1、1初中数学解题技巧综合一：基本的解题技巧初中数学解题技巧 (二次函数 )I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： y=ax2+bx+c（a ，b，c 为常数， a0，且 a 决定函数的开口方向， a0 时，开口方向向上，a0 时，开口方向向上，a1 C. kR D. k 或 k11414 43. 已知 sin cos 1，则 sincos 的值为_。A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 04. 函数 ylog (2x 5x3)的单调递增区间是_。12213A. （, B. ,+) C. ( , D. ,3)5454 1254545. 已知方程 x +(a-
2、2)x+a-1=0 的两根 x 、x ，则点 P(x ,x )在圆2 112x +y =4 上，则实数 a_ 。2【简解】 1 小题：利用等比数列性质 a a a ，将已知等式左边后mpm2配方（a a ） 易求。答案是： 5。 3522 小题：配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ，解 r 0 即可，222选 B。 3 小题：已知等式经配方成(sin cos ) 2sin cos 1，求出2sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。5 小题：答案 3 。12、换元法解数学题时，把某个式子看
3、成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是
4、在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，x先变形为设 2 t（t0） ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问x题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y 的值域时，x1易发现 x0,1，设 xsin ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函22数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x y r （r0 ）时，则可作三角代换2xrcos、yrsin 化为三角问题。均值换
5、元，如遇到 xyS 形式时，设 x t，y t 等等。S214我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0, 。22.1、示范性典例：例 1. 实数 x、y 满足 4x 5xy4y 5 （ 式） ，设 Sx y ，求22 2 的值。 （全国高中数学联赛题）1Smaxin【分析】 由 Sx y 联想到 cos sin 1,于是进行三角换元，设222代入式求 S 和 S 的值。ycosi maxin【解】设 代入 式得： 4S5Ssincos5 xycosin解得 S
6、；10852si -1sin21 385sin213 10385sin103 1Smaxin310685此种解法后面求 S 最大值和最小值，还可由 sin2 的有界性而求，10S即解不等式：| |1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法” 。8【另解】 由 Sx y ，设 x t，y t，t ， ， 22S2SS2则 xy 代入式得：4S5 =5， t24 t24移项平方整理得 100t +39S 160S1000 。2 39S 160S1000 解得： S2 13 1Smaxin310685【注】 此题第一种解法属于“三角换元法” ，主要是利用已知条件Sx y 与三角公式 cos sin
7、 1 的联系而联想和发现用三角换元，2 22将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法” ，主要是15由等式 Sx y 而按照均值换元的思路，设 x t、y t，减少了2 2S2S元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量 x、y时，可以设 xab，yab，这称为“和差换元法” ，换元后有可能简化代数式。本题设 xab，yab，代入式整理得 3a 13b 5 ，求得2a 0, ，所以 S(ab) (ab) 2(a b ) a , ，253221032103再求 的值。
8、1Smaxin例 2 ABC 的三个内角 A、B、C 满足：AC2B， 1cosAC，求 cos 的值。 （96 年全国理）cosBAC【分析】 由已知“AC2B”和“三角形内角和等于 180”的性质，可得 ；由 “AC120”进行均值换元，则设 1206 AC 60，再代入可求 cos 即 cos 。A2【解】由ABC 中已知 AC2B，可得 ,ACB1206由 AC120，设 ，代入已知等式得： 60 1cos160cos()160cos()123cosin 2 ,123cosincosin14322cs24解得：cos ， 即：cos 。AC16【另解】由 AC2B，得 AC120，B6
9、0。所以 1cosAC2cosB2 ，设 m， m ，1cosA21cosC2所以 cosA ，cosC ，两式分别相加、相减得：2cosAcosC2cos cos cos ，C2A2mcosAcosC2sin sin sin ，A3C2即：sin ， ，代入232m()2sin cos 1 整理得：3m 16m 120,解出 m 6，代入 cosAC4 2 。22m【注】 本题两种解法由“AC120” 、 “ 2 ”分别1cosAC进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由
10、 AC2B，得 AC120，B60。所以 2 ，即 cosAcosC 2 cosAcosC，和积互1cosACcosB化得：2cos cos cos(A+C)cos(A-C)，即2cos cos(A-C) (2cos 1)，整理得：222AC4 cos 2cos 3 0,2AC解得：cos 2例 3. 设 a0，求 f(x) 2a(sinxcosx)sinxcosx 2a 的最大值和最2小值。 y, , 2x17【解】 设 sinxcosxt，则 t- , ，由(sinxcosx)212sinxcosx 得：sinxcosx221 f(x)g(t) (t2a) （a0） ，t- , 122 2
11、t- 时，取最小值：2a 2 a21当 2a 时，t ，取最大值：2a 2 a ；当 00 恒成立，求 a 的取值范围。 （87 年全国理）()a142【分析】不等式中 log 、 log 、log 三项有何联系？241()21a2()a142进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。18【解】 设 log t，则21alog log 3log 3log 3t，log241()a281()a2a12a22log 2t，22代入后原不等式简化为（3t）x 2tx2t0，它对一切实数 x 恒成立，所以：2，解得 t0 恒成立，求 k 的()x192()y62范围。【分析】由已知条件 1，可以发
12、现它与 a b 1 有相()2()y2 2似之处，于是实施三角换元。【解】由 1，设 cos， sin，()x192()y62x3y4即： 代入不等式 xyk0 得：y34cosin 3cos4sink0，即 k0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含 x 轴正方yxxyk0k 平面区域20向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 xyk0 的区域。即当直线 xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，1691422()()消元后由0 可求得 k3,所以 k1） ，则 f(x)的值域是2a4_。3
13、.已知数列a 中，a 1，a a a a ，则数列通项nn1n1a _ 。n4.设实数 x、y 满足 x 2xy10，则 xy 的取值范围是_。25.方程 3 的解是 _。1x6.不等式 log (2 1) log (2 2)2 的解集是_。22x1【简解】1 小题：设 sinx+cosxt , ，则 y t ，对221称轴 t1，当 t ，y ；2max12 小题：设 x 1t (t1)，则 f(t)log -(t-1) 4，所以值域为2 a2(,log 4；a3 小题：已知变形为 1,设 b ，则1nan1ab 1,b 1(n1)(-1)n，所以 a ；1n n4 小题：设 xyk，则 x
14、 2kx10, 4k 40,所以 k1 或2 2k1；5 小题：设 3 y，则 3y 2y10,解得 y ，所以 x1；x2 36 小题：设 log (2 1)y，则 y(y1)0，7x0，x0。设 V (15aax)(7bbx)x (a0,b0） 4ab要使用均值不等式，则 abxx1057解得：a ， b ， x3 。 14从而 V ( )( x)x ( ) 27576。635214643152364所以当 x3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576cm 。3【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令 V (15a
15、ax)(7x)abbx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，4ab求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想” 。3.2、再现性典例：1.设 f(x) m，f(x) 的反函数 f (x)nx5，那么 m、n 的值依次为x21_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，255 52.二次不等式 ax bx 20 的解集是( , )，则 ab 的值是_。13A. 10 B. 10 C. 14 D. 143.在(1x )（1x） 的展开式中， x 的系数是 _。3105A. 297 B.252 C. 297 D. 207254.函数
16、yabcos3x (b0 得：0 ， x +x (x +x )( x +x ) 112312431212342 f(x )f(x )0 即 f(x)在( ,1)上是减函数123A ADC CO HB B 27 1 C. a0 D. a14. 椭圆 1 上有一点 P，它到左准线的距离为 ，那么 P 点到右x25y9 52焦点的距离为_。A. 8 C. 7.5 C. D. 37545. 奇函数 f(x)的最小正周期为 T，则 f( )的值为_。229A. T B. 0 C. D. 不能确定T26. 正三棱台的侧棱与底面成 45角，则其侧面与底面所成角的正切值为_。【简解】1 小题：利用并集定义，选
17、 B；2 小题：利用三角函数线定义，作出图形，选 B；3 小题：利用复数模的定义得 ，选 A；a254 小题：利用椭圆的第二定义得到 e ，选 A；|PF左245 小题：利用周期函数、奇函数的定义得到 f( )f( )f( )，T2T2选 B；6 小题：利用线面角、面面角的定义，答案 2。5、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某
18、些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在 n1(或 n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在 nk 时命题0成立，再证明 nk1 时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 nn 且 nN）结论都正确” 。由这两步可以看出，数学归纳法0是由递推实现归纳的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是 nk1 时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与
19、最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。5.1、示范性典例：30例 1. 已知数列 ，得， ，。S 为其前 n81328212n()()n项和，求 S 、 S 、S 、S ，推测 S 公式，并用数学归纳法证明。 （93 年全124n国理）【解】 计算得 S ，S ，S ，S ， 18925348901猜测 S (nN) 。n()22当 n1 时，等式显然成立；假设当 nk 时等式成立，即：S ，k()212当 nk1
20、 时，S S k18322()( ()2222)(k ()()(138122k ,()(211322kk()32k由此可知，当 nk1 时等式也成立。综上所述，等式对任何 nN 都成立。【注】 把要证的等式 S 作为目标，先通分使分母含有k1()2312(2k3) ，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k3）21。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从2试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 猜想 证明。【另解】 用裂项相消法求和：由 a 得，n8212n()()12()n12()
