1、1碎石运输方案设计摘要：本文对运输碎石的方案设计建立数学模型。这是一个道路改造项目中安排石料运输的规划问题，目标是在给定的条件下寻求使碎石运输总费用最少的规划方案。问题的关键是给出两个石料供应点的运量，恰当选择铺设临时道路的路线，确定设置码头的数量及位置。注意到通过水运运输碎石时，必须有装有卸，所有如果需要建临时码头，码头数应不小于 2。由于 S2 处离河道处太远，又由于桥的造价很高，所以 S2 处运的碎石全部通过陆地运输。为了使总费用在 17 亿元左右，我们在 S1 附近建设一个装碎石码头 M0 ，可能建设装碎石码头 M1 、M 2、M 3，从码头 M1修建的临时道路与 AB 路的交点为L1
2、，从码头 M3修建的临时道路与 AB 路的交点为 L2。从 S2 处铺设临时道路到临界点 Q1。可能在点 C 处铺设临时道路到临界点 Q2。路线图为1）铺设道路的总费用12wwww =+ ( 1 ) 1w：碎石（碎石）费关键词：最优解 lingo 软件S1（20，,120） S2（180,157）M0（20.2,115） M2A BQ1L1M1M3L2Q2C2一、问题重述在一平原地区要进行一项道路改造项目，在 A，B 之间建一条长 200km，宽15m，平均铺设厚度为 0.5m 的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从 S1，S2两个采石点运碎石。1 立方米碎石的成本都为 60 元。 （S1，S
3、2 运出的碎石已满足工程需要，不必再进一步进行粉碎。 ）S1，S2 与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为 4m，平均铺设厚度为 0.1m。而在 A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输 1 立方米碎石 1km 运费为 20 元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输 1 立方米碎石 1km 运费为 6 元；逆流时，平均运输 1 立方米碎石 1km 运费为 10 元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用 10 万元。建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：A（0,100） ，B（200,100） ，s1(20,120)，s2
4、(180,157)。河与 AB 的交点为 m4(50,100) （m4 处原来有桥可以利用） 。河流的流向为 m1m7，m4 的上游近似为一抛物线，其上另外几点为 m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4 的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。此地区没有其它可以借用的道路。为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图） ；是否需要建临时码头，都在何处建；从 s1，s2 所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。二、符号说明：修路的总花费；w：卸碎石码头 的
5、坐标；0(,)Mxy0M：第 个装碎石码头 的坐标， ；ii i 1,2ik：从码头 修建的临时道路与 AB 路的交点 的坐标， ；,1Lli iL1,2ik：AB 上的一点（我们称它为临界点） ，修建它左边的道路需要的碎石()Qq3取自 S1, 修建它右边的道路需要的碎石取自 S2；：从 修建的临时道路与 AB 路的交点 的坐标， ；(,10)iQq2SiQ1,2it：临时道路的横截面面积，等于 ；s 620.41km：正式铺设的 AB 道路的横截面面积，等于 ；2 627.50：AB 直线形公路的总长度；L：从采石点 S1 运出的仅用于修建 AB 公路的碎石数；1b：从采石点 S2 运出的
6、仅用于修建 AB 公路的碎石数。2三、问题假设1）河有足够的跨度，可以满足在两岸都修建码头；2）假设每个码头通向 AB 的临时道路只有一条；3）除水路外，假设所有的运输道路均为直线型；4）把河流的上游和下游分别看作两条抛物线的一部分；5）不考虑题目所涉及范围以外的其他不确定因素产生的费用。四、模型准备考虑到在运输方案设计的数学模型中涉及大量的计算公式，为了方便，我们首先用一个示意图表示运输线路，并且逐步依次对各种量的表达式进行讨论。1）铺设道路的总费用12wwww =+ ( 1 ) 1w：碎石（碎石）费2w：运输费3w：修建码头的费用总费用 =码头建设费 +铺设道路的碎石成本费 +碎石运输费
7、。w0 1w21）码头建设费 w0：S1S2M0L1L2Q Q1QtM1M2MkA4修建一个码头的费用为 105元，修建 K 个码头的费用为 w0=k1052）碎石成本费 =铺设 AB 的碎石成本费 +铺设临时道路的碎石成1w10本费 ： 1铺设 AB 的碎石成本费： = 元10926s铺设临时道路的碎石成本费：=1w 9012121( )()60k tsMLMLQs 其中， ，6.4m 20001)(,sxy2211()(),lxy )kkkl28057sQq22,(18(571,ttsq而 ,200xy, .11582 22331650,16505kkkxyxy3）碎石运输费 =铺设临时道
8、路的碎石运输费 +铺设 AB 的碎石运w2w输费 :20首先计算铺设临时道路的碎石运输费 ：2011ktwffr 下面依次计算各段道路的运输费。从 S1 出发的临时路段的碎石运费计算：为计算修建 段道路的运输费，第一步，计算把碎石从 s1 运到 M0的运01sM费。如果把碎石分成无数小份，则每一份的运费与其将来被铺设的位置与采石点之间的距离成正比，所以这段路的运费可以用一个积分式求出来：，019291012sMfxds修建 段道路需要的碎石要经过 M0 运到 M1的河流，由于1L，22 2lnababyy 利用第一型曲线积分可以计算这段河的长度为： 0 0112 2 21110(5)(0)(5
9、)l(5)4844yycdyy y 其他河段的长度 可以类似计算：ic.0 10221 3()()15iyi ycddy5这里，我们假定了 M2在下游抛物线上。所以，修建 段道路需要的碎石运费为：1L9290111(6)00;fscLsMLs同样得到修建 段道路需要的碎石运费为：2 92920211() ;f, 9290111600;kkkkfsMcLsLs从 S2 出发的临时路段的碎石运费计算： 2911;rQ 292921 1;ttrQrQ其次计算铺设 AB 的碎石运输费 ，即：2ktwffr 等于铺设 点左右两边各段道路需要的碎石运输费之和。21w121,ktL 则292921 1210
10、11 1(6)()00;l lfsMcss229 932 321 1202()() 1;l llf L s, 229 91 120 2(162)()010;2kkkkkklqllqlfsMcLs s 229 91 12 2()010;2tktt tktttql lqrsQs s , 229 923 312 120()010;qqqrss s229 9121121 2 1() ;qQ 点 中的 为：(,0)q. 2tktklqql是从采石点 S1 运出的仅用于修建 AB 公路的碎石数： ；1b 12bsq6是从采石点 S2 运出的仅用于修建 AB 公路的碎石数： .2b 2(0)bsq五、模型的
11、建立与求解由上可以知道，为了完成 AB 道路的修建工程，在假定修建 个码头，1k条临时道路的情况下，总修建费用为：1kt= + +w012其中：W 0=(K+1)105；= + ；1w9261s 90111()(2)60k tsMLsQs = + ，而20， .11ktffr 212221ktwffr 具体的计算表达式如上节，其他的约束条件为： 012315;0kkxxll 123125;.;0;kttlq7至此，我们已经成功建立了一个关于碎石运输的优化规划数学模型，要求的就是在上述约束条件下的最小值. 用 Lingo 求解得： w采石方法k(从河流出发到 AB 的临时道路条数)码头数（k+1
12、）t(从 S2 出发的临时道路条数)最小费用（亿元）2 3 0 24.53 4 0 21.1只从 S1 取石4 5 0 28.71 18.62 18.133 17.821 24 17.011 18.642 16.802 33 16.981 18.132 18.063 43 18.91 18.152 18.4同时从 S1、S2取石4 53 19.2具体程序参见附录。结论：3 码头 2 道路最优方案总费用为 16.8 亿元，各有关数据为：0012212312.,5;0;73.,19.6;784.6.;9 560;xyxlyqbm六、模型的评价与模型的改进模型主要优点： 81) 考虑问题比较全面，我
13、们建立的模型可以对不确定因素的各种情况都进行讨论; 2) 问题描述逐层深入，每个独立部分的模型建立与求解比较简洁； 3) 得到较好的结果，误差主要依赖于 Lingo 程序及计算机计算的精确度。模型缺点：没有建立一个全局动态的模型，不能直接求解出全局的最优结果。比如可以考虑从某条临时道路的中间位置建设另外一条临时道路，建立更科学的网络优化模型。1）铺设道路的总费用12wwww =+ ( 1 ) 1w：碎石（碎石）费2w：运输费七、参考文献1姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型. 北京：高等教育出版社，2003.8.2姜启源，薛毅. 优化建模与 LINDO/LINGO 软件. 北京：清华大学出版社，2
14、005.7.3刘光灿，刘简达. 道路改造项目中碎石运输的数学模型. 长沙大学学报，2007 年 9 月，第 21 卷第 5 期，1-4.附录一：MODEL: Title road; data: sets:LL/l0=sqrt(20-x0)2+(120-y0)2);l1=sqrt(L(1)-x1)2+(100-y1)2);!;lk=sqrt(L(k)-xk)2+(100-yk)2);/S1S2M0L1L2 LkQ Q1QtM1M2MkA9endsetssets:QQ/q1=sqrt(180-Q1)2+(157-100)2);!;qt=sqrt(180-Qt)2+(157-100)2);/ends
15、etssets:X/x1=(-1/8)*y12+25*y1-1200;x2=(3/20)*y22-12*y2+650;!;xk=(3/20)*yk2-12*yk+650;/endsetsw11=sum(L(i):l(i)+sum(Q(i):q(i)*s1*60*109;s1=0.4*10-6;f0=10*l02*s1*109;sets:C/c1=(1/8)*(-100+y0)*sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-2*log(100-y0)/4+sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-(1/8)*(-100+y1)*sqrt(-1/4)*y1+25)2+1)-2*log(100-y1
16、)/4+sqrt(-1/4)*y1+25)2+1);c2=(1/8)*(-100+y0)*sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-2*log(100-y0)/4+sqrt(-1/4)*y0+25)2+1)-2*log(sqrt(-1/4)*100+25)2+1)+;/endsetssets:F/f1=(20*l0+6*c1)*l1*s1*109+10*l12*s1*109;f2=(20*l0+6*c2)*l1*s2*109+10*l22*s1*109;f3=(20*l0+6*c3)*l1*s3*109+10*l32*s1*109;f4=(20*l0+6*c4)*l1*s4*109+10*l
17、42*s1*109;!;fk=(20*l0+6*ck)*l1*sk*109+10*lk2*s1*109;/endsetssets:F2/f21=(20*l0+6*c1+20*l1)*(L(1)+(L(2)-L(1)/2)*s2*109+10*L12+sqr(L(2)-L(1)/2)*s2*109;f22=(20*l0+6*c2+20*l2)*(L(2)-L(1)/2+(L(3)-L(2)/2)*s2*109+10*sqr(L(2)-L(1)/2)+sqr(L(3)-L(2)/2)*s2*109;f23=(20*l0+6*c3+20*l3)*(L(3)-L(2)/2+(L(4)-L(3)/2)*
18、s2*109+10*sqr(L(3)-L(2)/2)+sqr(L(4)-L(3)/2)*s2*109;f2k=(20*l0+6*ck+20*lk)*(L(k)-L(k-1)/2+(q-10L(k)/2)*s2*109+10*sqr(L(k)-L(k-1)/2)+sqr(q-L(k)/2)*s2*109;/endsetssets:R/r1=10*q12*s1*109;r2=10*q22*s1*109;r3=10*q32*s1*109;r4=10*q42*s1*109;!;rt=10*qt2*s1*109;/endsetssets:R2/r2t=20*qt*(Q(t)-L(k)/2+(Q(t-1)
19、-Q(t)/2)*s2*109+10*(Q(t)-L(k)/2)2+(Q(t-1)-Q(t)/2)2*s2*109;r22=20*q2*(Q(2)-Q(3)/2+(Q(1)-Q(2)/2)*s2*109+10*(Q(2)-Q(3)/2)2+(Q(1)-Q(2)/2)2*s2*109;r21=20*q1*(Q(1)-Q(2)/2+(200-Q(1)/2)*s2*109+10*(Q(1)-Q(2)/2)2+(200-Q(1)2*s2*109/endsetsenddata obj min w=w0+w1+w2; w0=(1+k)*2*10*104;w1=200*s2*60*109+sum(LL(i)
20、:l(i)+sum(QQ:q(i)*s1*60*109;w2=w21+w20;w20=sum(F(i):f(i)+sum(R(j):r(j);w21=sum(F2(i):f2(i)+sum(R2(j):r2(j);q=(L(k)+Q(t)/2;b1=s2*q;b2=s2*(200-q);00; x20x10; x20100; y200; b20; x00x200; y00=100; x20; x20; x20x10; x20100; y200; b20; x00x200; y00=100; x20; x20; x2x1; x2100; y2y1; x0=-0.125*y02+25*y0-1200; x1=-0.125*y22+25*y2-1200;
