1、4.1 函数的基本概念(The concept of function) 4.2 复合函数与逆函数(Compositions of functions and Inverse functions ),4.1 函数的基本概念(The concept of function) 4.1.1函数的基本概念4.1.2 特殊函数类(Special functions),4.1.1 函数的基本概念,函数概念是最基本的数学概念之一，也是最重要的数学工具。初中数学中函数定义为“对自变量每一确定值都有一确定的值与之对应“的因变量；高中数学中函数又被定义为两集合元素之间的映射。,现在，我们要把后一个定义作进一步的深
2、化，用一个特殊关系来具体规定这一映射，称这个特殊关系为函数，因为关系是一个集合，从而又将函数作为集合来研究。离散结构之间的函数关系在计算机科学研究中也已显示出极其重要的意义。我们在讨论函数的一般特征时，总把注意力集中在离散结构之间的函数关系上，但这并不意味着这些讨论不适用于其它函数关系。,考虑下面几个由图示表示的集合A到集合B的关系（见图 4.1.1）。 在这个关系中， 后个关系R3， R4， R5， R6与R1， R2不同， 它们都有下面两个特点： （1） 其定义域为A；（2） A中任一元素a对应唯一一个B中的元素b。,图 4.1.1 几个关系的示图,图 4.1.1 几个关系的示图,图 4.
3、1.1 几个关系的示图,定义4-1.1 设X和Y是任何两个集合，而 f 是X到Y的一个关系（fXY），如果对于每一个 xX，都有唯一的 yY，使 f 。则称 f 是X到Y的函数（functions），记为 f：XY，当X=X1Xn时，称 f 为n元函数。函数也称映射（mapping）或变换(transformation）。,换言之，函数是特殊的关系，它满足（1）函数的定义域是X，而不能是X的某个真子集(即dom(f )=X)。（2）若x,yf，x,yf，则yy（单值性）。,图 4.1.2,由于函数的第二个特性，人们常把x,yf 或 xfy 这两种关系表示形式，在 f 为函数时改为y =f(x)
4、。这时称x为自变量，y为函数在x处的值；也称y为x在 f 作用下的像(image of x under f ) ，x为y的原像。一个自变量只能有唯一的像，但不同的自变量允许有共同的像。注意，函数的上述表示形式不适用于一般关系。（因为一般关系不具有单值性。）,【例1】 设A=a,b,B=1,2,3，判断下列集合是否是A到B的函数。F1=a,1,b,2, F2=a,1,b,1， F3=a,1,a,2, F4=a,3,【例2】 下列关系中哪些能构成函数？ （1）x,y|x,y N, x+y10 （2）x,y|x,y N, x+y=10 （3）x,y|x,y R, |x|=y （4）x,y|x,y R
5、, x=|y| （5）x,y|x,y R, |x|=|y|,对于函数 f：XY, f 的前域dom(f )=X就是函数 y= f(x)的定义域, 有时也记为 D f , f 的值域ran(f ) Y , 有时也记为R f , 即R f = Y称为 f 的共域, ran(f )= R f 也称为 f 的像集合, dom(f )=X= D f 也称为 f 的原像集。对于,A X，称f(A)为A的像（image of A），定义为f(A)= 显然, f( )= , f(x)=f(x)(xA)。,定义4-1.2 设函数 f:AB，g:CD，如果A=C，B=D，且对所有xA和xC，都有f(x)=g(x)
6、，则称函数f等于函数g, 记为f=g。如果AC，BD，且对每一xA，f(x)g(x) 。则称 函数f包含于函数g，记为fg。,设X和Y都是有限集合， X = m， Y = n，由于从X到Y任意一个函数f的定义域都是X，每一个f都有m个序偶（象存在性），那么f f: XY的基数为nm 。即共有nm个X到Y的函数。,【例3】 设A=a,b, B=1,2,3。由AB能生成多少个不同的函数？由BA能生成多少个不同的函数？ 解: 设 fi : AB (i=1,2,，9), gi : BA (i=1,2,，8),f1=a,1,b,1 g1=1,a,2,a,3,a f2=a,1,b,2 g2=1,a,2,a
7、,3,b f3=a,1,b,3 g3=1,a,2,b,3,a f4=a,2,b,1 g4=1,a,2,b,3,b f5=a,2,b,2 g5=1,b,2,a,3,a f6=a,2,b,3 g6=1,a,2,a,3,b f7=a,3,b,1 g7=1,b,2,a,3,b f8=a,3,b,2 g8=1,b,2,b,3,b f9=a,3,b,3,定理 设|X|=m，|Y|=n，那么f | f: XY的基数为 nm，即共有nm个X到Y的函数。 证明 设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn，那么每一个f:XY由一张如下的表来规定:,其中x i1，x i2，xim为取自y1，y2，yn的允许元素重
8、复的排列，这种排列总数为n m个。因此，上述形式的表恰有n m张，恰对应全部n m个X到Y的函数。,由于上述缘故，当X,Y是有穷集合时，我们以Y X记所有X到Y的全体函数的集合：Y X=f | f: XY 则|Y X|=|Y|X|。 特别地XX表示X上函数的全体。目前在计算机科学中，也用XY替代Y X。,定义4-1.3、4、5 设f：XY。 （1）如果对任意 yY，均有 xX，使 y=f(x)，即ran f=Y，则称 f为X到Y的满射函数(surjection)，满射函数也称到上映射。（2）如果对任意x1，x2X , x1x2 蕴涵 f(x1) f(x2)。则称 f 为X到Y的入射函数(inj
9、ection)， 入射函数也称一对一的函数或单射函数。 （3）如果f既是X到Y的满射，又是X到Y的入射，则称 f 为X到Y的双射函数（bijection）。双射函数也称一一对应。,4-1.2 特殊函数,图 4.1.1 几个关系的示图,图 4.1.1 几个关系的示图,下图说明了这三类函数之间的关系。注意，既非单射又非满射的函数是大量存在的。,【例1】 对于给定的 f 和集合A，请判断 f 性质 (类型)；并求A在 f 下的像f(A)。(1) f : R R ，f(x)=x，A=8(2) f : NNN，f(x)=x, x+1，A=2,5(3) f : ZN，f(x)=|x|，A=-1,2(4)
10、f : S R ， ,S=0,+)，A=0,7)(5) f : 0,1a,b, a b, f (x)=(b-a) x +a, A=0,1/2),解: （1）f是双射，f (A)=f(8)=8(2) f是单射，f (A)=f(2,5)=2,3, 5,6(3) f是满射，f (A)=f(-1，2)=1，2(4) f是单射，f (A)=f(0,7)=（1/8，1(5) f是双射，f (A)=f(0,1/2)=a,(a+b)/2),定理4-1.1 令X和Y为有限集，若X和Y的元素个数相同，即X = Y ，则有f:XY是入射 当且仅当 它是一个满射。 证明思路：a.先证f:XY是入射它是一个满射若f是入
11、射，则X = f(X)(一对一映射源的个数=象的个数)。因为 f(X) = Y (由定理条件X=Y，象的个数=Y的元素个数)和f(X)Y 。又因为Y是有限集合，故f(X) =Y。 f:XY是满射，b.再证f:XY是一个满射它是入射 若f是满射（f(X) =Y），则X = Y = f(X)。又因为X是有限集合，源的个数=象的个数，所以f:XY是入射。 此定理不适用于无限集合上的映射。,作业 4-1,P151 (1) (4)(5)(6),4-2.1 逆函数(Inverse function) 4-2.2 复合函数(Compositions of functions),4-2 逆函数和复合函数,考虑
12、函数 f ：AB, f 的逆关系f c是B到A关系,但 f c可能不是函数。一方面, 如果 f 不是单射,则f c不是函数,另一方面, 如果 f 不是满射,则f c也不是函数。 因此我们有如下定理:定理4-2.1 设f:XY是一个双射函数，则fc为Y到X的双射函数，即有fc:YX 。 此定理可以分三步证明：,4-2.1 逆函数,证明：a). 先证fc是一个函数（需要证存在性和唯一性）设f= | xX yY f(x)=y 和fc= | f 因f是双射，所以f是满射，即所有的yY都有x与它对应，这正是fc的存在性。又因f是双射，所以f是入射，即所有的yY都只有唯一的x与它对应，这正是fc的唯一性。
13、b). 二证fc是一个满射又因ran fc =dom f=X, fc是满射。,c). 三证fc是一个单射反设 若y1 y2,有fc(y1)=fc(y2) 因为 fc(y1)=x1, fc(y2)=x2, 得x1=x2 ，故f(x1)=f(x2)，即 y1 =f(x1)=f(x2)= y2 。得出矛盾，假设不成立。定理证毕。 ,定义4-2.1 设f:XY是一个双射函数，称 YX的双射函数fC为f的逆函数，记为f-1 。今后谈到一个函数的逆函数时， 都是指双射的逆函数。 由定义知， 若f(a)b， 则有f -1(b)a。,因为函数是一种特殊的关系，所以和关系一样也有复合运算。对于函数的复合我们有下
14、面的定义：,4-2.2 复合函数,定义4-2.2 设函数f:XY, g:WZ,若f(X)W，则 gf=|xXzZ(y)(yYy=f(x)z=g(y),称g在函数f的左边可复合。,定理4-2.2 两个函数的复合是一个函数。, 证明：设 g:WZ , f:XY为左复合,即f(X)W，a). 先证象存在性对于任意 xX,因为f为函数，故必有唯一的序偶使y=f(x)成立。而f(x) f(X)，即f(x) W，又因为g是函数，故对于任意的yY必有唯一的序偶使z=g(y)成立,根据复合定义， gf 。即X中的每个x对应Z中的某个z。,b).再证象唯一性假定gf中包含序偶和且z1z2 ，这样在Y中必存在y1
15、和y2 ，使得在f中有和,在g中有和 。因为f为函数，故y1=y2 。于是g中有和, 但g为函数，故z1=z2 。即每个x只能对应一个唯一的z，满足 gf 。由a).和b).知gf是一个函数。定理证毕。 ,我们注意到，x,zf g是指有y 使x,yf，y,zg，即y=f(x)，z=g(y)=g(f(x)，因而 f g(x)=g(f(x)。这就是说，当 f, g为函数时，它们的复合作用于自变量的次序刚好与合成的原始记号的顺序相反。故我们约定把两个函数 f 和 g 的复合记为g f,复合函数的图示,【例1】 设A=1, 2, 3, 4, B=1, 2, 3, 4, 5, C=1, 2, 3。 f
16、: AB，f=1,2,2,1,3,3,4,5 g : BC，g=1,1,2,2,3,3, 4,3, 5,2求g。f 。解: g。f =1,2,2,1,3,3,4,2用关系图图示g。f ，其中表示g。f,见图,【例2】 设f，g均为实函数，f(x)=2x+1,g(x)=x 2+1,求f。g，g。f，f。f，g。g。 解 f。g(x)=f(g(x)=2(x2+1)+1=2x2+3 g。f(x)=g(f(x)=(2x+1) 2+1=4x 2+4x+2 f。f(x)=f(f(x)=2(2x+1)+1=4x+3 g。g(x)=g(g(x)=(x 2+1) 2+1=x 4+2x 2+2,定理4-2.3 设
17、 f:XY，g:YZ，gf是一个复合函数，则（1）如果 f 和 g 是满射的，则gf也是满射的。（2）如果 f 和 g 是单射的，则gf也是单射。（3）如果 f 和 g 是双射的，则gf也是双射的。,证明：a).设 f:XY, g:YZ为满射的,令z为Z的任意一个元素，因g是满射，故必有某个元素yY使得g(y)=z，又因为f是满射，故必有某个元素xX使得f(x)=y，故gf(x)=g(f(x)=g(y)=z因此，Rgf =Z， gf是满射的。,b).设令x1、x2为X的元素，假定x1x2 ，因为f是入射的,故f(x1)f(x2) 。又因为g是入射的,故g(f(x1)g(f(x2), 于是x1x
18、2 gf(x1) gf(x2) ，因此，gf是入射的。c).因为g和f是双射，故根据a).和b)， gf为满射和入射的，即gf是双射的。定理证毕。 ,定义4-2.3 函数f:XY叫做常函数,如果存在某个 y0Y,对于每个xX都有f(x)=y0 ,即f(X)=y0 。,定义4-2.4 如果 Ix= | xX 则称函数Ix:XX为恒等函数。,证明：a). f-1 f 与Ix的定义域都是X。b).因为f是一一对应的函数，故f-1也是一一对应的函数。 若f: xf(x)则 f-1(f(x) =x,由a).和b).得f-1 f=Ix。故xX (f-1f)(x)=f-1(f(x) =x。定理证毕。例题3见
19、P-155页,定理4-2.5 如果函数f:XY，有逆函数f-1:YX,则 f-1 f = Ix 且f f-1 = Iy,定理4-2.4 设f：XY，则f=f Ix = Iy f, 证明：a).因f:XY是一一对应的函数，故f-1 :YX也是一一对应的函数。因此(f -1) -1 :XY又是一一对应的函数。显然dom f = dom (f -1) -1 =Xb). 设xX f: xf(x) f-1:f(x)x (f -1) -1 : xf(x) 。由a).和b).得(f -1) -1= f 。定理证毕。,定理4-2.6 若f:XY是一一对应的函数，则 (f -1) -1= f 。,定理4-2.7
20、 设 f:XY,g:YZ 均为一一对应函数,则(g f)1 = f-1 g1。 证明：a).因f:XY,g:YZ都是一一对应的函数,故f-1 和 g-1均存在，且f-1:YX，g-1:ZY，所以f-1 g1 :ZX。根据定理4-2.3， g f:XZ是双射的，故(g f)1存在且(g f)1 :ZX。dom (f-1 g1) = dom (g f)1 = Z,b). 对任意zZ 存在唯一yY,使得g(y)=z存在唯一xX,使得f(x)=y,故(f-1 g1)(z)= f-1 ( g1(z)= f-1 (y)=x但 (g f)(x)=g(f(x) =g(y)=z故 (g f)1(z)=x因此对任意zZ有： (g f)1(z)= (f-1 g1)(z)由a).和b).得(f-1 g1)=(g f)1 。定理证毕。,作业4-2,P156 (1)(3),结 束,谢 谢 !,
