1、用心 爱心 专心 1浙 江 省 2012届 理 科 数 学 高 考 领 先 卷 名 校 精 粹 重 组 试 卷 理 科 数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟参考公式：如果事件 A， B互斥，那么 棱柱的体积公式PPVSh如果事件 ， 相互独立，那么 其中 表示棱柱的底面积， h表示棱柱的高 PABP棱锥的体积公式如果事件 在一次试验中发生的概率是 p，那么 13VShn次独立重复试验中事件 A恰好发生 k次的概率 其中 表示棱锥的底面积， h表示棱锥的高 1,0,12,nkknnPCpn棱台的体积公式球的表面积公式 4SR 123VhS球的体积公式 3
2、V 其中 12,分别表示棱台的上底、下底面积，其中 R表示球的半径 h表示棱台的高选择题部分（共 50 分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 Aa， b， c中任意两个不同元素的和的集合为 1，2， 3，则集合 A 中的任意两个不同元素的差的绝对值所组成的集合为A ，2， 3 B 1， 2
3、 C 0， D 0，1， 【解析】不妨设 a b c，则：123abc， 解之的 12abc， 故 2bc，用心 爱心 专心 2正视图 俯视图21.621.5由此知所求集合为 1， 2【答案】B2某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是A3 B4 C5 D6 【解析】第一次下来， k=3， a=43=64， b=34=81；第二次下来， k=4， a=44=256， b=44=256；第三次下来， k=5， a=45=1024， b=54=625满足 ab，故跳出程序【答案】C3若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如 图所示，则它的体积是A 325 B 35C 9D 18
4、9【解析】2435sV；269x；395zV【答案】C4关于直线 m、 n与平面 、 ，有下列四个命题：若 ， 且 ，则 m n； 若 ， n且 ，则 mn；k=2k=k+14kab开始 ?a结束输出 k是否用心 爱心 专心 3若 m， n 且 ，则 mn； 若 m ， n且 ，则 m.n其中真命题的序号是A B C D【解析】借用正方体即可判断出正确与否【答案】D5已知抛物线 )0(2pxy的焦点为 F， 关于原点的对称点为 P过 F作 x轴的垂线交抛物线于 M、 N两点有下列四个命题： P必为直角三角形； PMN不一定为直角三角形；直线 必与抛物线相切； 直线 不一定与抛物线相切其中正确的
5、命题是A B C D 【解析】当 2px时， |y|=p； MF=NF=PF= p，故 MPF= NPF=45，即 MPN=90；当 M 在第一象限时可得直线 PM 的斜率为 1，可得直线 PM 方程为 2pyx；即 2pxy，带入 )0(2pxy得 2220,0yp故直线 PM 与抛物线只有一个交点，直线 PM必与抛物线相切【答案】A 6设实数 x、 y满足：35012xy，则 24xyz的最小值是A 14 B C1 D8【解析】作出可行域用心 爱心 专心 4 224xyxyxyz，设 u，易得当 u过350的交点 P（2，1）时有最小值4，故 4min12z【答案】B7现定义 cosini
6、e，其中 i 为虚数单位， e 为自然对数的底， R，且实数指数幂的运算性质对 ie都适用，若 445232505 sincosccsCCa，5341 ioinob，那么复数 bia等于 A sB 5snC 5ci D coi【解析】 （ osinie其实为欧拉公示） 05142325323445cosincosinsiabCC05142325323445siiconcosninii55scosiniie【答案】A 8下列四个函数图象，只有一个是符合 123|ykxbkxb（其中123,k为正实数， 123,b为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，之间一定成立的关系是用心 爱心 专心 5A
7、 123k B 123k C 123k D 123k【答案】A 9若函数 21fx，则函数 lngxfx在 0， 1上的不同零点个数为A2 B3 C4 D5【解析】注意分段 12,02xf，34,1,2441,04xxfx，当 314x时， 3lngxx，则 014g在 上恒成立故 x在 上为单调递增函数，又 3ln04g， 10g，xyO xyO xyOxyO 用心 爱心 专心 6故在 314x上有 1 个根同理可分析得在 324， 12x上各有 1 个根，在 102x上无根综上可知在 0， 上，方程 0g共有 3 个根【答案】B10定义在（1，1）上的函数 f(x)满足： )1()(xyf
8、f；当 )0,1(,时，有0)(xf；若 221()()()501Pfffr ，12Q， R f(0)则 P， Q ， R 的大小关系为A B C PQ D不能确定【解析】函数 f(x)满足： )1()(xyff；当 )0,1(,时，有 0)(xf；令 0yx得 f(0)=0；令 x=0 得 f f在（1，1）为奇函数，单调减函数且在（1，0）时，x，在（0，1）时 fx0； R f(0)=0， )2(QR )1()1()1()1(2 rffrfrfrf , 22() )()50Pfffr ()(2343f f1()0f用心 爱心 专心 7Q 1()203fP= )R【答案】C非选择题部分（共
9、 100 分）注意事项：1用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上2在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分11若 nxa)(2展开式中二项式系数之和是 1024，常数项为 45，则实数 a的值是 【解析】 145)(2)( 21002102210 aCmxxaCmm【答案】 12如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P变 轨 进 入 以 月 球 球 心 F 为 一 个 焦 点 的 椭 圆轨 道 绕 月 飞 行 ， 之 后 卫星在 P点 第 二
10、 次 变 轨 进入仍 以 F为 一 个 焦 点 的 椭 圆 轨 道 绕 月 飞 行 ，最 终 卫星在 P点 第三 次 变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕 月 飞 行 若用 12c和2c分别表示椭圆轨道 和 的焦距，用 12a和 2分别表示椭圆轨道 和 的长轴的长，给出下列式子： 12ac； 12ac； 12c； 12ca其中正确的式子序号是_P用心 爱心 专心 8【解析】中： 12acPF，中： 12e12ca【答案】13在 ABC中，已知内角 3A，边 23BC，则 ABC的面积 S的最大值为 【解析】由 3，得 203B，根据正弦定理，得 sin4iCAB，sin4i()CAB， 123s
11、i()2S 2n36x，其中 03B，故得 S的最大值为 【答案】解题探究：本题主要考查解三角形、三角恒等变形和三角函数最值的求法等基础知识和基本方法根据题设条件，由正弦定理，将三角形的面积 S表示成角 B的三角函数，通过三角恒等变形将其化为 sin()SAB形式，再由角 的范围即可求得 S的最大值14已知映射 f： P（ m， n） ， n0m， 设点， A（1，3） ，B（3，1）点 M 是线段 AB 上一动点， f： M当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时，点 M 的对应点 所经过的路线长度为 【解析】理解映射 f的内容即可解出本题【答案】 3用心 爱心 专心 9
12、15设 a1， d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足S5S6+15=0，则 d 的取值范围是 【解析】因为 0156， 08)1(2da，则 d的取值范围 ,2, （等于不等的转化）另解： 0921da（确定主元 1a） 得【答案】 ,16设行列式121212nnnaaD，引进 ijM表示 D 中元素 ija所在的行与列都抹掉后的剩余部分，同时记 1ijijiA，则有行列式的求值公式，12iiijinaDaA 1,ni，当 3n，即bcdefghi时，上述的求值公式又可改写为 Daeibfgcdhegbdiafh，则行列式1234A_【解析】 1
13、2iiijinaDAaA 1,in，可以令 1i，故有 1111j naA ，用心 爱心 专心 101234A按照 1i展开，降阶为abcDdefghi形，在用公式Daeibfgcdhegbiaf即可求出答案【答案】 160解题探究：本题主要考查考生的阅读能力和计算能力本题背景为大学数学线性代数 ，考生应当有对新定义、陌生的知识等有较强的适应能力17已知函数 xf 21sin2x，下面有关于该函数的四个命题：函数 f是周期函数； 函数 x既有最大值又有最小值；函数 f的定义域是 R，且其图象有对称轴；对于任意 1,0x， 0fx（其中 fx是函数 xf的导函数） 其中正确的是_ 【解析】三角函
14、数与一次、二次等函数作积或商操作后一般都不具周期性，如 sinfx等；这个函数的图像类似与物理当中作阻尼运动的振子，当 x时， 0y，故必定有最值；将 1x代替 代入得 1fxf，故有对称轴；求导，在 ,0上取几个特殊的值代入看看是否满足 0fx即可用心 爱心 专心 11【答案】三、解答题：本大题共 7 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18 （本小题满分 14 分）在 ABC中，角 A、 B、 C 的对边分别为 ,abc，且满足(2).acc（1）求角 B 的大小；（2）若 |6AC，求 AB面积的最大值【解析】解 ：（1）条件可化为： (2)cosaBbC根据正弦定理
15、有 insincoA 2sincos()ABC，即 2A因为 0，所以 c，即 4B 7 分（2）因为 |6所以 |CA，即 2b， 用心 爱心 专心 12根据余弦定理 22cosbaB，可得 26c 有基本不等式可知 262(2)cacac即 3(2)ac，故 ABC 的面积 13(1)sin42SacBac即当 a =c= 236时， ABC 的面积的最大值为 )1( 14 分19 （本小题满分 14 分）设 0,b数列 na满足 11=,(2)nnba（1）求数列 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数 ，12n【解析】解：（1）由 11 120, 0,.nnnnbaabba知令 ,n
16、A，当 2时， 12nnAb212nAb 1.n 当 2b时， (1)2,2()nnbbA 当 时， n， ,2,2nnab 7 分用心 爱心 专心 13AO BCDyAO BCD(第 20 题)xz（2）当 b时，要证12nba，只需证 12)(nnb只需证 )(1nnn 2)21 n因为 11212()(2nnnbb122211nnnnnbb 1( )b )n nn1(2).nba当 12,.nn时 综上所述1.2nba14 分20 （本小题满分 15 分）如图，已知 AOB， AOB 2， BAO 6， AB4， D 为线段 AB 的中点若 AOC 是 AOB 绕直线 AO 旋转而成的记
17、二面角 B AO C 的大小为 （1）当平面 COD平面 AOB 时，求 的值；来源:Zxxk.Com（2）当 2， 3时，求二面角 C OD B 的余弦值的取值范围【解析】解法一：（1）解：如图，以 O 为原点，在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x 轴， OB， OA 所在的直线分别为 y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 O xyz，则 A (0，0，2 3)， B (0，2，0)， 用心 爱心 专心 14D (0，1， 3)， C (2sin，2cos ，0)设 n( x， y， z)为平面 COD 的一个法向量， 由 10,OC得sincos0,3,xyz取 zsin ，则1n(
18、 3cos ， 3sin ，sin )因为平面 AOB 的一个法向量为 2n(1，0，0)，由平面 COD平面 AOB 得 10，所以 cos0，即 2 7 分（2）设二面角 C OD B 的大小为 ，由（1）得当 2时， cos 0；当 ( , 3时，tan 3，cos= 12|n 2cosin 24tan3，故 5cos 0综上,二面角 C OD B 的余弦值的取值范围为 5，01 5 分解法二：（1）解：在平面 AOB 内过 B 作 OD 的垂线，垂足为 E，因为平面 AOB平面 COD，平面 AOB平面 COD OD，所以 BE平面 COD，故 BE CO又因为 OC AO，所以 OC
19、平面 AOB，故 OC OBFCAO BD(第 20 题)GE用心 爱心 专心 15又因为 OB OA， OC OA，所以二面角 B AO C 的平面角为 COB，即 2 7 分（2）解：当 时，二面角 C OD B 的余弦值为 0；当 ( 2, 3时，过 C 作 OB 的垂线，垂足为 F，过 F 作 OD 的垂线，垂足为 G，连结 CG，则 CGF 的补角为二面角 C OD B 的平面角在 Rt OCF 中， CF2 sin ， OF2cos ，在 Rt CGF 中， GF OF sin 3 cos ， CG 224sin3cos，所以 cos CGF FGC 22cos4in因为 ( 2,
20、 3，tan 3，故 0cosC GF 24tan 5所以二面角 C OD B 的余弦值的取值范围为 5，0 1 5 分21 （本小题满分 15 分）如图，过点 (0,2)D作抛物线 2(0)xpy的切线 l，切点 A 在第二象限.（1）求切点 A 的纵坐标；（2）若离心率为 3的椭圆 )(12ba恰好经过切点 A，设切线 l交椭圆的另一点为 B，记切线 l、 OA、 OB 的斜率分别为 kk42,121若 ，求椭圆方程用心 爱心 专心 16【解析】 （本小题满分 15 分）解：（1）设切点 ),(0yxA，且 px20，由切线 l的斜率为 k，得 l的方程为 pxy20，又点 )2,(D在
21、l上，20px，即点 A的纵坐标 0y 5 分（2）由（1）得 ),(p，切线斜率 pk2，设 ),1yxB，切线方程为 xy，由 3e，得 24ba7分所以椭圆方程为 142b，且过 )2,(pA， 2p9分由 0416)( 2222 bkxyxk ，21046kbx， 11 分 012yk用心 爱心 专心 171012xy1001()(2)kxk1024310()xk23416pbk23()44将 pk2， b代入得： 3p，所以 14,3622ab，椭圆方程为 13642yx 15 分22 （本小题满分 14 分）设函数 32()fxabx(0)的图象与直线 4y相切于 (1,4)M（1
22、）求 在区间 ,4上的最大值与最小值；（2）是否存在两个不等正数 ,st()，当 ,xst时，函数 32()fxabx的值域也是 ,st，若存在，求出所有这样的正数 ,st；若不存在，请说明理由；（3）设存在两个不等正数 ,st()，当 x时，函数 32()fxabx的值域是 ,kst，求正数 k的取值范围【解析】用心 爱心 专心 18解：（1） 2()3fxaxb依题意则有： 14()0f，所以 32ab，解得 69ab， 所以 32()69fxx()13(1)fxxx，由 0f可得 1或 3,在区间 0,4上的变化情况为：x0 (,)1 (,3)3 (,4)4()f+ 0 0 +x0 增函
23、数 4 减函数 0 增函数 4所以函数 32()69fx在区间 ,上的最大值是 4，最小值是 0 3 分（2）由函数的定义域是正数知， s，故极值点 (3,)不在区间 ,st上；（A）若极值点 (1,4)M在区间 ,t，此时 03st ，在此区间上 ()fx的最大值是 4，不可能等于 t；故在区间 ,上没有极值点；（B）若 32()69fxx在 ,st上单调增，即 01st 或 3st，则 ()sft，即 32stt，解得 24t不合要求；（C）若 69fxx在 ,st上单调减，即 13st ，则 ()fst，两式相减并除 st得： 2()()0tt， 两式相除并开方可得 23，即 (3)()
24、st，整理并除以 st得： 3t， 用心 爱心 专心 19则、可得 31st，即 ,st是方程 2310x的两根，即存在 52s， t满足要求； 8 分（3）同（2） ，极值点 (3,0)不可能在区间 ,st上；（ a）若极值点 14M在区间 ，此时 013t ，故有()stktfst 或4()stktfst 由 4kt， 13 知， (,4k，当且仅当 1t时， 4k；再由 2()s， 01s 知， ,9，当且仅当 s时， 由于 t，故不存在满足要求的 k值。由 21(3)()4tsffk，及 01s 可解得 23t ，所以 t， 2t 知， 4,k；即当 (,3时，存在 23)，21)(0
25、,14ttsffk，且 (sftk ，满足要求（ b）若函数 )fx在区间 ,s单调递增，则 1st 或 3st，且 ()sftk，故 ,t是方程 269xk的两根，由于此方程两根之和为 3，故 ,st不可能同在一个单调增区间；（ c）若函数 ()fx在区间 ,t单调递减，即 13st ， ()fskt，两式相除并整理得 223)()st，由 t知 ()(3)t，即 3st，用心 爱心 专心 20再将两式相减并除以 st得，22()6()9kst2()6()9sttst，即 4 即 0,4k， ,是方程 230xk的两根，即存在 32s， 32s满足要求综上可得，当 904k时，存在两个不等正数 ,st()，使 ,xst时，函数32()6fxx的值域恰好是 ,kt 14 分
