的高点 O是 AC中点，延长 DO到 E，使 OE=OD，连接 AE，CE（1）求证：四边形 ADCE的是矩形；（2）若 AB=17，BC=16，求四边形 ADCE的面积【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出四边形 ADCE是平行四边形，根据垂直推出ADC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出 DC，根据勾股定理求出 AD，根据矩形的面积公式求出即可【解答】 （1）证明：点 O是 AC中点，AO=OC，OE=OD，四边形 ADCE是平行
18、四边形，AD 是等腰ABC 底边 BC上的高，ADC=90，四边形 ADCE是矩形；（2）解：AD 是等腰ABC 底边 BC上的高，BC=16，AB=17，BD=CD=8，AB=AC=17，ADC=90，由勾股定理得：AD= = =15，四边形 ADCE的面积是 ADDC=158=120 15如图，四边形 ABCD中，ABDC，B=90，F 为 DC上一点，且 FC=AB，E 为 AD上一点，EC 交 AF于点 G（1）求证：四边形 ABCF是矩形；（2）若 EA=EG，求证：ED=EC【分析】 （1）由条件可先证得四边形 ABCF为平行四边形，再由B=90可证得结论；（2）利用等腰三角形的性
19、质可求得EAG=EGA=FGC，再利用直角三角形的性质可求得D=ECD，可证得 ED=EC【解答】证明：（1）ABCD，且 FC=AB，四边形 ABCF为平行四边形，B=90，四边形 ABCF是矩形；（2）EA=EG，EAG=EGA=FGC，四边形 ABCF为矩形，AFC=AFD=90，D+DAF=FGC+ECD=90，D=ECD，ED=EC16如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E点，延长 BC至 F点使 CF=BE，连接 AF，DE，DF（1）求证：四边形 AEFD是矩形；（2）若 AB=6，DE=8，BF=10，求 AE的长【分析】 （1）先证明四边形 AEFD是平行四边形，再证明AE
20、F=90即可（2）证明ABF 是直角三角形，由三角形的面积即可得出 AE的长【解答】 （1）证明：CF=BE，CF+EC=BE+EC即 EF=BC在ABCD 中，ADBC 且 AD=BC，ADEF 且 AD=EF四边形 AEFD是平行四边形AEBC，AEF=90四边形 AEFD是矩形；（2）解：四边形 AEFD是矩形，DE=8，AF=DE=8AB=6，BF=10，AB 2+AF2=62+82=100=BF2BAF=90AEBF，ABF 的面积= ABAF= BFAEAE= = = 17平行四边形 ABCD中，过点 D作 DEAB 于点 E，点 F在 CD上，CF=AE，连接 BF，AF（1）求
21、证：四边形 BFDE是矩形；（2）若 AF平分BAD，且 AE=3，DE=4，求矩形 BFDE的面积【分析】 （1）根据有一个角是 90度的平行四边形是矩形即可判定（2）首先证明 AD=DF，求出 AD即可解决问题【解答】证明：（1）四边形 ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，DFBE，CF=AE，DF=BE，四边形 BFDE是平行四边形，DEAB，DEB=90，四边形 BFDE是矩形（2）ABCD，BAF=AFD，AF 平分BAD，DAF=AFD，AD=DF，在 RtADE 中，AE=3，DE=4，AD= =5，矩形的面积为 20 18在ABCD 中，过点 D作 DEAB 于点 E，点 F在 CD上，CF=AE，连接 BF，AF（1）求证：四边形 BFDE是矩形；（2）若 AD=DF，求证：AF 平分BAD【分析】 （1）先证明四边形 BFDE是平行四边形，再证明DEB=90即可（2）欲证明 AF平分BAD，只要证明DAF=BAF 即可【解答】证明：（1）四边形 ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，即 BEDF，CF=AE，DF=BE，四边形 BFDE是平行四边形，DEAB，DEB=90，四边形 BFDE是矩形（2）由（1）可知 ABCD，BAF=AFD，AD=DF，DAF=AFD，BAF=DAF，即 AF平分BAD
