1、1i=1, S=0开始i5?i 是奇数?S=S-i2=0S=S+i2=0i=i+1是否输出 S结束正视图 侧视图俯视图2232100 所名校高考模拟金典卷 数学（一）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、若集合 ，集合 ，则集合 B 的元素个数为（ ）0,123A,1BxAxA、1 B、2 C、3 D、42、在复平面内，复数 （ 为虚数单位）所对应的点位于（ ）4iA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限3、下列命题中正确的是（ ）A、若 p：存在 ， ，则 p：对任意 ， 。xR210xxR210
2、xB、若 为真命题，则 为真命题。qpqC、 “函数 为奇函数”是“ ”的充分不必要条件。ffD、命题“若 ，则 ”的否命题为真命题。234、执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为（ ）A、3 B、 6C、10 D、 155、已知变量 x,y 满足约束条件 ，则5021xy21zxy的最大值是（ ）A、9 B、8 C、7 D、66、如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）A、 B、4 43C、 D、227、用 1,2,3,4,5,6 组成不重复的六位数，满足 1 不在左右两端，2,4,6 三个偶数中有且仅有两个偶数相邻，则这样的六
3、位数的个数为（ ）A、432 B、288 C、216 D、1448、设 ， ，且 ，则（ ）0,20,21sintacoA、 B、 C、 D、323229、已知等边ABC 中，D 、 E 分别是 CA、 CB 的中点，以 A、 B 为焦点且过 D、 E 的椭圆和双曲线的离心率分别为 、 ，则 的值为（ ）1e212eA、 B、3 C、2 D、 3210、已知定义在 R 上的函数 、 满足 （ 且 ） ，fxgxfag01a，其中 且 ，则在有穷数列 中，任取前 k 项相 fxgfx0152fng加，和大于 的概率为（ ）634A、 B、 C、 D、153545252A CBOED二、填空题：本
4、大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（一）选做题（请考生在 11,12,13 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分。11、已知曲线 C 的极坐标方程为 ，直线的极坐标方程为 ，23cos2cos3则它们相交所得的弦长等于 ；12、如图，AB 是圆 O 的直径，过 A 作圆 O 的切线，在切线上取一点 C，使 AC=AB，连结 OC，与圆 O 交于点 E，若圆 O 的半径为 1，则 AE= ；13、对任意 ， 的最小值为 ；,xyR1xy（二）必做题：（1416 题）14、在 2014 年 3 月 15 日那天，某市物价部门对市内的 5 家商场的某商品的一
5、天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价 x（元）和销售量 y（件）之间的一组数据如下表所示：价格 x 9 9.5 10 10.5 11销售量 y 11 10 8 6 5根据上表可得回归方程 ，则 = ；3.2a15、已知 为单位正方体，黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走1ABCD完一段” ，白蚂蚁爬行的路线是 ，黑蚂蚁爬行的路线是 ，它们都遵循11AD 1B如下规则：爬行的第 段与第 段所在直线必须是异面直线（其中 ） ，设黑白蚂蚁都走完 2015 段ii iN后各停在正方体的某个顶点处，这时黑白蚂蚁的距离是 ；16、已知ABC 内一点 O 满足关系 ，则 = ；2
6、30BOC:BOCAOBSSA三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤。17、已知向量 与向量 所成角为 ，其中 A、 B、 C 分别是ABC 的内角。sin,1cosmB,n3（1）求角 B 的大小；（2）求 的取值范围。iAC18、某商家推出一款简单电子游戏，弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点和中心共 7个点中的三个位置上，用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。规定：当三球共线时，S=0；当 S 最大时，中一等奖，当 S 最小时，中二等奖，其余情况不中奖。一次游戏只能弹射一次。（1）求甲一次游戏中能中奖的概率；（2）
7、设这个正六边形的面积是 6，求一次游戏中随机变量 S 的分布列及数学期望。319、已知正数数列 满足 （ ） ，数列 的前 n 项和为 ，且满足na2210nnanNbnS， （ ） 。1b2SbN（1）求数列 和 的通项公式；n（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求证： 。1ncacnT21n20、 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，AC AD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1。（1）求二面角 A-PC-D 的正弦值；（2）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30，求 AE 的长。A CBDP4MBAN xyPQF1 F
8、2O21、设椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ，下顶点为 A，线段 OA 的中点为 B（O1C21xyab0a12,F为坐标原点） ，如图，若抛物线 ： 与 y 轴的交点为 B，且经过点 。2C2yx12,F（1）求椭圆 的方程；1（2）设 ，N 为抛物线 上一动点，过点 N 作抛物线40,5M2的切线交椭圆于 P、 Q 两点，求 MPQ 面积的最大值。22、已知函数 。1lnfx（1）求曲线 在点 处的切线方程；y2,f（2）若 有两个不同的极值点，其极小值为 M，试比较 与 的大小，并gfax 23说明理由；（3）设 ，求证：当 时， 。2qp,pqfxfpfxfq5OAB CB1 C11
9、00 所名校高考模拟金典卷 数学（一）参 考 答 案110：ABDCB CBBAD11、3； 12、 ； 13、3； 14、40； 15、 ； 16、1:2:3。51215、【解析】由题意，白蚂蚁爬行路线为 ，即过 6 段后又回到起点，可以111ADCBA看作以 6 为周期，由于 ，白 蚂蚁爬完 2015 段后回到 B 点；2056同理，黑蚂蚁爬完 2015 段后回到 D 点；所以它们此时的距离为 。16、【解析】延长 OB 至 ，使 ；延长 OC 至 ，使 ；1B1O112O连结 ，如图所示，则 ， ，1,AC2B3由条件得 ，所以 O 点是 的重心，10O1AC从而 （其中 S 表示 的面
10、积），1 13BABSSA所以 ， ， ，9CO6O11238OCBCBOCSAAA因此 。:189BABA17、已知向量 与向量 所成角 为 ，其中 A、B、C 分别是ABC 的内角。sin,cosm2,0n3（1）求角 B 的大小；（2）求 的取值范围。siC【解析】（1）因为 与向量 所成角为 ，所以 ，即 ；si,1csB,1cos3intan32B又 ，所以有 ，于是 ； 6 分02323（2）由（1）得 ，13sinsinsincos2ACAAi3而 ，所以 ，从而 。033i,1故 的取值范围为 。 12 分sin,1218、某商家推出一款简单电子游 戏， 弹射一次可以将三个相同
11、的小球随机 弹到一个正六边形的顶点和中心共 7 个点中的三个位置上，用 S 表示这三个球为顶点的三角形的面积。 规定：当三球共线时，S=0；当 S 最大时，中一等奖，当 S 最小时，中二等奖，其余情况不中 奖。一次游戏只能弹射一次。（1）求甲一次游戏中能中奖的概率；（2）设这个正六边形的面积是 6，求一次游 戏中随机变量 S 的分布列及数学期望。【解析】（1）在一次游戏中，三个小球的落点所有可能的结果共有 种，375C其中中一等奖的情况有 2 种，中二等 奖的情况有 3 种，于是若记“一次游戏中能中奖”为事件 A，则事件 A 发生的概率为 。 5 分371PC（2）依题意，S 的所有可能取值有
12、 0,1,2,3，且 ， ， ，035PS1835PS1235S，于是 S 的分布列为35P6S 0 1 2 3P 358351352510 分所以 。 12 分3182405ES19、已知正数数列 满足 （ ），数列 的前 n 项和为 ，且 满足na2210nnanNbnS， （ ）。1b2nbN（1）求数列 和 的通项公式；n（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求 证： 。1nncacnT21n【解析】（1）对于数列 ，由 可得 ，210na20nan由于数列 为正数数列，所以 ； 3 分n 2对数列 来说，由 ，可得 ，两式相减，整理得 （非零常数），b1nSb11nnSb1nb所以数
13、列 是一个等比数列，且公比 为 ；n 又 ，所以 。 6 分11n（2）由（1）知 = ， 8 分2nnbca12n1n所以当 n 为奇数时， ； 10 分1 12c n故 212342nTcc= 。 12 分15120、 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1。（1）求二面角 A-PC-D 的正弦 值；（2）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30，求 AE 的长。【解析】（1）依题设，可以以 A 为坐标原点，AD 、AC、AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系
14、A-xyz，如图所示。则有 ， ， ， ；4 分2,0,1C1,02B,2P于是 ， ，设平面 PCD 的法向量 为 ，PD ,nxyz则由 可得 ，取 ，即得 ；0n0yzxyzx121又平面 PAC 的法向量 为 （当然可用 x 轴的方向向量 ），2,A ,0i所以 ；6cos,nD若设二面角 A-PC-D 的大小为 ，则 。8 分23si1cos,ADn A CBD P yzx7MBAN xyPQF1 F2O（2）设 ，则 ， ， ，AEh0,20,AEh1,2Bh2,10CD则依题设知 ，解得 。3cos, 0CDB故 AE 的长为 。12 分1021、设椭圆 ： （ ）的左右焦点分别
15、为 ，下顶点为 A，线段 OA 的中点为 B（O 为坐标原1C2xyab012,F点），如图，若抛物线 ： 与 y 轴的交点为 B，且经过点。221x（1）求椭圆 的方程；1（2）设 ，N 为抛物线 上一动点， 过点 N 作抛物线的40,5M2C切线交椭圆于 P、Q 两点，求MPQ 面积的最大值。【解析】由题意可知 ，则 ，故 ；,1B0,A2b在抛物线方程 中令 ，得 ，2yxy1x则 ， ，故 ；1,0F,c于是 ，225ab从而椭圆 的方程为 。 4 分1C24（2）设 ，由 得 ，2,Nt1yxyx于是直线 PQ 的方程为 ，即 ； 6 分2tt21ytx将其代入椭圆方程整理得 ； 7
16、 分2250150首先， ；2 424018083tt t然后，若设交点 P、Q 的横坐标分别为 ，则 ， 。9 分12,x12215xt22510tx故 ；42211258344ttx设点 M 到直线 PQ 的距离为 ，则 ，d2214tt所以MPQ 的面积22 15831 52 4tttSPQ 。425830t2910t 081当 即 时取到等号，经检验此时 ，满足题意。29t3t故MPQ 面积的最大值为 。 13 分1522、已知函数 。lnfx（1）求曲线 在点 处的切线方程；y2,f8（2）若 有两个不同的极值点，其极小值为 M，试比较 与 的大小，并说明理由；21gxfax 23（
17、3）设 ，求证：当 时， 。qp,pqfxfpfxfq【解析】（1）易知 ，所以 ；21fx124f又 ，所以曲线 在点 处 的切线方程为 ，2lnfyx,f 1ln224yx即 ； 4 分40xy（2）由题设知 ， （ ）；2lngxa212axga0x因为 有两个不同的极值点，所以 有两个不相等的 实根 （ ），0x12,2即 有两个不相等的正根 （ ），210a12,2于是有 ，解得 ； 6 分12480xaa相应的， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，gx1,12,x2,x于是 的极小值 ，2lnMga又因为 ，且 ，200x2a1,所以 （ ）。1ln2由于 ，所以 在 上单调递减，22xx2x,从而 ，故 。 9 分31M3M（3）先证明：当 时， ；,xpqffpfxx即证 ，只需 证 ；（*）2lnl1x21lnln0px事实上，设 （ ），1lppxq则 ，所以 在 内递 增，x30x,所以有 ，即（ *）成立，从而 成立。 12 分pfffxp同理可证：当 时， ；,xqfxfqfx综上即得当 时， 。 13 分,ppq
