1、第6讲对数与对数函数学生用书P321对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN2对数的性质与运算法则(1)对数的性质loga10；logaa1(2)对数恒等式alogaNN(其中a0且a1)(3)对数的换底公式logbNlogaNlogab(a，b均大于零且不等于1，N0)(4)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)3对数函数的图象与性质a1 01时，y0当x1时，y0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax与对数函数y
2、logax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1辨明三个易误点(1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1.(2)对公式要熟记，防止混用(3)对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按01分类讨论，否则易出错2对数函数图象的两个基本点(1)当a1时，对数函数的图象“上升”；当00，且a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限3换底公式及其推论(1)logablogcblogca(a，c均大于0且不等于1，b0)；(2)logablogba1，即logab1logba(a，b均大于0且不等于1)；(3)logambnnmlog
3、ab(a0且a1，b0，m0，nR)；(4)logablogbclogcdlogad(a，b，c均大于0且不等于1，d0)1函数yxln(1x)的定义域为( )A(0，1) B0，1)C(0，1 D0，1B 解析因为yxln(1x)，所以x0，1x0，解得0x1时，如图所示，要使x(1，2)时f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，loga21，所以10，a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )Aa1，c1Ba1，01D00时是由函数ylogax的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知00且a1)的图象过两点
4、(1，0)和(0，1)，则logba_解析 f(x)的图象过两点(1，0)和(0，1)则f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，所以b11，ba，即b2，a2.所以logba1.答案 1对数函数的性质及应用(高频考点)学生用书P34对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)求对数函数的定义域；(2)解简单的对数不等式或方程；(3)比较对数值的大小；(4)探究对数函数的性质典例引领(1)(2016高考全国卷乙)若ab0，0cb(2)(2017福建省毕业班质量检测)函数f(x)ln
5、x（exex）2，则f(x)是( )A奇函数，且在(0，)上单调递减B奇函数，且在(0，)上单调递增C偶函数，且在(0，)上单调递减D偶函数，且在(0，)上单调递增(3)设f(x)loga(1x)loga(3x)(a0且a1)，且f(1)2，则f(x)在区间0，32上的最大值是_【解析】(1)法一：因为0c1，所以ylogcx在(0，)单调递减，又0ba，所以logcalogcb，故选B.法二：取a4，b2，c12，则log41212log212，排除A；4122212，排除C；12 4122，排除D；故选B.(2)要使函数f(x)ln x（exex）2有意义，只需x（exex）2 0，所以x
6、（e2x1）2ex 0，解得x0或x0，log13（4x5）0，所以00，则方程f(x)12的解集为( )A1，2 B. 2，22C1 D.1，2，22D 解析当x0时，2x12，x1；当01时，log2x12，x2.故所求解集为1，2，22 .角度三比较对数值的大小3(2017石家庄市第一次模考)已知函数yf(x)的图象关于直线x0对称，当x(0，)时，f(x)log2x，若af(3)，bf 14，cf(2)，则a，b，c的大小关系是( )Aabc BbacCcab DacbD 解析由函数yf(x)的图象关于x0对称，得yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3
7、)f(3)，所以acb，选项D正确角度四探究对数函数的性质4(2017湖南省东部六校联考)函数ylg|x|( )A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递增D是奇函数，在区间(0，)上单调递减B 解析因为lg|x|lg|x|，所以函数ylg|x|为偶函数，又函数ylg|x|在区间(0，)上单调递增，由其图象关于y轴对称可得，ylg|x|在区间(，0)上单调递减，故选B. 5(2015高考天津卷)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值解析由于a0，b0，ab8，所以b8a.所以log2alog
8、2(2b)log2alog2 16alog2a(4log2a)(log2a2)24，当且仅当log2a2，即a4时，log2alog2(2b)取得最大值4.答案 4 学生用书P35)忽视函数的定义域致误(2017黄冈模拟)若函数f(x)log12(x24x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )A. 43，3 B. 43，2C. 43，2 D. 43，【解析】先保证对数有意义，即x24x50，解得1x5.又可得二次函数yx24x5的对称轴为x42（1）2，由复合函数单调性可得函数f(x)log12(x24x5)的单调递增区间为(2，5)，要使函数f(x)log12(x2
9、4x5)在区间(3m2，m2)内单调递增，只需3m22，m25，3m2m2，解得43m2.故选C.【答案】C本题易忽视函数f(x)log12(x24x5)的定义域，而误认为函数yx24x5的对称轴x2在区间(3m2，m2)的左侧即可，从而导致解答错误若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上递减，求a的取值范围解令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有g（1）0，a1，即2a0，a1，解得1a0，12x0，即30且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)( )Alog2x B.12xClog12x D2x2A 解析由题意知f(x)logax
10、，因为f(2)1，所以loga21.所以a2.所以f(x)log2x.3若函数f(x)ax1的图象经过点(4，2)，则函数g(x)loga 1x1的图象是( )D 解析由题意可知f(4)2，即a32，a3 2.所以g(x)log3 2 1x1log3 2(x1)由于g(0)0，且g(x)在定义域上是减函数，故排除A，B，C.4(2017莱芜模拟)已知alog23log2 3，blog29log2 3，clog32，则a，b，c的大小关系是( )AabcCabcB 解析 alog23log2 3log23 31，blog2 93log23 3，所以ab1，而clog32c.5若函数yaax(a0
11、，a1)的定义域和值域都是0，1，则loga56loga485( )A1 B2C3 D4C 解析当a1时，函数yaax在0，1上单调递减，所以a11且aa0，解得a2；当00，a1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)2xb的图象上，则f(log23)_解析由题意得A(2，0)，因此f(2)4b0，b4，从而f(log23)341.答案19设函数f(x)|logax|(00，a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解之得11恒成立，则f(x)minlo
12、ga(8a)1，且82a4，且a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性解 (1)由ax10，得ax1，当a1时，x0；当01时，f(x)的定义域为(0，)；当01时，设01时，f(x)在(0，)上是增函数类似地，当00，a1)，当x0，12时，恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间是( )A.，12 B(0，)C.，14 D.14，A 解析当x0，12时，2x2x(0，1)，因为当x0，12时，恒有f(x)0，所以00得x0或xm恒成立求实数m的取值范围解 (1)因为函数f(x)log2 1axx1是奇函数，所以f(x)f(x)，所以log2 1axx1log21
13、axx1，即log2ax1x1log2 x11ax，所以a1，令1xx10，解得x1，所以函数的定义域为x|x1(2)f(x)log2(x1)log2(1x)，当x1时，x12，所以log2(1x)log221.因为x(1，)，f(x)log2(x1)m恒成立，所以m1，所以m的取值范围是(，116(2017沈阳模拟)设f(x)|lg x|，a，b为实数，且01.解 (1)由f(x)1，得lg x1，所以x10或110.(2)证明：结合函数图象，由f(a)f(b)可判断a(0，1)，b(1，)，从而lg alg b，从而ab1.又ab21bb2，令(b)1bb(b(1，)，任取1(1)2.所以ab2 1.
