1、页 1 第北京市东城区 2015-2016 学年下学期高二期末考试数学试卷（文科）本试卷共 100 分，考试时长 120 分钟。参考公式：若 1(,)xy， 2(,)， (,)nxy为样本点， ybxa为回归方程，则 12()niiiixyb，aybx，其中 1nix， 1niy. 2()(nadcKbb，其中ncd为样本容量。一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 |(2)0Ax， |10Bx，则 ABA. （-2,1） B. 1,2） C. （-2,1 D. （1,2）2. 已知数列 ,5,1 ，则
2、25是这个数列的A. 第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 11 项 D. 第 19 项3. 下列四个命题中的真命题为A. 00,143xZ B. 00,51xZC. 2R D. 2R4. 函数 lnyx在 处的导数等于A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. “ 2a”是“ 复数 (4)(1)zaiaR为纯虚数 ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知 0.2633,log4,l2abc，则 ,abc的大小关系为A. c B. C. D. bca7. 设函数 ()fxR为奇函数， 1(),(2)(2)ffxf，则 (5)f
3、A. 0 B. 1 C. 5 D. 58. 高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到 22列联表，则随机变量 2K的观测值为班级与成绩统计表页 2 第优秀 不优秀 总计甲班 11 34 45乙班 8 37 45总计 19 71 90A. 0.600 B. 0.828 C. 2.712 D. 6.0049. 已知函数 ()2fxx，则下列结论正确的是A. 是偶函数，递增区间是 (0,)B. ()f是偶函数，递减区间是 1C. x是奇函数，递减区间是（ -1，1）D. ()f是奇函数，递增区间是 (,0)10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信
4、息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。设定原信息为 012a，其中 ,1(,2)ii，传输信息为 012ha， 0102,aha， 运算规则为： ,0.例如原信息为 111，则传输信息为 01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11. 若复数 z 满足 (1)2iz，则 z_.12. 函数 )xf的值域为_.13. 若 7,5PQ， 则 P 与 Q 的大小关系是_.14. 已知变量 x，y 具有线性相关关系，测得（x
5、，y）的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3,5），其回归方程为 1.4a，则 的值是_.15. 已知函数 3,0(),fxfx则 5()6f_.16. 按下列程序框图运算：若 x=5，则运算进行_次才停止；若运算进行 3 次才停止，则 x的取值范围是_.页 3 第三、解答题（本大题共 5 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分 10 分）已知函数 ()log(1)l(),0aafxx，且 a1.（I）求 的定义域；（II）判断 ()f的奇偶性并予以证明.18. （本小题满分 10 分）已知命题 p：方程 210xm有两个不等的正实数
6、根；命题 q：方程 24()10xmx无实数根.若“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围。19.（本小题满分 10 分）在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角上切去全等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时箱子的容积最大？最大容积是多少？20. （本小题满分 11 分）已知函数 ()ln()fxaR.（I）若 a=2，求曲线 yfx在 x=1 处切线的斜率；（II）求 ()f的单调区间；（III）设 2gx，若对任意 1(0,)，均存在 20,1x，使得 12()fxg，求 a的取值范围.页 4 第21. （本小题满分 11 分）
7、在无穷数列 na中， 1，对于任意 nN，都有 na，且 1na. 设集合|,mAN，将集合 mA中的元素的最大值记为 mb，即 是数列 n中满足不等式na的所有项的项数的最大值，我们称数列 nb为数列 n的伴随数列。例如：数列 na是 1,3,4，它的伴随数列 是 1,1,2,3，.（I）设数列 是 1,4,5， ，请写出 na的伴随数列 n的前 5 项；（II）设 13()nN，求数列 的伴随数列 b的前 20 项和。页 5 第参考答案一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B 7. C 8. A 9. C 10.
8、C二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11. 1i 12. (,2)(,) 13. PQ14. 0.9 15. 1 16. 4 （10，28三、解答题（共 5 小题，共 52 分）17. （本小题满分 10 分）解：（I） ()log(1)l()aafxx，则 10,.解得 . 故所求定义域为 |1x.5 分（II）由（I）知 ()f的定义域为 |1x，且 ()loglog()1aafxf.所以 ()f为奇函数.10 分18. （本小题满分 10 分）解：因为命题 p：方程 210xm有两个不等的正实数根，设方程的两根为 1,，则120,x所以命题 p： m.3 分因为命题
9、 q：方程 24()10xx无实数根，216()0，所以命题 q： 3.5 分若“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，则 p 真 q 假，则 m；7 分p 假 q 真，则 21.9 分综上， 3或 。10 分19. （本小题满分 10 分）解：设箱高为 xcm，箱底边长为（60-2x）cm，则箱子容积 V 关于 x 的函数为页 6 第2()60)(30)Vxx.2 分因为 1486，所以令 ()，即 2x.解得 x=10 或 x=30（舍）.x=10 是 V（x）唯一的极大值点，也就是最大值点.所以当 x=10cm 时，箱底的边长为 40cm 时，箱子的容积最大，最大容积为 3(10
10、)6cm.10 分20.（本小题满分 11 分）解：（I）由已知 1()2(0)fx，(1)23f.故曲线 ()yf在 处切线的斜率为 3.3 分（II） 1 (0)axx.当 0a时，由于 ，故 1,()0fx，所以， ()f的单调递增区间为（0，+）.当 a0 时，由 ()fx，得 a.在区间 1(0,a上， 0f；在区间 1(,)上， ()0fx，所以， )fx的单调递增区间为 ,)a；单调递减区间为 1,a.7 分（III）依题意，问题转化为 mxax(fg时，求 a 的取值范围.由已知 max()2g.由（II）知，当 a0 时，f（x）在（0，+ ）上单调递增，值域为 R，故不符合题意.当 a0 时，f （ x）在 1(,)上单调递增，在 1(,)a上单调递减，故 f（x）的极大值即为最大值， ()lnln()f a，所以 1ln()2a，解得 31e.综上，a 的取值范围为 3(,).11 分21. （本小题满分 11 分）解：（I）1,1,1,2,3.3 分页 7 第（II）由 13nam，得 31log()mN4 分所以当 2， N时， 2b6 分当 8， 时， 348 .8 分当 90， 时， 910203 .10 分所以 12265b .11 分
