1、 国内图书分类号： O175 学校代码： 10213 国际图书分类号： 519.7 密级：公开 理学硕士学位论文 基于数学形态学的图像边缘检测方法 硕士研究生 ：曹晓琳 导 师 ：高广宏副教授 申请学位 ：理学硕士 学科：计算数学 所 在 单 位 ：理学院数学系 答 辩 日 期 ： 2012 年 7 月 授予学位单位 ：哈尔滨工业大学 Classified Index: O175 U.D.C.: 519.7 Dissertation for the Master Degree in Science IMAGE EDGE DETECTION METHOD BASED ON MATHEMATICA
2、L MORPHOLOGY Candidate： Cao Xiaolin Supervisor： A.P. Gao Guanghong Academic Degree Applied for： Master of Science Speciality： Computational Mathematics Affiliation： Department of Mathematics Date of Defence： July, 2012 Degree-Conferring-Institution： Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -I-
3、 摘 要 图像边缘是图像的一个最基本特征，图像边缘检测是图像预处理与分析的重要环节之一，具有广泛的理论与实际意 义。与传统的边缘检测方法相比，基于数学形态学的图像边缘检测方法更好， 它可以通过使形态结构元素的尺度发生改变来克服噪声影响，并可以通过改变 结构元素的结构和方向来检测到更加丰富的边缘，此方法既能满足实时性的要求，又容易硬件实现。 本文首先介绍了形态学与边缘检测的基本概念及发展现状，对传统边缘检测方法进行了阐述，并进行了有无噪声图 像的实验分析，同时还简单介绍了新兴的一些边缘检测方法。本文采用的边缘 检测方法是基于数学形态学的图像边缘检测方法，因而首先介绍了数学形态学 的基本理论，给出
4、了几种基本形态学算子公式及在有无噪声情况下的图像仿真 模拟，并进行了详细的分析与总结。根据形态学算子的特点及选取单一结构元 素的缺点，本文提出了两种改进的形态学边缘检测算子。 改进算子一是根据开闭运算与膨胀腐蚀运算的特点构造的公式。在含有噪声的图像中，利用此公式的反复开闭运算 进行滤波，可以有效的抑制噪声。同时采用的结构元素具有多结构和多方向的 特点，这样既可以检测到多种类型的图像边缘，又能检测出不同方向的边 缘信息，以确保边缘信息的完整性。 改进算子二在改进算子一的基础上采用了不同的结构元素，其特点是具有多结构、多尺度及多方向性。多尺度结构 元素的合理组合，能够有效地抑制噪声的同时检测到更好
5、的边缘细节。 本文最后对两种改进算子进行了实验，并与之前的形态学算子和传统算子进行比较，可以看出改进算子的边缘检测 效果及抗噪性能都较更好，在以后的图像处理中可以广泛应用。 关键词： 数学形态学；边缘检测；结构元素；抗噪性能 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -II- Abstract Image edge is one of the most basic characteristics of the image, and edge detection is an important link of image pre-processing and analysis, with a wide r
6、ange of theoretical and practical significance. Compared with traditional edge detection methods, image edge detection based on mathematical morphology is better, since it can change the scale of the morphological structuring element to overcome the effect of noise, and change the structure and orie
7、ntation of structuring element to detect richer edges. This method can not only meet the real-time requirements, but also be easily to implemented in hardware. This paper first introduces the basic concepts and development status of mathematical morphology and edge detection, elaborates traditional
8、edge detection methods, performs the experimental analysis of the image with and without noise, simultaneously, and then introduces some new emerging edge detection methods briefly. Since the method of edge detection in this paper is that based on mathematical morphology, we then introduce the basic
9、 theory of mathematical morphology, present some basic morphological operator formulas, and simulate in the case with and without noise and carry out a detailed analysis and summary. According to the characteristics of morphological operators and the disadvantages of selecting single structuring ele
10、ments, this paper gives two improved morphological edge detection operators. The first improved operator is the formula constructed based on the characteristics of erosion, dilation, opening and closing operations to. In the images with noise, by using the open-close operation of this formula repeat
11、edly to filter, we can effectively suppress noise. At the same time, since the selected structuring elements have the characteristic of multi-directional, this method can detect the edge information in different directions to ensure the integrity of the edge information. The second improved operator
12、 uses different structuring elements on the basis of the first improved operator, and has the characteristics of multi-structure, multi-scale and multi-direction. The multi-structuring element can detect various types of image edges, while rational combination of the multi-scale structuring element
13、can suppress noise effectively, and simultaneously detect better edge details. Finally, this paper experiments with the two improved operators above, and compares with the previous morphological operators and traditional operators. It 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -III- can be seen from the results that the impro
14、ved operators are better on the effect of edge detection and denoising performance, and can be used widely in the later image processing. Keywords: Mathematical morphology, Edge detection, Structuring element, Denoising performance 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -IV- 目 录 摘 要 I ABSTRACT . II 第 1 章 绪 论 . 1 1.1 引言 1
15、1.2 数字图像处理概述 . 1 1.2.1 数字图像处理的发展与应用 . 1 1.2.2 数字图像处理的主要内容 . 2 1.3 数学形态学概述 . 3 1.3.1 数学形态学的发展状况 3 1.3.2 数学形态学在图像处理中的应用 . 3 1.4 边缘检测概述 . 4 1.4.1 图像边缘的定义 4 1.4.2 边缘检测的发展历程与趋势 . 5 1.4.3 理想边缘检测结果的要求 . 6 1.4.4 边缘检测中存在的难题 6 1.5 本文的研究内容及安排 . 8 第 2 章 图像边缘检测的常见算法 9 2.1 基于梯度的边缘检测算子 . 9 2.1.1 Roberts 算子 . 10 2.
16、1.2 Sobel 算子 11 2.1.3 Prewitt 算子 11 2.2 基于二阶微分的边缘检测算子 12 2.2.1 Laplace 算子 . 13 2.2.2 LOG 算子 . 13 2.2.3 Canny 算子 . 14 2.3 新兴的边缘检测算法 . 15 2.3.1 小波分析 15 2.3.2 模糊算法 16 2.3.3 人工神经网络 16 2.4 实验结果分析 . 16 2.4.1 无噪声时的边缘检测结果分析 . 16 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -V- 2.4.2 含有噪声时的边缘检测结果分析 18 2.5 本章小结 22 第 3 章 数学形态学在图像处理中的基本理论
17、. 23 3.1 基本符号和术语 . 23 3.2 二值形态学 24 3.2.1 二值腐蚀与二值膨胀 25 3.2.2 二值开闭运算 27 3.2.3 击中击不中变换 30 3.2.4 二值图像的数学形态学应用 . 30 3.3 灰度形态学 31 3.3.1 灰度形态学的理论基础 31 3.3.2 灰度腐蚀与灰度膨胀 32 3.3.3 灰度开闭运算 34 3.3.4 灰度图像的数学形态学应用 . 36 3.4 本章小结 37 第 4 章 基于数学形态学的边缘检测 38 4.1 形态学边缘检测原理 . 38 4.2 改进的形态学边缘检测 . 43 4.2.1 结构元素的选取 43 4.2.2 改
18、进的形态学边缘检测算子 . 44 4.3 改进算子的算法实现 . 46 4.4 实验及结果分析 . 47 4.4.1 椒盐噪声图像的边缘检测实验结果 47 4.4.2 高斯噪声图像的边缘检测实验结果 50 4.5 本章小结 52 结 论 . 53 参考文献 . 54 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 . 58 致 谢 . 59 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -1- 第 1 章 绪 论 1.1 引言 数学形态学1(Mathematical Morphology)是图像处理与分析领域的一门新兴学科，其基础学科是数学，目的是 对目标结构与形状进行分析。数学形态学2的图像处理与分析方法
19、是非线性的，其理论基础是集合论，首先用某种正确的方式把图像转化为集合，再用 移位、交、并及补等方式进行基本的运算。数学形态学2在图像处理领域具有广泛的应用，如进行目标识别可以运用击中击不中变换，进行骨架提取可 以运用腐蚀与开运算，进行图像边缘检测可以运用膨胀腐蚀等，因此，数学 形态学已经成为图像处理中极为重要的研究方向之一。 边缘是图像最基本的一个特征，边缘检 测也就成为图像处理中一个最基本而重要的研究课题。在图像的后续处 理中，都是依靠边缘所提供的信息进行的，即图像后续处理是否容易且精确取 决于先前边缘提取是否准确。因此，我们要寻求更为有效的算子来检测边缘 ，目前有许多边缘检测算法，如梯度算
20、子法、多尺度分析法、最优算子法等 ，但这些方法在边缘精度与抗噪能力的协调方面没有很好的解决。而数学形态学3方法可以在精确边缘的同时很好地抑制噪声。 1.2 数字图像处理概述 图像是人类赖以获取视觉信息的一个重 要来源，它是客观事物透射、辐射或反射的光线，被人的视觉系统所接 收，在人脑中形成的认识。因此， “图像”可视为客观事物的二维“图”或三 维“图”在人的感觉下所成的“像” 。 数字图像处理是利用计算机加工图像信 息，从而满足人们视觉需求的一种行为，是经过一系列处理手段将一幅 图像转变为另一幅图像的过程，因此它实现的一个处理过程是由图像再到达 图像。以下分析了利用计算机处理图像的两个目的：
21、(1)产生视觉效果更好的图像； (2)希望计算机能够对图像自动识别与处理。 1.2.1 数字图像处理的发展与应用 数字图像处理的发展历经了一个漫长的过程。早在 20 世纪 20 年代，在哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -2- 远距离的图像传输中应用到图像处理， 当时还没有计算机，采用的是图像编码技术。到了 20 世纪 50 年代，数字图像处理伴随着计算机技术的发展而逐渐发展起来。直到上个世纪 60 年代初，第一台可以进行图像处理工作的大型计算机产生了， 这时美国喷气进入了实验室并分别处理了太空船 “水手 4 号” 、“徘徊者 7 号”等发回的照片，采用的是数字压缩技术4。 20 世纪 70 年
22、代，随着在资源探测中应用多谱图像， 同时计算机的轴向断层摄影技术得到发展，数字图像处理也应用到各个领域，包括 天文地理、生物医学、工业生产、遥感监控及军事侦察等。发展到上世纪 80 年代，在图像处理中引入了离散数学的方法，这更加完善了图像处理的相关研究4。上个世纪末至今，数字图像处理已经涉及了多种学科，包括光学、 数学、电子学及摄影学等；同时也在我们生活中广泛应用，包括办公学习、 生物医学、遥感技术、工业生产、影视拍摄、宇宙探测、通信技术、军事技术等。 1.2.2 数字图像处理的主要内容 数字图像处理主要包含以下几个内容4： (1)图像变换 图像变换对原图像采取某种正交变换， 例如傅里叶变换、
23、沃尔什变换、哈达玛变换等，这样在变换域中可进行 更有效的处理且可使计算量减少。 (2)图像增强 图像增强的目的是使图像中我们感兴趣 的信息突出，使不感兴趣的信息削弱或删除，从而得到有用的信息。 (3)图像复原 图像复原的目的是去除图像中有干扰或 模糊的部分（如噪声） ，从而使原图像恢复。 (4)图像分割 图像分割是提取出图像中的边缘或区域 等有意义的特征，再对图像进行识别、分析与理解。 (5)图像描述和分析 图像描述和分析是为了获取需要的信息 ，检测和测量图像的某些特征。 (6)图像编码压缩 图像编码压缩是为了降低数据存储量和 传输带宽、节省处理时间及压缩信息量，利用人类视觉的心理学与生理 学
24、及图像信号中的统计特性来压缩图像信号。 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -3- (7)图像分类 图像分类是对图像进行包括增强、 复原或压缩等的预处理之后，分割图像与提取特征，进而判别分类。 1.3 数学形态学概述 1.3.1 数学形态学的发展状况 1964 年，法国数学家2,5G.Ma theron（马瑟荣）和他的博士学生 J.Serra（塞拉）首次创立了数学形态学，并提 供了理论基础和实践基础，对开闭运算、击中击不中变换和布尔模型进行了理 论描述，且开发了首个纹理分析器。1970 年， J.Serra2获得了第二项专利，提出了腐蚀 、膨胀及颗粒重建等一些新的运算。 1975 年， G.Mat
25、 her on2的随机集与积分几何一书论述了随机集、拓扑学及积分几何，奠定 了形态学坚实的理论基础。 1982 年 J.Serra2的专著 Image Analysis and Mathematical Morphology （ 图像分析与数学形态学 ）第一卷和 1988 年的第二卷，把数学形态学推 向了国际，表明数学形态学日渐成熟的理论和不断深入广泛的应用。 1986 年， GVGIP5（ 计算机视觉与图形图像处理杂志 ）出版了数学形态学专辑，从而掀起了形态学在图像处理中的研究热潮。 经过四十多年的发展，数学形态学在理 论和应用两个方面都取得了显著地成就，二者紧密结合、相互作用，共 同推动了
26、它的发展。数学形态学具有与时俱进的理论思想，因此研究其理论 与应用具有极其重要的实用性与现实性。 20 世纪 70 年代，我国引入了实用图像 处理系统，它的基础就是数学形态学。近些年来，我国开发出利用形态 学技术的图像处理产品。同时，一些科研机构也采用了数学形态学的内容与 方法应用到科研与教学上，国内也出版了一些关于数学形态学的著作和学术 论文，但在总体水平上及普及性上还需要做进一步的工作。 1.3.2 数学形态学在图像处理中的应用 数学形态学在图像处理方法上是非线性的， 它的基本运算是腐蚀和膨胀。数学形态学首先是在二值图像的处理中 应用，之后又在灰度图像的处理中应用，且目前的算法较成熟。数学
27、形态学 可以解决图像处理中的多种问题，包括边缘检测、图像滤波、图像分割、纹 理分析、形状识别、图像压缩及图像哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -4- 恢复与重建等。 随着形态学理论的不断发展，形态学与 其他多种学科相互结合与渗透，产生了新的形态学方法，主要有如下四种6： (1)模糊数学形态学 模糊数学形态学7,8就是在数学形态学中引入模糊 数学。在这种方法中，图像看成是模糊集合而不是二值化集合，用 凸的交、并运算来代替集合的交、并运算，最后分别构成模糊腐蚀与模糊膨胀7。 (2)软数学形态学 软数学形态学9,10不再用最大、最小法，而 是用排序加权统计法来代替。权值由两部分组成，即核心与软边界，
28、且与结构元素有关。软数学形态学与数学形态学类似，也具有代数 特性，但去除图像噪声的能力更强。 (3)模糊软数学形态学 模糊软数学形态学11是结合了模糊数学形态学与软 数学形态学，它的滤波特性比软数学形态学及模糊 数学形态学都更好。 (4)形态小波 形态小波12是多分辨率的非线性分析方法，把小 波变换与数学形态学的优点相结合，抗噪声能力更强 ，多分辨率分析的特性更好。 数学形态学在实际应用中还有许多需要 完善的地方，如彩色图像的数学形态学应用及形态学的快速算法研究等 。在图像处理中应用数学形态学，其发展方向大致分为两个方面： (1)数学形态学的基本理论（包括二值、灰度及彩色形态学） ； (2)结
29、合其他方法对基本形态变换进行 综合应用，形成多种图像处理的非线性方法13，如模糊数学形态学、软数学形态学及小波数学形态学等，从而在图像处理中的各个领域广泛应用。 1.4 边缘检测概述 1.4.1 图像边缘的定义 图像的边缘是指灰度变化较为明显且剧 烈（也称灰度突变）的地方，即通过灰度不连续而得到的结果，本质上 也表示一个区域的结束与另外一个区域的开始。 图像的边缘点通常对应以下几种情况14： (1)空间曲面出现的不连续点；(2)不同的灰度或者材料产生的边缘； (3)物体与背景间的分界线构成的边缘；(4)物体间的交界； (5)阴影两侧有差异较大的灰度值。 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -5-
30、一般情况下，边缘剖面可分为两种：阶 梯状边缘和屋顶状边缘。阶梯状边缘是指其两侧具有变化明显的灰度值 ；而屋顶状边缘处于上升和下降的交界处，且灰度是缓慢地增加后再缓慢减 少。在数学上，边缘点变化的规律是用灰度导数来描述的。寻求灰度的一阶 导数最大值或者二阶导数的过零点是边缘检测常用的方法。 1.4.2 边缘检测的发展历程与趋势 人们对于边缘检测技术的研究已经有了 很长久的历史，并且不断有新的边缘检测技术出现。早在 1959 年， Julez15提出了边缘检测技术的概念，并由 Roberts16在 1965 年最早开始了系统研究，从此 边缘检测技术开始发展，不断涌现出了新的理论方法。早期的边 缘检
31、测方法明显存在计算量大、抗噪能力弱等缺点。 20 世纪 80 年代， Marr17,18与 Canny19陆续提出了一些更系统的新理论与新方法，使边缘检测具有 更重要的研究意义。随着研究的不断深入，人们发现在分辨率不同的情况下 会检测到不同的边缘信息，如利用小尺寸检测会使边缘的细节更多地保持下 来，但是抑制噪声的能力较弱；而利用大尺寸检测的抗噪性能较好 ，但同时会使一些边缘细节丢失5。 1983 年，Witkin20第一次提出了尺度空间这一思想，使 边缘检测的空间更为广阔，并由此产生了许多难能可贵的研究成果。 随后不断发展的小波理论在边缘检测中也起到了重要的作用。 Mallat21-23提出结
32、合小波理论与多尺度的思想，且统一于 LOG 算子和 Canny 算子，在图像分割与重构等多种领域中广泛应用。 虽然国内外许多专家一直对边缘检测技 术有所研究且提出了许多实用的理论，但边缘检测仍不能得到 很好的解决，主要原因有以下几点： (1)图像本身具有复杂性； (2)很难辨别图像的边缘和噪声； (3)一些干扰因素 (如阴影纹理 )也反映出边缘的特征； (4)研究者不同，对于图像的边缘也有不同的定义和要求。此外，因为图像边缘的定义本 身就不够明确，好的边缘模型和实际情况有很大的差距，所以要想找到普遍 性的检测方法是很难的。目前涌现了许多新兴的边缘检测方法，如统计学算 法、神经网络算法、形态学算
33、法、模糊理论算法及遗传算法等，同时基于梯 度的算法也具有一定的竞争力。 边缘检测技术从发展历程和现 状来看，可预见出以下发展趋势： (1)改善已有的边缘检测方法； (2)引入其他学科的理论，提出新理论新 方法及有效结合多种方法； (3)检测特殊的图像，有助于支持高新技术的研究； (4)分析检测效果，为边缘检测的继续发 展指出明确的方向； 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -6- (5)应用到实践当中，对于复杂的实际问 题的处理提供有力的帮助。 1.4.3 理想边缘检测结果的要求 边缘检测过程中，受多种因素的影响， 会产生高斯、椒盐等各种噪声。噪声会使图像处理过程存在很多困难， 会直接影响到图像分
34、割、图像识别及特征提取，所以需要滤波处理实时图像 ，这就要求图像之外的噪声能够被去除且图像细节部分能够保持。若是图像 存在高斯噪声，常采用线性滤波器进行滤波，分析和实现好的边缘检测效果 都很容易；若是图像存在椒盐噪声，则不采用线性滤波器，因为效果较差， 有时会采用中值滤波器，但也不能达到理想的效果，所以椒盐噪声若是比较 严重，其滤波效果会明显变差。 一般情况下，边缘检测的理想 结果应满足以下几个要求24： (1)对于有效边缘能够检测精确； (2)边缘的定位精度比较高； (3)尽量单一的边缘响应； (4)能够很好地检测出不同尺度的边缘， 漏检情况很少出现； (5)较强的抗噪能力； (6)边缘走向
35、不会影响检测灵敏度等。 上面所提的要求通常互相矛盾，要想找 到一个满足所有要求的边缘检测方法是很难的。目前已有的评价方法且 受到广泛认可的是，首先观察边缘的视觉效果，再评价它的性能。在边缘检 测器响应中包含以下三种误差：边缘定位的误差、误将噪声判定为 边缘及有效边缘的丢失。 1.4.4 边缘检测中存在的难题 1.4.4.1 定位与去噪之间的矛盾 Vincent 等人25认为：从根本上讲，可以将边缘检测看作是数值微分的问题，所以边缘检测其实是一个病态的问题。 Hadamard26给出了一个关于病态问题的定义：若一个问题的解不能完 全满足存在性、唯一性以及连续依赖初值这三个条件，则称该问题为病态问
36、题。 Torre 等人25后来证实了边缘检测其实是一个轻微的病态问题，在输入 上若产生一个极其细微的变化可能会引起输出上较大的变化。令输入图像为 ()f x ，设受噪声的影响使图像产生小波动 变成 ()gx，由下式表示： () () sin( )gx fx x (1-1) 其中 01， 为噪声频率。上式两边求导得： 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -7- () ()cos( )dg x df xxdx dx (1-2) 由上式可知，当噪声频率 很大时，就会使输出图像变化很大，从而影响到边缘检测的效果。这个问题很难得 到根本上的解决，可以尝试先平滑图像而达到去除图像噪声的目的， 但是这样做会使图
37、像的一部 分细节特征丢失，从而使图像的边缘变得模糊。因此，对 于图像的边缘定位与图像噪声的去除之间的矛盾的解决是边缘检测的一大难 题，而目前已有的边缘检测技术无法很好的解决该问题，我们只能根据实际 的需要选取折衷的处理方法。 1.4.4.2 定位精度的问题 理想的边缘检测结果需要无限制地接近 实际的边缘，但是实际的边缘很难定义，通常我们只能用我们的感觉来进行判断27。由于一些检测方法如Roberts、 Sobel28等算子的实现形式，会使图像边缘的位置发生偏移。另外，若用如 Laplace 算子法会使检测到的边缘 很宽，这也是一个大问题。要保证定位的精确性，就要细化处理较粗的边 缘，此时涉及边
38、缘像素取舍的问题。有一种边缘细化的有效手段是用零交叉 法，该方法的缺点是计算过于复杂且应用范围相对较窄，所获取的边缘容易 出现断裂或不连续的情况。到目前为止， Canny 算子在边缘细化方面做的很令人满意 ，它引用的是非极大值抑制的思想，尤其在复杂图像的处 理方面，效果更加突出。 1.4.4.3 边缘连续性的问题 有很多因素会使检测到的边缘不连续， 如图像的颜色、深度、阴影、纹理或模糊等自身因素，然而更主要的是 干扰边缘的噪声，这将会使许多边缘检测方法检测到完整、连续且精确的边 缘有很大的难度，可能会得到一些断裂的边缘片段。 我们有必要改善边缘检测结果以得 到连续性更强的闭合边缘，为图像的分割
39、、识别与匹配等后续图像 处理提供有效地支持。通常我们从两方面进行研究： (1)在对原图像做增强处理之后再 进行边缘检测，从而增加边缘与非边缘、物体与背景之间的差异； (2)边缘检测结束后要连接边缘图像，从而尽量使丢失、断裂的边缘弥补回来 。在某些应用中，对于边缘的定位精确程度要求不高，我们可以采取某种思 想（如边缘跟踪）来获取闭合并且连续的边缘。 但是边缘的连续与图像边缘定位及图像 去噪间的矛盾也很难调和。此外，边缘的细化与光滑也是边缘检测的难点。 1.4.4.4 二值化阈值的合理性问题 得到二值的边缘图像是我们进行边 缘检测的目的，因此要对阈值进行选择。边缘检测的其中一个典型难题就是 确定合
40、适的阈值，如果阈值选择的过哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -8- 高会使一部分边缘细节丢失，出现断裂 的边缘；而若阈值过低会误把噪声等认为是边缘，出现过宽的边缘24。有一些图像的目标与背景的灰度存在明显的区别，这样的图像可以依据其统计特 性如灰度直方图来得到阈值，然而这种方法不太适用于复杂的图像。还有一 种获得阈值的方法是，对边缘的像素与总体像素间比例的设置，但这也需要 有一定的先验知识作为基础。 1.5 本文的研究内容及安排 本文对现有的经典边缘检测算法进行了 详细的分析，对数学形态学的基本理论及其本质进行了分析总结，并提 出了基于数学形态学的图像边缘检测方法。 第 1 章为绪论，首先简单介
41、绍了数字图像 处理的发展、应用及主要内容，这是本文研究的大背景。然后回顾了数 学形态学的发展历程及其在图像处理中的应用，综合介绍了边缘检测的相关 内容，包括它的概念、发展历程与趋势，对理想结果的要求及目前的难点问 题，为本文研究提供了全面的研究背景与意义。 第 2 章主要阐述了边缘检测的常用方法，包括梯度算子（如 Roberts 算子、 Sobel 算子及 Prewitt 算子） 、二阶微分算子（如拉普拉斯算子、 LOG 算子及 Canny 算子）以及新兴的边缘检测算法 （如小波分析算法、模糊数学算法及人工神经网络算法） ，并给出了各自算法的优缺点，同时对某些传统算法进行了实验，对其结果进行了
42、比较分析 ，这为以后的边缘检测算法的性能研究提供了基础。 第 3 章以集合为基础引入了形态学的基 本运算，阐述了二值形态学与灰度形态学的四个基本运算（即膨胀、腐 蚀、开、闭）与性质，以及在图像处理中起到的作用，并同时进行了实验来 分析运算的特点，为后续的章节做好理论基础。 第 4 章简单介绍了形态学边缘检测原理 ，并根据抗噪型的膨胀腐蚀形态学边缘检测算子及结构元素的选取特点 ，提出了针对加入椒盐噪声图像和加入高斯噪声图像进行边缘检测的新算法，通过与 Canny 算子及原抗噪膨胀腐蚀型算子进行比较的实验及对结果的研 究分析，可以看出两种改进算子的可实施性。 最后总结了本文的工作，对以 后的工作进
43、行了展望。 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -9- 第 2 章 图像边缘检测的常见算法 图像边缘检测，它是图像预处理与分析 的重要环节之一，并广泛应用于各种领域，如目标提取与识别、遥感、 图像分割、医学图像处理等。图像的边缘是指灰度变化较为明显且剧烈（也 称灰度突变）的地方，即通过灰度不连续而得到的结果，本质上也表示一个 区域的结束与另外一个区域的开始。本章列举了边缘检测从传统方法到新兴 的各种方法，并对这些方法的优缺点进行了详细的分析与总结。 2.1 基于梯度的边缘检测算子 在图像处理中，最常用的一阶导数的算 法就是本节所讲的梯度算子。梯度的等效形式是在二维平面上的一阶导 数，对应的梯度算子
44、的等效形式即为一阶导数算子。图像边缘的强度用梯度 的幅值来表示，与边缘走向垂直的方向即为梯度的方向。一般地，在点 ),( yx 处，图像 ),( yxf 的梯度定义为如下向量： (, ) (, )(, ) , (, ), (, )TTxyfxy fxyf xy f xy f xyxy (2-1) 梯度的幅值为： 22(, ) (, ) (, )xyf xy f xy f xy (2-2) 但在实际应用中，我们通常把梯度的幅 值用绝对值来近似地表示为： (, ) (, ) (, )xyf xy f xy f xy (2-3) 或者为： (, ) max (, ), (, )xyf xy f xy
45、 f xy(2-4) 梯度的方向定义为： (, )(, ) arctan(, )yxf xyxyf xy (2-5) 式中，对应 x轴的角度用 表示。 上式表明，梯度的幅值并不与图像边缘 的方向有任何相关性，我们定义这类算子为各向同性算子。 通常我们在考虑数字图像的时候，可以 不采用一阶导数来进行运算，而哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -10- 是用一阶差分来替代，式 2-6、式 2-7 是最简单的梯度表达式的近似表示法： (, ) (, 1) (, )xf xy fxy fxy (2-6) (, ) (, ) ( 1, )yf xy fxy fx y (2-7) 以下的简单卷积模板可以完成这
46、些计算，即： (, ) 1 1xfxy 1(, )1yfxy 下面我们对梯度进行二值化得到了边缘图像 (, )gxy，主要是通过选取合适的阈值 T ，则有 ,(,)( , ) ,0 2550, ( , )Afxy Tgxy Afxy T (2-8) 在计算梯度时，其中至关重要的一点是 要计算图像中在同一个位置的实际偏导数，然而上述模板并不符合这个 要求。实际上，梯度近似值 (, )xf xy在内插点 (, 0.5)xy 处，而梯度近似值 (, )yf xy在内插点 (0.5,)x y 处。因此，我们求 x和 y 的偏导数通常是用下面的 22 一阶差分模板，即： 11(, )11xfxy11(,
47、 )11yfxy 这样我们计算出的 x 与 y 的方向梯度是在同一个位置，即在内插点( 0.5, 0.5)xy处，此点也在 22 邻域的全部像素点间。 2.1.1 Roberts 算子 该边缘检测算子是由 Roberts16（罗伯特）提出的，故称为 Roberts 算子，主要适用于检测噪声较小且边界较陡的图像， 其原理是通过计算任一对在方向上处于相互垂直位置的差分来求梯度 值，并且该梯度值与处于对角线位置的相邻的两个像素的差值近似。式 2-9、式 2-10 为 Roberts 算子的表达式： (, ) (, ) ( 1, 1)xfxy fxy fx y (2-9) (, ) (, 1) ( 1
48、, )yf xy fxy fx y (2-10) 卷积模板为： 10(, )01xfxy01(, )10yfxy 梯度的幅值近似为： 22(, ) (, ) (, )xyR xy f xy f xy 或者 (, ) (, ) (, )xyR xy f xy f xy 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 -11- 同之前介绍的 22 梯度算子相同，会在内插点 ( 0.5, 0.5)xy 处计算差分值，因此 Roberts 算子的最后结果不是之前所设想的那样近似于在点 (, )x y 处的值，而是近似于在 ( 0.5, 0.5)xy点处的连续梯度。该算子对于斜向的边缘检测效果不如在垂直和水平这两个方向 的检测效果好，得到的边缘具有很高的定位精度，但缺点是容易受到噪声的 干扰，这样就容易使一些边缘丢失。 2.1.2 Sobel 算子 由 Sobel26（索伯尔）提出的算子，它是以通过在 33 邻域内来进行灰度加权以及差分的运算作为理论基础， 并对相邻像素点来做灰度加权的算法，且利用在边缘点取到极值来检测边缘。式 2-11， 2-12 为 Sobel 算子的表达式： ( , ) ( 1, 1) 2 ( 1, ) ( 1, 1)( 1, 1) 2 ( 1, ) ( 1, 1)xf
