1、2017年 春 -本科生 -流体力学 理想流体动力学 1第四章 理想流体动力学理想流体动力学 2简介理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性理想流体（势流） 真实流体0 0vCm ij ijTp2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 3基本内容1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件2. 理想流体在势力场中运动的主要性质3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法2017年 春 -本科生 -
2、流体力学理想流体动力学 4 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件1. 理想流体运动的基本方程 Euler 方程t VV1t V V V f T 221122 11( ) ( ) Re e q q Tt V V V f V T Vij ijTp k ij i jkpx e e e iipx e pij i j k kpVe e e iipV e pV0vCm 2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 5 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件t VV1 pt V V V f 221122 1( ) ( ) Re e p q qt V V V f V V不封闭！jjjjVVt x
3、x 1iijijiVV pVft x x 2211221j j j j Rjje V e f V pV q qt x x VV2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 6 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件2. 理想流体能量方程的讨论 221122 1( ) ( ) Re e p q qt V V V f V V 212DD et V 11pp VVDD t VDDpp ptt V2DD t V1 1 D 1D pppttV2D 1 D 1DDp p pt t t D 1 1 D 1DDpppt t t D1Dpptt 212D1D Rppe q qtt V f V2017年
4、春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 7 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件D1D pt V f212D1D Rppe q qtt V f V 212D1D pt V f V VD 1 DDD Rppe q qtt D D 1DD Re p q qtt 热力学第一定律D 1 DDDRipqqtt 焓 pie动能方程1 1 D 1D pppttVD D 1 1 DD D Dpppt t t 2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 8 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件理想、常比热、完全气体、绝热 运动时pi C Tl n .v ps C C o n s tp RT pv
5、R C C /pvCC D 1 DDDRipqqtt 2D D D D 1 D DD D D 1 D 1 D 1 DppCi T p p p pCt t R t t t t ppttD 0Dpt D 0Dst 熵沿流体质点的迹线 熵不变2017年 春 -本科生 -流体力学3. 常用理想流体动力学微分型封闭方程组理想流体动力学 9 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件重力场中，理想常比热完全气体 绝热 连续 流动t VV1 pt V V V g0ppt V关于 的 封闭方程组,p Vvp RTe C T,eT重力场中，理想 匀质不可压缩流体 的运动0 V1 pt V V V g关于 的封闭方
6、程组,pVRDe qqDt ,eT2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 10 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件4. 理想流体运动的初边值条件（ 1）初始条件 ：对 非定常流动，应给出流动的初始速度、压力、密度等的分布0 0 0 0: ( ) , ( ) , ( )t t p p V V x x x（ 2）边界条件 ： LB V n V n : , , , 0F x y z t 0LF Ft V: 0 , ,pp xV: , ,pp x V V1211ppRR 若界面或固壁 满足无穷 远条件（无界静止流体）（ 绕流条件 ）两种 互不掺混界面上的应力条件界面 或固壁的不可穿透
7、 条件静止固壁 0L F V互不掺混界面LLFF VV2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 11 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件例 ：轴长分别为 a, b, c 的刚体 椭球以速度 在 无界理想流体中作等速直线运动，给出速度的 边界条件。,x x U t y y z zu u U v v w w 2 2 2 0x y zu v wa b c 2 2 2 2 0x U t x U t y zU u v wa a b c 球面： 无穷远：uU 0vw 0u v w()o x y z ()oxyzUio xyz oxyzUt2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学
8、12 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，其物面方程为无穷远处压力 ， 不计质量力，求：球面上的压强分布。()bR R tpp ()bRtR0 V1 pt V VV( , , )R 00()RRVVV V R0 : 0t V:0R p p V( ) : ( )b R bR R t V R t 2 0RRVR 1RRRVV pVt R R 球坐标系0 : 0RtV:0RR V p p ( ) : ( )b R bR R t V R t2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 13 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
9、 2 0RRVR 2 RR V C t 2R CtV R( ) : ( )b R bR R t V R t 2bbCtRtR 2bbC t R R t 22bRbRV R tR1RRRVV pVt R R 2 2 22 2 21b b bb b bR R R pR R Rt R R R R R 2 2222bbbbRRRR 2 2 4 2251 1 122b b b b b b pR R R R R RR R R 2 2 4 2 41 1 1 122 4RRR b b b b b bp R R R R R RRR 2 2 4 2 41 1 12 2b b b b b bp p R R R R
10、R RRR 2 2 2132 22 b b b b b b b bp p R R R R p R R R( ) :bR R t1 pR22232bbbbRRRR 积分2017年 春 -本科生 -流体力学 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件理想流体动力学 14思考题：如果圆球是气泡，其内部的压强如何？如果知道气泡内的压强，可否求界面的运动？222d 3 d 2 4 dd 2 d daa a ap a pt t a a t Reyleigh-Plesset方程应用：空化、气蚀、空泡、超空泡气蚀对叶片的破坏 美国超空泡实验潜艇232b b b bp p R R R 2017年 春 -本科生 -
11、流体力学理想流体动力学 15 4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件高速水中航行超空泡实验结果超空泡 外形 实验结果 超空泡 外形 数值 结果2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 16理想流体运动能量方程212D1D Rppe q qtt V f VD D 1DD Re p q qtt D 1 DDDRipqqtt D 0Dpt D 0Dst 理想流体 212D 1 1D Re q qt V f V T V一般流体理想、常比热、完全气体绝热连续流动2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 17基本内容1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件2. 理想流体在势力场中运动
12、的主要性质3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 18 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质1. Kelvin 定理（沿封闭流体线的环量不变定理）理想 、 正压流体、 在 势力场 中运动时，连续流场内沿任一条封闭流体线的速度环量不随时间变化。l证明：dl VxDDt0D dD lt Vx D dDl t Vx DdD dDDlltt xV xVl
13、tV tVVxx tt x V V V xt V 00Dd limDlim dtttt x xxVVD ddDllt V x V V 212D ddDllt V xVxx2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 19 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质DDddlltt VV x xD1D ptV f动量方程0 p 1 p理想：正压：势力场： fDD tV dl x d0l 2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 20 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质2. Lagrange 定理 （ 涡量不生不灭定理 ）理想 、 正压流体 、 在 势力场 中运动时 ， 若某一
14、时刻连续流场无旋 ， 则流场始终无旋 。理想 、 正压流体 、 在 势力场 中运动时 ， 若某一时刻连续流场有旋 ， 则流场始终有旋 。推论：在 满足 Kelvin 定理的条件下 ， 均匀来流绕过任一物体的流场为无旋流场；由任意物体在原静止流场中运动所造成的流场是无旋流场 。2017年 春 -本科生 -流体力学涡量方程和涡量源理想流体动力学 21对加速度取旋度得到 212dda V V V V VttV V V VtVVt 1 1 d 1dd d 1 1dddda V VtVVttVt 两边除密度得到2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 22涡量方程和涡量源涡量运动学的基本方程
15、(Beltrami方程 ) 1 1 d ddda V V Vtt a p V fp V f1 131 131 1 122 2 对 牛顿流体动量（ N-S） 方程两边 取旋度得到 22d 1 1d3V p f Vt 结合 Beltrami方程得到涡量动力学方程V 2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 23 d 0d Vt 涡量源是指流体从静止开始运动后流场中产生涡量的物理原因22 1 03V 0f 1 0p 涡量方程简化为那么流体 从静止开始运动后流场中不会产生涡量如果涡量方程表明有三个涡量源： 斜压流、非保守体力、粘性 22d 1 1d3V p f Vt 涡量方程和涡量源2017
16、年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 24 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质3. 涡量产生 或消失的条件只要不满足 Kelvin 定理的任何一个条件，旋涡都会产生或消失。Kelvin 定理条件： 理想、正压流体、质量力有势、流场连续均匀来流边界层内有旋流动切向间断 均匀来流 曲线激波法向间断（ 2）存在间断（非连续流场）（ 1）流体的粘性（非理想流体）无旋 有旋2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 25 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 26 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质（ 3）非正压流场 北极赤
17、道plnDDddlltt VV x x 1 dl pfx 1 dl p x 1 dA pAn 21 dA pAn0/p nD 0Dt 贸易风（信风）北 南2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 27 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质Rr drNSVxyz（ 4）非有势力场（以地球上大气运动为例）D1D pt V fa f 2 a R V DD dltt V x 12dlp R V x dp r/ / dNS Vr d0 VrD 0Dt 东北 西南2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 28 4.2 理想流体在势力场中运动的主要性质4. Helmholtz 定理（
18、涡线及涡管保持定理）理想正压流体在势力场中运动时，组成涡线（面）的流体质点永远组成此涡线（面），即涡线（面）是流体线（面）。理想 正压流体在势力场中运动时，组成涡管的流体质点永远组成此涡管，且涡管强度不随时间变化。2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 29基本内容1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件2. 理想流体在势力场中运动的主要性质3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法2017年 春 -本科生 -流体力学理想流体动力学 30 4.3 Lamb 型方程和理想流体运动的几个积分1. Lamb 型方程2112 Vpt V V f1 pt V V V f 22 V V V V V V 212 V V V VV Lamb矢量2017年 春 -本科生 -流体力学
