1、第一章 多项式习题解答 P44.1 1)17 262() ()( ) ( )39 9 9fx gx x x=+2)2() ()( 1) (5 7)fx gxx x x=+P44.2 1)231| 9x mx x x q+ +余式2(1 )( )pmxqm0+ +=21mqpq=方法二， 设320(1)()1mqx pxq x m xqmq p =+=+ + =同样。 2 )2421|x mx x px q+ + +余式22(2 )( 1 )mp m x q p m 0+ +=2(2)0mm p .+=221,( 1 )mp qx pq + =+ = +P44.3.1 用() 3g xx=+除5
2、3() 2 5 8f xxx=x解： 54 3 2( ) 2( 3) 30( 3) 175( 3) 495( 3) 667( 3) 327fx x x x x x =+ + + + +P44.3 .2) 3232()(12)(28)(12)xxx iixi =+ + +x(12 8 )( 1 2 ) (9 8 )ix i i+ +即余式98i +商22(52)x ix i+P44.4.1). 50() , 1fx x x= =：即5432( ) ( 1) 5( 1) 10( 1) 10( 1) 5( 1) 1fx x x x x x =+当然也可以55( ) ( 1) 1fx x x=+54(
3、1)5(1)xx=+ +1P44.4 2) 结果 3) 42 4 3 2( ) 2 3 ( 2) 8( 2) 22( 2) 24( 2) 11fx x x x x x x= +=+ + + +43 2() 2 (1 ) 3 7f xx ix ix x=+ + +i43 243 2()2()(1)( )3()7()2()(1)()5()75x ii ixii ixii xii ixi ixi ixi xi i=+ + + +=+ + + +P45.5 (1)22() ( 1)( 2 1) ( 1)( 1)gx x x x x x= += +)13)(1()(3+= xxxxf(),() 1f x
4、 g xx=+(2)32() 3 1gx x x= +不可约不可约 14)(34+= xxxf()(), () 1fxgx =(3)122)(122(110)(2224+=+= xxxxxxxf432 32 2() 42 6 62 1, () 42( 22 ) ( 22 1)gx x x x x f x x x x x x= + + + = + += 2()2(), () 2 2 1f xgx x x= P45.6 (1) )2()1()(22+= xxxf22() ( 2)( 1)gx x x x= + 22(1)(1)( 1)(2)xxxxx+=1)2(2)(1)()(2)(x xfxxg
5、x=+ +(2) ，)1424)(1()(23yxxxxxf +=2() ( 1)(2 4)gx x x x= +)()1(1xfx=1(1)()x gx= 而 111() ()2-3(2 3)() (2 3)( 1)fx gx x xgx x x= +=+111211(2 3)( 1) ( )( 1)33x1x xg yfxg= + = 2121(1)()( 1)(333)x xfx x xgx= + (3) , 144)(234+= xxxxxf2() 1gx x x= , 2() ()( 3) ( 2)fx gxx x=+() ( 2)( 1) 1gx x x= +21( ( 3)(1)
6、f gx x g= + +32(1)()( 32)()x fx x x x gx= + + + . P45.7 2() ()1 (1 ) (2 ) ()f xgx tx txurx=+=222212()(2) 2() ()( ) (1 )1(1 (1) (1tttut tgx rx x x utt t t+ =+ + + +由题意() () ()| ()rx x rx gx与g 的公因式应为二次所以=+=+0)1(30)1()4()3(322223uttttututt=+=+0)3(0)4()3(3)(1223uttututtxrt 为一次的否则解出( ) 当)1)(4(04330223+=+
7、= ttttttu 时32314= ett 或()311,03,02ttttu =+=+ 只有时当)433(31433)4()3(3233232+=+=+ ttttttttuututt)4(2246)82)(3(3122+=+= ttttttu即 =+=03)4(22tttu2111 =tP45、8()| (), ()| ()dx f xdx g x表明 是公因式 ()dx又已知： 表明任何公因式整除() () ()dx f x gx是 与 的组合 ()dx所以 是一个最大的公因式。 ()dxP45，9. 证明( ()(), ()() ( (), ()()f xhx g xhx f x g x
8、hx=（ 的首系=1 ） ()hx证：设( ()(), ()() ()f xhx g xhx mx=由 ( (), ()()| ()()f x g xhx f xhx( (), ()()| ()().f x g xhx g xhx( (), ()()| ()f x g xhx mx( (), ()()f x g xhx是一个公因式。 设() ( (), () () () ()().dx f x g xuxf xvxg x=+()() ( (), ()() () ()() ()()().dxhx f x g xhx uxf xhx vxg xhx +而首项系数=1 ，又是公因式得（由 P45、8
9、 ），它是最大公因式，且 ( (), ()() ( ()(), ()().f x g xhx f xhx g xhx=P45、10 已知(), ()f x g x不全为 0。证明() ()(,( (), ()( (), ()fx gxf x gx f x gx1.=证：设( ) ( ( ), ( ).dx f x g x=则() 0.dx设1()(),()fxf xdx=1()(),()gxgxdx=及() () () ()().dx uxf xvxg x= +所以11() () ()() () ()().dx uxf xdx vxg xdx=+消去 得() 0dx111()()()(uxf
10、x vxg x=+)P45.11 证：设11( (), () () 0, () ()(), () ()()f xgx dx fx fxdxgx gxdx= = =11 1() ()() () ()() (),() () () () 1uxf xdx uxg xdx dx uxf x uxg x+=+1P45.12 设211 1 1 1 11, 1 1uf vg u f v h uu f ufv h vgu f vu gh+= += + + + = . 11 1 1()()(uu f uv h vgu f v u gh f gh+ + = =,)P45.13 (,g)1iif =， 固定 12:
11、( , ) 1iifgg=12(, )1infggg =P45.14 (,)1 1 ( ) ( )1 (, )1fg uf vg u vf vg f fg f= + = + + = + =同理(, ) 1gg f+=. 由 12 题(, )1fg f g+=令12 nggg g=,( , ) 1iifg =每个11(,)1ff g=,1123(,)fff g=, （注反复归纳用 12 题）。 12 1 2(, )mnff f gg g =nullnull 1推广 若 则(),() 1,fx gx =m，n 有(),() 1mnfx gx =P45,15 f(x)=x3+2x2+2x+1, g(
12、x)=x4+x3+2x2+x+1 解：g(x)=f(x)(x-1)+2(x2+x+1), f(x)=(x2+x+1)(x+1) 即(f(x) ，g(x) = x2+x+1. 令(x2+x+1)=0 得231,23121ii =+= f(x) 与g(x) 的公共根为 21,. P45.16 判断有无重因式 5432() 5 7 2 4 8f xx xxxx= + + +344)(24+= xxxxf解4421205)(234+= xxxxxf325 ( ) ( )( 1) 3(2 5 4 12)fx f xx x x x=+232 215 49( ) (2 5 4 12)(5 ) ( 4 4)2
13、2fx x x x x x x= + + +)32)(44()12452(223+=+ xxxxxx故 有重因式)(xf3)2( x484)(3+= xxxf32() ( 2 1) (2 3 3)fx x x x x x=+ +)1311()32)(332()(2+= xxxxxf26611(2 3 3) (11 13)(2 ) (33 )11 11xx x x13+= + +1)().( = xfxfP45.17 有重因式（有重根） 13)(?23+= txxxxft 时解. txxxf += 63)(2)3()62()1)()(3 += txtxxfxf如 则 有重因式：3 重因式3=t)
14、()1(3xfx =如 则.3t)2152()2153)(22()(2 += txxf此时必须415=t有重因式)4()21()(2+= xxxfP45.18 求多项式 有重根因式的条件 qpxxxf +=3)(证pxxf +=23)(23() (3 ) 2 3f xxpxpx=+q)0( p222233 27(3 ) (2 3 )( ) ( )24 4aqxp pxq x pp pp+= + +32427pq0 +=p45.19 令42 2() 1, ( 1)| (), ( 1) ()f xAxBx x fx x fx=+ 因为 所以即)(1(24)(23cbxaxxBxAxxf +=+=4
15、020aAbacb Bc=0224=+=BABbaA又)(1()()()1(23dxcxbxaxxfxfx +=01aAbacbd=0BbabAa=101=+ BA2,1 = BAP46，20 证2() 12! !nx xfx xn=+ +null无重因式（重根） 证： ( ) ( )!nxfx fxn=(,) (, )!yxff fn =(,) 1)fx= (, ) 1 ()nfx fx= 无重因式. P46，21 g(x)=12 f(x)+ f (a)+() ()2xafx fx g(a)=0 又 g(a)=0 /11 1() () () () () ( ) () () 022 2 2xa
16、gx fx fx fx fx xafx ga =+ =/ (4)/1() ()22(), (), (), ()xagx fx fxaxgxgxgx=+/是g 根,且使g (x)的k+1重根a是g(x)的k+3重根.P46，22 “ ”必要性显然（见定理 6 推论 1） “”若x0是f(x) 的t 重根，t k ， 由定理f(k)( x0)=0 若t k(1)0()0kfx，所以矛盾. P46.23 例如1() , 0 () ( 1)mmfx x x f x m x m+=+则是 的重 根根)0()xfx=但不是的. P46.24 若(1)()( 1)|(nn nx fx x fx则证若() (
17、 1)() ( 2)fx x gx r= +由上节课命题()( 1)() () 0nn nfx x gx r gx r r= += +=所以)(|1nnxfx P46,25 证明 设x2+x+1 的两个根312, 1i=2123311 1213322 2221( )( )() ()0() ()0xx x xffff += +=+=112122(1) (1) 0(1) (1) 0ffff+=+=即21(1) 0 (1) 0ff= =12(1) (),()x fx fx. P46、26 分解1.nx 0221cos sin,0,12,kkkiknn1n = + =null设 110122 1111
18、212122() , 1 ( ) ( 1) ( (cos sin )() , 1 ( 1) ( ) ( 1) ( )( )221 (1)( 2cos 1)22 : 1 ( 1)( 1) ( 2 cos 1)niikmmnkkkkmkmnkkkix xxxnnii n x x x x x xknm x x xnknmx x x x xn= = += = = = +=+ +nullnull在中在中为奇当时1nkp46,27 求有理根： （1 ）x3-6x2+15x-14=f(x). 解：有理根可能为1 、2 、7 、14。 当 a首项系数 则 () ()f xp为某不可约多项式 x的方幂的充要条件
19、是()g x或者(,) 1fg=或者:()| ()mmfx g x证明11“ “ () ()(), () 0, () ()rf x p xhx hx p x hx=反设不是则 而 +111(,)1, | , () (),(,)1,ph h p x px fg=即取g 则 且 ,| , (),msmf g h p x=否则 矛盾.“” , (),(,)1 (,)(,)1,(,)1 | | ()rrr1f pgx pg pg fg pg pg fgx= = = = 若若48.8: () 1,( () 0, ()pfx fx fx= 首项系数 则 为某不可约多项式的方幂()| (), | | , (
20、)/ ()mgx hx f gh f g mf x h x由或者证明“ “ , | ,(,) 1 ( ,) 1 (,) 1 |rrf pghph ph fh f = = = =设若f g(,) 1 | | ()rr rp hphphfh xm111“ “ , , () 0, , , (),fph h ph phhx=+=反设不是 则 而 令g 则| , , (,)1 ( , )1)mrfghf gf h m ph ph+ = =却P48，补9 证： 2 的非零根 nnmxax b+没有重数证：反设() ,nnmfx x ax b k =+ +有重根(k2，0 ) 111/1 /() () (
21、) 0()()0()() 01() () ()0()nnmnm mmmgx f x nx an mx kan mnx xnan mhx xnhx mx hxhxhx=+ + =+ = =有重根有重根有重根无重数根但重根P48、补10 0(),()(),1nfx Cx fx fx n 且 ,() 0mfx证明 的根只能为 或单位根(即满足某x =1的根). n证:设 为f(x)的根,由f(x )=f(x)g(x)()fxnnf( )=0, 为 的根, 22()0, ()nnffx = 为的根, 23, , ,nn n null 都为f(x)的根. () 0, ()fx fx 不可能有无限个根,其
22、中必有相等者:()ijnnij=不妨设, 2(1)0,ijnnn i jnn m = =令. 0, 1mx=则或 或 是 的根. P48、补11 题： /() () () ( ) ()nfx fx fx axb fx = 有n重根b. ,naa a a a anullnull12 1 2 n补充P48 12题: 的两两不同. F(x)=(x- )(x- ) (x- )证： （1） 111111()( )( )() ()1( ) () ( ) () ( )( )( )( )niiiiiiiiii)nx axa xa xaFx Fxlf aFa x aFa a a a a a a a a+=+ =
23、 =nullra1111()0,()1 ()1, 1 ., (), 11 , ()1,(2) () ()() (), () (),1()():()()( ) () ()nnij i i jj iininii j jrjla l a l a j n i lx i nnlxfxFxqrxfanfalxhafara hx rx= =+ =nullnull，为 次多项式 设 则而 形式多项式p49、补13 题： （1）求( ) ( ( ) 4 (2) 3 (3) 1 (4) 0 (5) 2fx fx f f f f 2时，至少去掉3 个x,不含x3项了，对于i2,j=2 同理 其它情形，至少去掉两个x
24、且第一行（或第二列）的两个x只能取一个，故不含x3项，只剩下i=1,j=2 时，a 12本身是x项为 (-1)(2134)a12a21a33a44=-x1xx=-x3,系数为-1 1212(, )P97.11 ( 1) 1 0 1 1 ,nnjj jjj jd= = + +nullnulli 故 中 与 一样多即 号,-号一样多,也即奇偶排列一样多, n 2时,奇偶排列各占一半.P98.12 21111 12111 111() ( )1nnnnnnxx xaa apx Vxaa a=+nullnullnullnullnull null nullnullnull按第一行展开12 1 1,0(nn
25、aa a V p x n =null 两两不同 即 )12 112 1() () ( ) 0( ) 1,nnpa pa pa naa a= = nullnull总有两行相同 最多 个根,即p(x)的所有根为11(1) 32(1)3 3(2( )3( ) 13( ) 2223398.13 2( )2( ) 2( ) 2( )02( ) 011 1 1 112( ) 2( )xyxyxxxxyPyxyxy xy xyxyxy y xyxy x xyyx yxy y xyx x y+ + +xy+ +=+=+nullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnulln
26、ullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull2.23.3.4( )41 33111131148.13 (3 (4 1) 1)(3 1) 6.2 4811311113PP+ = =nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull例P98.13（法一）: 1234 12 3 4 123 4 123423 41 0 1 2 7 01 2 7 01 27
27、1603412 0 1 8 10 00 44 004 44 1 2 3 0 7 10 13 0 0 4 36 0 0 0 40 = =法二： 10234 123 4 1234 123410347 011 3 011 3 020010 20 2010 4 1 2 0 2 2 2 0 2 0 0 0 0 1 310 1 2 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 112340200( 20) 160001 3000 4= = = = =法三： 令24123123412 3432() 1 2 3 4 , , , 4 1,1, 1, , ,(1) (1) (1) () ( )( 1) 10 (
28、 2) ( 2 2 ) ( 2 2 ) 20( 2) (2 ) 160cf xxxx iiidfffifiii i =+ + + = = + = =ii i i为 次单位根令则行列式P98.13解：2211 1 1 1 1 11 11111101 1 1 1 1 0 0 011 1 101 1 1 1 10 0 0111 101 1 1 1 100 0111101 1 1 1 100 0xxxxx yyyyy+=+ =1,21,2111 011 1111 1 *1111|(,)1 111 1 11111 11 11 11(,) (,)111 1 111 11111 1111xx xxxyyxf
29、xyxx.f xy f xyyy+= =+nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull交换 行再交换 列解法二,设f(x,y)= 则第一行减第二行又因为f(x,y)关于x是偶函数，即x2|f(x,y). 同理，y|f(x,y)，且也是偶函数，所以y2|f(x,y) 22 2222 2(,) 4 | (,) (,)(, ) .f xy xy f xy f xy kxyfxy xy y =2而 中 的系数为1. 故有f(x,y)=xP98 13 2251( 1) 2 2( 2) 31( 1) 3 2( 3) 41(1)421446
30、9 2126214469 21260214469 2126214469 2126xaa a a aabb b b bbcc c c ccdd d d dd + + + + + + + + +nullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnull性质2(1)3 3(246)1 2(2)13(427) 2246 427 100 0 0 11014 543 10
31、0 768 116 1 ( 100)342 721 100 588 294 1 + + + nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull7001 100 1001000 116 1 ( 100) 1 116 1000 (100) 100 1 294 0 294000000 294 1 1 294 0 1 116 1000 = = 性质111 1 1 11 111
32、1 12(1)1 1(1) 23(1)1 1(1) 312222 2 22 222 2 21( )21112(1)12(1)12298.14 2 22abc ca ab abc b cP abc ca ab abc b cabccaab abc b cabcabcabc+ + + + + + + + + + + + + + nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnul
33、lnull左22( 1)3( 1)2(1)=nullnullnullnullnullnullnullnullnullnull右右P98.15 求出所有代数余子式 11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 441214 6 0 0 00121 126000021 15 6 300003 7 0 1 2AAAAAAAAAAAAAAAA=直接计算有112 7 123321 6 4 1014 5 5 5= 11 12 1321 22 2331 32 33AAA直接计算有 A A AAAAP99.16 13512 13512 135121(2) 2201 21
34、06145 0 12142( )31(3) 401 2 14 012 14 0611452( 1)1(2) 5331 21 0121657 012165721 0 35 071059 071059135122(6)3 3(1)012142(2) 4 3(8) 400 1192(7)5 3(00 817 4100 412 19+ + = =+ + + 1351 20121 44(2)300 1194) 5 0 0 8 63 1110 0 0 28 571351 20121 400 11019000 7 30 0 0 28 5715121(1) 01 2 1 42(1) (7)69 483001
35、10194(4)5000 10 3000 0 69 + = = + P99.16 1421 0 4 2 1 10 2 21(2) 1(2) 220 122 02 1 2 2115(2) 1(3)332 1 10 05 1 5 6884 (2) 1 (2) 41 1022 0300 61(4) 542601 066 871102202 1 2 424105 1 5 64(1) 2 802 1 2 206 6 8 71102 22(5)3 02 1 2 412(2) 482(8)5+ + + + + + +1102243 01 1 2 41300 1 22200 4 15 143800 0 760
36、0 3 6 63(4) 4100 0 2017 00 0 0731311( 1) 7 ( )878 + = =P99.17若 12 1 2 2 112 1, 1, 2,2,1 1,2, 3, . 1nn n n nnjj j j n j n j n j j jjj jn n= = = nullnullnullnulln-1n n-1 n中 则 取j 取 取 或若 则故只有两项. (123 n)=0， (2,3, )=n-1d= =x +(-1) ynullP99.17 11112 2 122111 2 2 11 2 2212111 12 112212 1111 112, ( )( ) ( )(
37、 )()()302nnnnndabndababababab ab ab baaabbab bb aba b bb bbbba b bb bb=+= = nullnullnullnullnullnull则则当 时 第 列与第 列成比例12122111110 0199.17010()()()(1)(nimininminmihhnnii ixm x xxm mPxmxm x xXm Xm m m X= = = = nullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull
38、null nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnull-1i-m23n2 (1)+11( (x ) )3(1)+1n(1)+11(-x )+21(-x )+31(-x )+n11).hnmnull2( 1)32( 4) 41211( )212100 0 2 2 2222 2 10 099.17 00100 0010000020 200 2 211 1 10102 01 0000 2iPnnn + nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulln
39、ullnullnull性质=-2(n-2)! （n2） ，且n=1 时。D=1（左上角1） 199.17.5 , 2(1)3212010 000 2 0000 1(1) 1(1)(2) (1 ) (1) ( 1)!22nPnnnnnnnnn+=+nullnullnullnullnullnullnull nullnullnullinull i从最后一列开始,第n列加到第n-1列,再第n-1列加到第n-2列 第 列加n(n+1) n(n+1)22=P100.18: 从第二列起：有列（第三列） 乖以11ia 加到第一列,则有12112112 122111111111 1000000011() (no
40、iinnnno noiinon iiniaaaDaaaa a a aa a aaa a a a a a +=+=+=+ nullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnullnulli，（ 0）) P100.18 cos 112cos 1cos12cos112cosaaDnana=nullnullnull证法一，用归纳法，D1成立， cos , ,cos 2 1 (2 cos cos( 1) cos( 2) ) (cos cos( 2 cos( 2) )12cos .knD k knkDnDD n n nanannnna= = =+=设时 当时因为证毕
41、a2n证法二： 2(cos sin ) (cos( 1) sin( 1) )( sin )1sin sin cos sin cos sin2cos12(cos sin ) (cos sin ) (cos sin ) 11(1),nai aD n ai n a i anni a i a na na na naD cxD DnnDiD D DDi = =+=+=+ = +=n找不出适当倍数左移.同理相减:2 D1(2cos ) cos2nDna=即 na. P100.18以第一行 (-1)加到后面各行 1121311122112211122111 10000000()(11(1(1 )nnnnin
42、niininiiaaaaaaaa aaaa aaaaaaaa=+=+=+= +)nullnullnullnullnullnull属于交行列式要求( 0)p101.19 2232 2 13236406133332 30 640 4 0 0 4 3 18 52 703312 10 4010 310 3313 1100 3D = = =且70 1 1,2,3,41234DiDD DD x iiD= =P101，19 12 3 212 3 2581 0 0 1212305 81 36544 10 8 36 54 832 1204108 1836745 18 365232107 45D = =且D1=3
43、24，D2=648，D3=-324，D4=-648，232218 18 32432=121, 2, 1, 212 34DDxx xx =03 1 2 201626213 42 01 5 8 8158831 1 2 1 0 4 2 4 8018382443 4 2 2 07 8 6 140275041112 3 1112 3 = = 12 2 4 12P101 19 (3),即D=222202010 4 10 11218 28 24 10 28 4 ( 2) ( 1) 8 2413 4 13 1922 18 13 22 4x+= = = = =96, 336, 96, 169, 31223454
44、, 14, 4, 7, 1312 345ddddxx x xx= = = = = =同理算出d1即得()12 2411 1 1 12 3 35213428 0 1 1 22232311213 015 8814434222 042 48121 1 1 2 3 3 1 7 8 6 14 10A = 消元法解行移最上再相减 行移到第 行再相减10 4 6 5 11(3) (4)01 5 8 8 14(5) (4)0 0 16 26 22 400 0 18 28 24 440 0 27 50 42 88104 6 5 11015 8 8 14(4) (5) 2 3001 1 1 20 0 18 28 24 44009 6 6 0 + 1后再乘2的2倍1的 倍后乘以 再用 行的相反倍加到各行4 ()1000 1 91
